Диссертация (Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений), страница 4

В приведенных ниже расчетах используется равномерная пространственная сетка и берется f = 0. Исследуется сходимость функций v = h, u иhu для разностной схемы на финальный момент времени tfin при сгущениипространственной сетки; это стандартный подход, см. например, [13, 52, 56].При этом особенно важным представляется случай негладких решений, когда теоретической информации о решении мало. В редких случаях, когдаискомая функция vex известна, вычисляется значение средней абсолютнойпогрешности на сетке (масштабированная сеточная L1 -норма)(N )Eex[v]N1 X(N ) :=vex i − vi ,N + 1 i=0(1.28)(N )где vex i и vi — точное и приближенное решения в узле xi = iX/N .В противном случае используются формулыE(N )NN1 X (2N )1 X (N )(N ) (N ) (N )viN /N − vi , ER [v] :=v2i − vi , (1.29)[v] :=N + 1 i=0N + 1 i=0где v (N ) — “псевдоточное” решение, вычисленное на густой сетке с шагом∆ = X/N .

Здесь N кратно 2N , и, следуя накопленному опыту, желательновыполнение условия 4N 6 N . Вторая формула основана на практическомправиле Рунге оценки погрешности и более проста в использовании (v (N ) нетребуется). Обе величины сравниваются с (1.28), когда это возможно.Ниже строятся графики зависимостей |ln E (N ) [v]| (нижние индексы опущены) от ln N . Более того, они аппроксимируются линейными функциями пометоду наименьших квадратов и таким образом получаются практическиепорядки погрешности pex [v], p[v] и pR [v].201.2Результаты численных экспериментов1.2.1.

Сначала рассмотрим задачу о течении в канале длиной X=1500 м.В центральной части канала расположен симметричный выступ высотой 8м и длиной 375 м, остальное дно — плоское. В центре канала расположенаплотина. Начальный уровень воды H0 (x) равен 20 м слева и 15 м справа отплотины, а течение стационарно, т.е. начальная скорость равна нулю: u0 (x) =0. Плотина открывается в момент времени t = 0. Ставятся условия открытойграницы для h и u на обеих границах x = 0, X, т.е., например, h0 = h1 иu0 = u1 для левой границы.Результаты расчета приведены на рисунке 1.1 для t=15 с и t=60 с, дляN =400; параметры расчета α=0.35 и β=0.5.

Они находятся в хорошем соответствии с [52] для N =200 и с [17] для N =400 (для других схем).На рис. 1.2 представлены погрешности h и u на момент времени t=15 сдля N =200, 400, 800 и 1600, при этом N =6400. Отметим, что кривые погрешностей не являются строго линейными.

Порядки погрешности p[h] ≈ 0.946 иp[u] ≈ 0.908 довольно близки друг к другу, но при этом оба меньше единицы.1.2.2. Теперь рассмотрим течение в канале длиной X=25 м, дно — плоское, за исключением небольшого выступа параболической формы в центреканала:(0.2 − 0.05(x − 10)2 , 8 м 6 x 6 12 мb(x) =0,в противном случае.Начальный уровень воды задается константой: H0 (x) ≡ CH , а течение стационарно. Граничные условия на левой границе: hu|x=0 = Chu для расхода,открытое граничное условие для h. Граничные условия на правой границе:H|x=X = CH (вообще говоря, в каждый момент времени), а также условиеоткрытой границы для u.Эта задача может показаться простой, но такова она лишь на первыйвзгляд.

В зависимости от параметров течения здесь выделяют 3 типа течений: докритическое, транскритическое и сверхкритическое. Ниже рассматриваются примеры всех трех типов течений. Результаты расчетов приведены намомент времени tfin =200 с (в этот момент течение становится стационарнымпри выбранных значениях параметров). Следует отметить, что для данныхтечений значение расхода в финальный момент времени известно: hu ≡ Chu .В подобных задачах, как правило, именно расчет hu вызывает трудности.Полученные результаты для приведенных ниже значений N достаточно точны; они сопоставимы с приведенными в [47] (для N =100), [50] (для N =300)21и [46, 57, 58] (для N =200) по другим схемам, при этом для hu результатызначительно лучше приведенных в [17] (для тех же N ).(a) Докритическое течение.

Это простейший тип течения. Здесь CH =2 ми Chu =4.42 м2 /с. В момент времени tfin уровень воды практически постоянен,за исключением небольшого углубления над выступом.Берутся α=0.9, β=0.2 и µ=0. На рис. 1.3 приведен уровень воды H и расходhu для N =400. В непосредственной близости от краев выступа наблюдаются “всплески” hu (затухающие с увеличением N ), но при этом абсолютнаяпогрешность расхода Eabs := max |(hu)i − Chu | ≈ 7.375e-5 мала.06i6NНа рис.

1.4 представлены погрешности h, u и hu для N =100, 200, 400 и 800;при этом N =3200. Такие же значения взяты для двух других типов теченияв последующих расчетах.Кривые погрешностей h и u теперь более близки к линейным, чем в предыдущем расчете (это не относится к |ln Eex [hu]|). Теперь все порядки p[h] ≈1.193, pR [h] ≈ 1.139, p[u] ≈ 1.183 и pR [u] ≈ 1.121 близки друг к другу,при этом они незначительно превышают единицу. Они существенно нижеpex [hu] ≈ 1.709. Сравнение результатов по формулам (1.28), (1.29) для huпоказывает, что порядки погрешностей pR [hu] ≈ 2.023 и p[hu] ≈ 2.017 близки друг к другу, но оба переоценивают pex [hu].(б) Транскритическое течение. В этом расчете CH =0.66 м и Chu =1.532м /с.

Для этого и следующего течений правое граничное условие H(X, t) =CH ставится лишь для t 6 40 с, после чего оно заменяется условием открытойграницы для h для t > 40 с. В этом случае поведение стационарного уровня воды H является более сложным, демонстрируя более резкие изменения(его значения слева и справа от выступа сильно отличаются, а над выступомимеется зона плавного перехода).Берутся α=0.9, β=0.1 и µ=0. На рис. 1.5 показаны уровень воды H и расход hu для N =400. Аналогично предыдущему случаю, здесь наблюдаются“всплески” hu у краев выступа (затухающие с увеличением N ), но погрешность Eabs ≈ 9.882e-5 снова мала.Рис. 1.6 демонстрирует погрешности h, u и hu.

Ломаные погрешностей h иu снова близки к линейным. Более того, ломаные для |ln Eex [hu]| и |ln ER [hu]|практически совпадают. Порядки p[h] ≈ 1.243, pR [h] ≈ 1.196, p[u] ≈ 1.187 иpR [u] ≈ 1.113 снова близки друг к другу и незначительно превышают единицу, в то время как все pex [hu] ≈ 2.009, p[hu] ≈ 2.038 и pR [hu] ≈ 2.010значительно больше и близки к 2 (не к 1).(в) Сверхкритическое течение. В этом расчете CH =0.33 м и Chu =0.1822м2 /с.

В этом расчете поведение стационарного уровня воды H является сильно немонотонным (его график над бугром имеет острую узкую полость) иболее сложным, чем выше.Берутся α=0.8, β=0.1 и N =800. Было обнаружено, что присутствие вязкости Навье-Стокса (слагаемого с коэффициентом µ) важно именно в данномрасчете: его наличие необходимо для устойчивости вычислений. Из рис. 1.7видно, что hu теперь вычисляется хуже: заметна резкая осцилляция рядом справым краем выступа. Теперь Eabs ≈ 0.0266 примерно на 2 порядка хуже,чем в предыдущих расчетах.Рис. 1.8 демонстрирует погрешности h, u и hu. Теперь ломаные погрешностей h и u отличны от линейных. Естественно, что порядок pex [hu] ≈ 1.014теперь значительно меньше и близок к 1; pR [hu] ≈ 0.950 немного ближе кpex [hu], чем p[hu] ≈ 1.116.

Остальные порядки таковы: p[h] ≈ 1.086, pR [h] =1.056, p[u] ≈ 0.956 и pR [u] ≈ 0.895 (два последних теперь меньше 1).Обратим внимание на то, что в общем случае обе формулы (1.29) даютразные, но довольно близкие результаты о погрешностях, хотя полученные сиспользованием 2-й из формул все-таки несколько более точны.В заключение на рис. 1.9 показано поведение средней полной энергииN −1E(tot)X1= (0.5e0 +ei + 0.5eN ), e = 0.5g (h + b)2 + hu2Ni=1во времени для всех тестов (а), (б) и (в). Для простоты сравнения оно вычислено на равномерной сетке с N =100.

Можно видеть, что эта величина стабилизируется после одной или нескольких осцилляций (без каких-либо чисточисленных осцилляций).23H252.5201.25100u31002003000400100H25200300400300400u3.5202.5101.50.50100200300400100200Рис. 1.1: Распад разрыва в канале с выступом: H и u на момент времени t=15 с (сверху)и t=60 с (снизу)| ln E |4.53.5E(h)E(u)2.55.25 5.566.5ln N77.5Рис. 1.2: Распад разрыва в канале с выступом: |ln E (N ) | для h и u24H2.5hu4.42224.42101002003004004.418100200300400Рис.

1.3: Докритическое течение над холмом: H и hu в момент времени tfin = 200 с14ER(u)ER(hu)11| ln E |E(h)E(u)E(hu)ER(h)8Eex(hu)64.555.5ln N66.75Рис. 1.4: Докритическое течение над холмом: |ln E (N ) | для h, u и huH1.25hu1.53111.530.501002003004001.529100200300400Рис. 1.5: Транскритическое течение над холмом: H и hu в момент времени tfin = 200 с14ER(u)ER(hu)11| ln E |E(h)E(u)E(hu)ER(h)8Eex(hu)64.555.5ln N66.75Рис. 1.6: Транскритическое течение над холмом: |ln E (N ) | для h, u и hu25huH0.50.240.40.180.20.120200400600800200400600800Рис. 1.7: Сверхкритическое течение над холмом: H и hu в момент времени tf in = 200 сER(u)8| ln E |E(h)E(u)E(hu)ER(h)6ER(hu)Eex(hu)4.555.5ln N66.75Рис. 1.8: Сверхкритическое течение над холмом: |ln E (N ) | для h, u и huE(tot)E(tot)E(tot)50180.864040.6300210002000.40200100(а)(б)100200(в)Рис.