Диссертация (Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений), страница 12

Дальнейшие рассуждения фактически не отличаются от представленных в доказательстве соответствующегоутверждения 5 в [24] и поэтому здесь опускаются.Как и в [36, 24], кроме задачи Коши, можно рассмотреть также начальнокраевую задачу для системы (4.25)–(4.27) с краевым условием δz|∂Ω×(0,T ) = 0в случае ограниченной области Ω ⊂ Rn .81ЗаключениеВ диссертационной работе рассмотрены квазигазо- и квазигидродинамические системы уравнений, служащие основой для построения класса разностных методов решения задач газо- и гидродинамики.Для квазигазодинамических систем уравнений реального газа и мелкойводы, а также для квазигидродинамической системы реального газа, построены пространственно одномерные дискретизации, для которых выполняетсядополнительный закон сохранения. Под “реальным газом” понимается газ собщими уравнениями состояния, которые удовлетворяют известным равенству Максвелла и условиям термодинамической устойчивости.Проведены серии численных экспериментов, свидетельствующих об эффективности построенных дискретизаций.Дополнительно исследованы математические свойства многомерной квазигидродинамической системы уравнений реального газа.В работе получены следующие основные результаты, выносимые назащиту:— для квазигазодинамической системы уравнений мелкой воды, квазигазодинамической системы уравнений реального газа и квазигидродинамическойсистемы уравнений реального газа в одномерном случае построены пространственные дискретизации, для которых выполняется дополнительный законсохранения (закон невозрастания энергии для системы уравнений мелкой воды или закон неубывания энтропии для систем уравнений реального газа);— для построенных дискретизаций проведены серии численных экспериментов, улучшены результаты других авторов;— для квазигидродинамической системы уравнений реального газа в многомерном случае получены критерии параболичности по Петровскому, а также для ее линеаризации выведены глобальные по времени оценки решениязадачи Коши.82Список литературы[1] Амосов А.А., Злотник А.А.

Разностные схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого газа // Ж. вычисл.матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 7. С. 1032–1049.[2] Бахвалов Н.С., Жидков Е.П., Кобельков Г.М. Численные методы.М.: Наука, 1987.[3] Булатов О.В. Аналитические и численные решения уравнений СенВенана для некоторых задач о распаде разрыва над уступом и ступенькойдна // Ж. вычисл. матем.

и матем. физ. 2014. Т. 54. № 1. С. 149–163.[4] Булатов О.В., Елизарова Т.Г. Регуляризованные уравнения мелкойводы и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 1. С.170–184.[5] Гаврилин В.А. О квазигазодинамическом подходе к численному решению уравнений Эйлера для реального газа // Труды XVIII международной научно-технической конференции “Информационные средства итехнологии”. 2010, Изд-во МЭИ. Т. 1. С.

242–249.[6] Гаврилин В.А. О свойствах квазигидродинамической системы уравнений в случае реального газа // Тезисы докладов шестнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов “Радиоэлектроника, электротехника и энергетика”. 2010, Изд-во МЭИ. Т. 1.С. 326–327.[7] Гаврилин В.А.

Квазигазодинамический метод решения уравнений Эйлера реального газа // Тезисы докладов V Международной конференции“Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современнымпроблемам естествознания”. Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2011. С. 34–35.[8] Гаврилин В.А. Квазигазодинамический метод решения уравнений Эйлера для газа Ван-дер-Ваальса // Труды XIX международной научнотехнической конференции “Информационные средства и технологии”.2011. М.: Изд-во МЭИ.

Т. 3. С. 194–199.83[9] Гаврилин В.А. Квазигазодинамический метод решения уравнений Эйлера для газа Ван-дер-Ваальса // Тезисы докладов семнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов “Радиоэлектроника, электротехника и энергетика”. 2011, Изд-во МЭИ. Т. 1.С. 325–327.[10] Гаврилин В.А., Злотник А.А. О пространственной дискретизацииодномерной квазигазодинамической системы уравнений с общими уравнениями состояния и балансе энтропии // Ж. вычисл. матем.

и матем.физ. 2015. Т. 55. № 2. С. 267–284.[11] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.[12] Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.[13] Годунов С.К., Манузина Ю.Д., Назарьева М.А. Экспериментальный анализ сходимости численного решения к обобщенному решению вгазовой динамике // Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. 2011. Т. 51. № 1.С. 96–103.[14] Головизнин В.М., Зайцев М.А.,Карабасов С.А., Короткин И.А.Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов. М.: изд-во Московского университета,2013.[15] Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчетавязких течений. М.: Научный мир, 2007.[16] Елизарова Т.Г., Булатов О.В. Численное моделирование течений газана основе квазигидродинамических уравнений // Вестник Московскогоуниверситета.

Серия 3. Физика. Астрономия. 2009. № 6. С. 29–33.[17] Елизарова Т.Г., Злотник А.А., Никитина О.В. Моделирование одномерных течений мелкой воды на основе регуляризованных уравнений.Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша 2011 №33, C. 1–36.[18] Елизарова Т.Г., Истомина М.А., Шелковников Н.К. Формирование уединенной волны в кольцевом аэрогидроканале // Матем. моделирование. 2012. Т. 24.

№ 4. С. 107–116.84[19] Елизарова Т.Г., Сабурин Д.С. Численное моделирование колебанийжидкости в топливных баках // Матем. моделирование. 2013. Т. 25. № 3.С. 75–88.[20] Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Возможности квазигазодинамического алгоритма для численного моделирования течений газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 3. С. 549–566.[21] Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Анализ вычислительных свойствквазигазодинамического алгоритма на примере решения уравнений Эйлера // Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. 2009. Т. 49. № 11. С. 1953–1969.[22] Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука-Физматлит, 1966.[23] Злотник А.А. Классификация некоторых модификаций системы уравнений Эйлера // Доклады АН. 2006. T. 407. N 6. С. 747–751.[24] Злотник А.А.

О параболичности квазигидродинамической системыуравнений и устойчивости малых возмущений для неё // Матем. заметки. 2008. Т. 83. № 5. С. 667–682.[25] Злотник А.А. Энергетические равенства и оценки для баротропныхквазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений // Ж. вычисл.матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 2.

С. 325–337.[26] Злотник A.A. О квазигазодинамической системе уравнений с общимиуравнениями состояния и источником тепла // Матем. моделирование.2010. Т. 22. № 7. С. 53–64.[27] Злотник A.A. Линеаризованная устойчивость равновесных решенийквазигазодинамической системы уравнений // Доклады АН.

2010. Т. 433.№ 6. С. 599–603.[28] Злотник А.А. Квазигазодинамическая система уравнений с общимиуравнениями состояния // Доклады АН. 2010. Т. 431. № 5. С. 605–609.[29] Злотник А.А. Пространственная дискретизация одномерных квазигазодинамических систем уравнений и уравнения баланса энтропии и энергии // Доклады АН.

2012. Т. 445. № 2. С. 127–131.[30] Злотник А.А. О построении квазигазодинамических систем уравненийи баротропной системы с потенциальной массовой силой // Матем. моделирование. 2012. Т. 24. № 4. С. 65–79.85[31] Злотник А.А. Пространственная дискретизация одномерной квазигазодинамической системы уравнений и уравнение баланса энтропии // Ж.вычисл.

матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 7. С. 1304–1316.[32] Злотник А.А. Пространственная дискретизация одномерной баротропной квазигазодинамической системы уравнений и уравнение энергетического баланса // Матем. моделирование. 2012. Т. 24.

№ 10. С. 51–64.[33] Злотник А.А., Гаврилин В.А. О критериях параболичности квазигидродинамической системы уравнений в случае реального газа // Вестник МЭИ. 2009. № 6. С. 116–126.[34] Злотник А.А., Гаврилин В.А. Пространственная дискретизация одномерной квазигазодинамической системы уравнений с общими уравнениями состояния и уравнение баланса энтропии. // Тезисы докладовXX Всероссийской конференции “Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики”.М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2014. С.

65.[35] Злотник А.А., Гаврилин В.А. О дискретизации одномерной квазигидродинамической системы уравнений для реального газа // ВестникМЭИ. 2016. №1. С. 5–14.[36] Злотник А.А., Четверушкин Б.Н. О параболичности квазигазодинамической системы уравнений, её гиперболической 2–го порядка модификации и устойчивости малых возмущений для них // Ж. вычисл. матем.и матем. физ. 2008. Т. 48. № 3. С.

445–472.[37] Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теорияравновесных систем. Термодинамика. Изд. 2-е. М.: Едиториал УРСС,2002.[38] Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений,изд. 2-е. М.: Физматлит, 2012.[39] Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы.

М.: Наука, 1988.[40] Петровский И.Г. Избранные труды. Системы уравнений с частнымипроизводными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986.[41] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1973.86[42] Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004.[43] Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственно-временном осреднении. Москва–Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2009.[44] Шеретов Ю.В. Регуляризованные уравнения гидродинамики. Тверь:Тверской госуниверситет, 2016.[45] Эйдельман С.Д. Параболические системы.

М.: Наука, 1964.[46] Akoh R., Ii S., Xia F. A multi-moment finite volume formulation forshallow water equations on unstructured mesh // J. Comput. Phys. 2010.№229, P. 4567–4590.[47] Benkhaldoun F., Seaı̈d M. A simple finite volume method for the shallowwater equations // J. Comput. Appl. Math. 2010. №234, P. 58–72.[48] Buffard T., Gallouet T., Herard J.-M. A sequel to a rough Godunovscheme: application to real gases // Comput. Fluids.