Диссертация (Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений)

СодержаниеВведение31 Глава 1. Консервативный разностный метод для регуляризованной одномерной системы уравнений мелкой воды131.1 Одномерная система уравнений мелкой воды, её регуляризацияи дискретизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Результаты численных экспериментов . . . . . . .

. . . . . . . . 212 Глава 2. Пространственная дискретизация одномерной квазигазодинамической системы уравнений с общими уравнениямисостояния и уравнение баланса энтропии2.1 Одномерная квазигазодинамическая система уравнений c общими уравнениями состояния и уравнение баланса энтропии . .2.2 Применение к решению одномерных уравнений Эйлера реального газа . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Пространственная дискретизация одномерной квазигазодинамической системы уравнений и дискретное уравнение балансаэнтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Результаты численных экспериментов . . . . .

. . . . . . . . . .3 Глава 3. Пространственная дискретизация одномерной квазигидродинамической системы уравнений для реального газа3.1 Одномерная квазигидродинамическая система уравнений c общими уравнениями состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Пространственная дискретизация и дискретное уравнение баланса энтропии . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Результаты численных экспериментов . . . . . . . . . . . . . . .2727293949595960634 Глава 4. Критерии параболичности квазигидродинамическойсистемы уравнений в случае реального газа724.1 Критерии параболичности квазигидродинамической системы уравнений . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Устойчивость малых возмущений по постоянному фону . . . . . 79Заключение82Список литературы832ВведениеК настоящему времени разработан богатый набор методов численного решения задач газовой динамики, см., в частности, [12, 14, 38, 39, 51, 55]. Квазигазодинамические системы уравнений, предложенные Б.Н. Четверушкиным иТ.Г. Елизаровой, а также квазигидродинамическая система уравнений, предложенная Ю.В. Шеретовым, служат основной для построения класса разностных методов решения этих задач.

Подобные методы развивало большоеколичество их учеников и последователей. Одним из важных достоинств использования таких методов является их вычислительная эффективность (втом числе простота параллельной реализации алгоритма). Подробное описание принципов построения указанных систем уравнений и исследование ихсвойств представлены в монографиях [42, 15, 43].В данной диссертационной работе рассматриваются квазигазодинамическая и квазигидродинамическая системы уравнений реального газа, а такжеквазигазодинамическая система уравнений мелкой воды.

Под “реальным газом” понимается газ с общими уравнениями состояния; причем эти уравнениясостояния удовлетворяют известным условиям термодинамической устойчивости и равенству Максвелла. Следует отметить, что при работе с квазигазодинамической системой авторы ранее ограничивались случаем совершенногополитропного (“идеального”) газа. Настоящая диссертационная работа призвана в определенной степени восполнить этот пробел.Основные положения диссертационной работы таковы.В пространственно одномерном случае строятся пространственные дискретизации указанных систем, гарантирующие выполнение дополнительногозакона сохранения (это закон невозрастания энергии для системы уравнениймелкой воды и закон неубывания энтропии для системы уравнений реальногогаза).

Для всех построенных дискретизаций проводятся численные эксперименты, относящиеся к решению системы уравнений Эйлера невязкого нетеплопроводного газа или системы уравнений мелкой воды, результаты которыхсвидетельствуют об эффективности дискретизаций.Дополнительно для многомерной квазигидродинамической системы уравнений реального газа выводятся критерии равномерной и неравномерной параболичности по Петровскому, а также рассматривается задача устойчивостималых возмущений по постоянному фону и выводятся глобальные по времени оценки решения задачи Коши для линеаризованной системы. Отметим,что из (равномерной) параболичности по Петровскому следует однозначнаяразрешимость (локально по времени) для задачи Коши в пространствах Гёль3дера.В главе 1 рассматривается одномерная квазигазодинамическая системауравнений мелкой воды.В разделе 1 вводится система уравнений мелкой воды, состоящая из уравнений баланса массы и импульса∂t h + ∂x (hu) = 0,∂t (hu) + ∂x (hu2 ) + ∂x p = ∂x ΠN S + hF,где 0 < x < X, t > 0, а ∂t и ∂x здесь и далее означают производные по времении пространству.

Основные неизвестные функции – глубина воды h(x, t) > 0(измеряемая от отметки дна b(x)) и скорость u(x, t). Уравнения дополняютсяначальными условиямиh(x, 0) = h0 (x), u(x, 0) = u0 (x), 0 6 x 6 X.Во избежание громоздкости здесь и далее во введении формулы для рядавспомогательных величин опускаются, для уточнения их вида следует обратиться непосредственно к тексту соответствующих глав.Регуляризованная одномерная система уравнений мелкой воды состоит измодифицированных уравнений баланса массы и импульса∂t h + ∂x (h(u − w)) = 0,∂t (hu) + ∂x (h(u − w)u + p) = ∂x Π + h∗ F.Вспомогательные величины w, Π, h∗ регуляризованной системы зависят отпараметра релаксации τ = τ (h, u) > 0, и при τ = 0 система переходит висходную. Здесь Π — регуляризованное напряжение, h∗ — регуляризованнаяглубина.Для регуляризованной системы строится новая трехточечная симметричная дискретизация по пространству специального вида.

Важным являетсятот факт, что для неё справедлив аналог полученного ранее (в дифференциальном случае) А.А. Злотником и Ю.В. Шеретовым закона поточечногоэнергетического баланса. Пусть F = −g∂x b + f, g = const > 0. Основнымтеоретическим результатом главы является следующая теорема.Теорема 0.1.

Для построенного полудискретного метода0.5∂t g(h + b)2 + hu2 + δ ∗ j (g(h + b) + 0.5u− u+ ) − Π[u] + B∆ +2∗+ µ(δu)2 + τ g δ(hu) + τ [h]{[u]δu + gδ(h + b)}2 =∗= [h∗ f ]∗ u + τ [h]{[u]δu + gδ(h + b)}f ,4где j = h(u − w), B∆ := −0.25∆2+ (δp + gh∗ δb)δu — дивергентное дисбалансноеслагаемое.В левой части закона все 3 слагаемых под знаком усреднения [·]∗ неотрицательны; это свойство сохраняется при τ > 0.Здесь µ > 0 — коэффициент вязкости, δ, δ ∗ — операторы разностных отношений, [·], [·]∗ — операторы разностных усреднений по x, а u− , u+ — значенияu в левом и правом концах ячейки пространственной сетки.В разделе 2 для построенной дискретизации выполняются численные эксперименты для ряда известных тестовых задач: это распад разрыва в каналев выступом и 3 задачи типа “течение над холмом”: докритическое, транскритическое и сверхкритическое течения.

Полученные результаты находятся вхорошем соответствии с результатами других авторов и существенно улучшают часть из них.Дополнительно исследуется сходимость искомых функций h, u и величины hu (расход воды) для разностной схемы при сгущении пространственнойсетки и находятся практические порядки погрешностей.В главе 2 рассматривается одномерная квазигазодинамическая системауравнений реального газа.В разделе 1 вводится квазигазодинамическая система, состоящая из следующих уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (в отсутствиемассовых сил)∂t ρ + ∂x j = 0,∂t (ρu) + ∂x (ju + p) = ∂x Π,∂t E + ∂x {(u − w)(E + p)} = −∂x q + ∂x (Πu) + Q.Основные искомые функции ρ > 0, u, p — это плотность, скорость и давление газа.

Кроме того, E = 21 ρu2 + ρε — полная энергия, ε — внутренняяэнергия, θ — температура газа, j = ρ(u − w) — регуляризованный поток массы, Π — регуляризованное вязкое напряжение, q — регуляризованный потоктепла, Q > 0 — плотность тепловых источников. Уравнения дополняютсяначальными условиямиρ(x, 0) = ρ0 (x), u(x, 0) = u0 (x), p(x, 0) = p0 (x), 0 6 x 6 X.Берутся общие уравнения состояния газа в формеp = p(ρ, θ), ε = ε(ρ, θ),5связанные равенством Максвеллаp = θpθ + ρ2 ερ .и удовлетворяющие условиям термодинамической устойчивости видаpρ > 0, εθ > 0.Здесь, например, pρ , pθ — частные производные функции p = p(ρ, θ).В разделе 1 для рассматриваемой системы приводится уравнение балансаэнтропии, гарантирующее неотрицательность производства энтропии [26].В разделе 2 строится явная двухслойная по времени и симметричная попространству дискретизация (стандартного типа) рассматриваемой системыи проводятся численные эксперименты о расчете задачи Римана о распадеразрыва для моделей реального газа: модели с двучленными уравнениямисостояния и модели Ван-дер-Ваальса.

Эти результаты с использованием квазигазодинамической системы уравнений установлены впервые, и они хорошемсоответствуют полученным ранее по другим разностным схемам.В разделе 3 рассматривается новая более сложная пространственная дискретизация квазигазодинамической системы уравнений реального газа. В частности, вводятся усреднения специального вида для плотности, внутреннейэнергии и других величин и указывается их однозначный выбор, гарантирующий отсутствие недивергентных дисбалансных слагаемых в производствеэнтропии. В результате для полудискретного метода становится возможнымвывод уравнения баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии.

Основным теоретическим результатом главы является следующаятеорема.Теорема 0.2 (Уравнение баланса энтропии). Для построенного полудискретного метода справедливо уравнение баланса энтропии s 1∂t (ρs) + δ ∗ (j[s]) = δ ∗ −q+ B1h − B2h +θκ(δθ)24[ρ]+ ([u] − w)(Dhρ δρ + Dhθ δθ) ++µ(δu)2 + ŵ2 +θ− θ+3τ2τ aθ dρ pτ [ρ]aρ dθ ε [θ]aρ dθ pQ2+{δ(ρu)} +δu + [u]δθ −+[ρ][θ][ρ]aρ dθ ε2[ρ]aρ dθ ε ∗τQ1+τ Dhu (δu)2 + τ Dhρ θ δρ · δθ + Q 1 −− τ DhQ (δu)Q.4[ρ][θ]aρ dθ εθ6Здесь B1h и B2h — дивергентные, а Dhρ , Dhθ , Dhu , Dhρ θ , DhQ — недивергентные дисбалансные слагаемые.В этом уравнении пять стоящих подряд квадратичных слагаемых производства энтропии всегда неотрицательны, а слагаемое, содержащее величину Q дважды, неотрицательно при выполнении условия τ Q 6 4[ρ][θ]aρ dθ ε.Недивергентные дисбалансные слагаемые с множителями Dhρ , Dhθ , Dhu ,Dhρ θ , DhQ обращаются в 0 при специальном выборе дискретизаций.Здесь, как и выше, µ > 0 — коэффициент вязкости, δ, δ ∗ — операторыразностных отношений, [·], [·]∗ — операторы разностных усреднений по x, аθ− , θ+ — значения θ в левом и правом концах ячейки пространственной сетки.