Диссертация (Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений), страница 11

Величина Γ часто используется в баротропном случае [36, 24].Теорема 4.1. 1. Квазигидродинамическая система уравнений являетсянеравномерно параболической по Петровскому в области D тогда и толькотогда, когдаpρ (ρ, θ) > 0 в D0 .(4.18)2. Квазигидродинамическая система уравнений является равномерно параболической по Петровскому в области D тогда и только тогда, когдавыполнены условия (4.18) и1Cs2 (ρ, θ)|u|21ρ++1+< +∞.sup(τ̃ κ̃)(ρ, θ) pρ (ρ, θ)pρ (ρ, θ)τ̃ (ρ, θ)Γ(ρ, θ)D µ(ρ, θ)(4.19)sЗдесь Cs =pρ +θp2θ– скорость звука в газе [37], §2.2.ρ2 εθДоказательство. Следуя [36, 24], при n > 2 и фиксированном ξ введемразложение Rn+2 в ортогональную прямую суммуRn+2 = Oξ ⊕ Oξ⊥ ,(4.20)где Oξ := {(α0 , α1 ξ, α2 ); α0 , α1 , α2 ∈ R}, Oξ⊥ := {(0, ζ, 0); ζ ∈ Rn , ζ⊥ξ}.Нетрудно видеть, что подпространства Oξ и Oξ⊥ инвариантны относительноA.

Более того, преобразование координат (α0 , α1 , α2 ) векторов (α0 , α1 ξ, α2 ) ∈Oξ под действием A описывается матрицейpρρspθ ps4µpθ s ρ2s +.A1 = 3 τρρ ρ2 θpρ pθθpθ s1 κθpθ +ρ2 εθρεθεθ τ ρρ2При n = 1 в нее переходит матрица A, если при этом s понимать как s = u1 .75Умножая первую строку A1 на s/ρ и θpθ /(ρ2 εθ ) и вычитая результат из2–й и 3–й строк соответственно, имеем4 µκpρdet A1 =.(4.21)3 τ 2 ρ2 ε θC другой стороны, det A1 = λ1 [A1 ]λ2 [A1 ]λ3 [A1 ] и по крайней мере одно из собственных значений λi [A1 ] вещественно. Независимо от того, вещественны лидва других собственных значения или представляют собой пару комплексносопряженных чисел, при выполнении условия (4.15) имеем det A1 > 0.

Поэтому из равенства (4.21) следует, что условие (4.18) является необходимым длянеравномерной параболичности. Ниже оно предполагается выполненным.√Положив ŝ := s/ pρ , перепишем матрицу A в видеρŝ Tpθ1√ ξpρpρ √ pρ ŝµµpθ ŝ2Tξ ŝ +In +ξξ√ ξA = pρ  . (4.22)τ ρpρ3τ ρpρρ pρ ρ2θpθ ŝ T1κθpθ  θpθξ+ 2√ρ2 ε θρ pρ ε θpρ ε θ τ ρρПо аналогии с [36, 24] введем диагональную матрицу n + 2–го порядкаr !ρθ, d1 6= 0.(4.23)P := d1 diag √ , 1, . . .

, 1,pρεθПреобразование подобия P −1 AP = pρ Ã, где1ŝξ Tãµµ2In +ξξ Tãŝξà :=  ŝξ ŝ +τ ρpρ3τ ρpρκããŝξ T+ ã2τ ρpρ εθspθθ, , ã :=ρ pρ ε θcимметризует матрицу A. Тем самым λ[A] = pρ λ[Ã] вещественны. Кроме того,элементы матрицы Ã, а значит и λ[Ã], являются безразмерными величинами.Введем матрицу1ŝã4 µ2.ŝ ŝ +ãŝÃ1 := 3τρpρκããŝ+ ã2τ ρpρ εθ76При n = 1 в нее переходит матрица Ã, если при этом ŝ понимать как ŝ =√u1 / pρ .При n > 2 снова обратимся к разложению (4.20). Нетрудно видеть, чтоподпространства Oξ и Oξ⊥ инвариантны относительно Ã.

Более того, преобразование координат (α0 , α1 , α2 ) векторов (α0 , α1 ξ, α2 ) ∈ Oξ под действием Ãописывается матрицей Ã1 , а на Oξ⊥ оператор à действует просто как растяже2ние/сжатие с коэффициентом 2 ŝ + (µ/(τ ρpρ )). Тем самым при n > 2 спектрà таков: Sp à = Sp Ã1 ∪ ŝ + (µ/(τ ρpρ )) . Для проверки условий (4.15) и(4.16) отметим, чтоµµ2inf τ pρ ŝ +(4.24)= > 0.τ ρpρρ|ξ|=1Характеристический многочлен Ã1 , взятый с обратным знаком, таков:p3 (λ) := − det(Ã1 − λI3 ) = λ3 − c2 λ2 + c1 λ − c0 ,с коэффициентамиc2 = tr Ã1 = 1 + ŝ2 +4 µκ++ ã2 > 0,3 τ ρpρ τ ρpρ εθ4 µκ4 µ(1 + ã2 ) κ(1 + ŝ2 )> 0.++ c0 > 0, c0 = det Ã1 =c1 =3 τ ρpρτ ρpρ εθ3 τ 2 ρ2 p2ρ εθГлавный угловой минор 2–го порядка матрицы Ã1 равен 4µ/(3τ ρpρ ) >0.

C учетом свойства det Ã1 > 0 по критерию Сильвестра положительнойопределенности симметричной матрицы имеем Ã1 > 0. Пусть 0 < λ1 6 λ2 6λ3 – расположенные в порядке неубывания собственные значения Ã – корниp3 (λ). Напомним [24], что посколькуc0 = λ1 λ2 λ3 , λ2 λ3 6 c1 = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 6 3λ2 λ3 ,то справедлива двусторонняя оценка минимального собственного значенияc0 /c1 6 λ1 6 3c0 /c1 .Справедлива формулаc01τ pρ =.c11ρεθ (1 + ã2 ) 3 ρ(1 + ŝ2 )++κ4µτ pρС учетом обозначений (4.17) имеем:c01 > 0,τ pρ inf= |ξ|=1 c1ρ 13 |u|212(1 + ã ) ++1 +µ τ̃ κ̃4 pρτ̃ Γ77и тем самым условие (4.18) является и достаточным для неравномерной параболичности системы.Далее, согласно (4.16) и с учетом (4.24) критерием равномерной параболичности служит условие−1 2c031ρ 1|u|sup τ pρ inf(1 + ã2 ) ++1 +< +∞,= sup4 pρτ̃ Γ|ξ|=1 c1DD µ τ̃ κ̃которое с применением равенства 1+ã2 = Cs2 /pρ и завершает доказательство.Прокомментируем критерий неравномерной параболичности (4.18).

Он весьма прост и непосредственно обобщает соответствующий критерий p0 (ρ) > 0в баротропном случае [24]. Обратим внимание на то, что он не связан ни с какими ограничениями на u. Вместе условия (4.9) и (4.18) часто квалифицируют как условия термодинамической устойчивости состояния газа [37], §1.6.Вместе с тем ряд важных уравнений состояния, используемых для описанияфазовых переходов газ/жидкость, таких как уравнения Ван–дер–Ваальса, взонах смеси газ/жидкость условию (4.18) не подчиняются.Что касается условия равномерной параболичности (4.19), то в баротропном случае аналогичное условие (без первого слагаемого в скобках) в предположении (4.6) выведено в [24]. Ограниченность D по u при каждом (ρ, θ) ∈ D0необходима для справедливости (4.19).

С другой стороны, это условие заведомо выполнено, если D содержится в некотором компакте в R+ × Rn × R+ ,в частности, если D ⊂ [ρ, ρ̄] × [−U, U ]n × [θ, θ̄] при каких–либо 0 < ρ < ρ̄,U > 0, 0 < θ < θ̄. Напомним, что свойство равномерной параболичности гарантирует локальную по времени однозначную классическую разрешимостьзадачи Коши для рассматриваемой системы уравнений [45, 24]. Посколькусоответствующая теорема вполне аналогична указанной в [24], то здесь онаопускается.784.2Устойчивость малых возмущений по постоянному фонуВ данном разделе, следуя [36, 24], рассмотрим решения квазигидродинамической системы уравнений видаρ = ρ̄ + δρ, u = ū + δu, θ = θ̄ + δθ,где ρ̄ > 0, ū, θ̄ > 0 — постоянные фоновые значения неизвестных, а δρ,δu, δθ — их малые возмущения, при F = 0. Вернувшись к выводу системыуравнений (4.11)–(4.13), воспользовавшись постоянством фоновых значенийнеизвестных и отбросив слагаемые второго порядка малости относительновозмущений (и их производных), выведем следующую линеаризованную квазигидродинамическую систему уравнений для возмущений∂t δρ + ūi ∂i δρ + ρ̄∂i δui = τ̄ (p̄ρ ∂i ∂i δρ + ρ̄ūj ∂i ∂j δui + p̄θ ∂i ∂i δθ) ,(4.25)p̄ρp̄θ∂t δuk + ∂k δρ + ūi ∂i δuk + ∂k δθ =ρ̄ρ̄p̄ρ ūiµ̄µ̄p̄θ ūi= τ̄∂i ∂k δρ +∂i ∂i δuk +∂i ∂k δui + ūi ūj ∂i ∂j δuk +∂i ∂k δθ ,ρ̄τ̄ ρ̄3τ̄ ρ̄ρ̄(4.26)θ̄p̄θ∂i δui + ūi ∂i δθ =ρ̄ε̄θθ̄p̄ρ p̄θθ̄p̄θ ūj1 κ̄θ̄p̄2θ= τ̄∂i ∂i δρ +∂i ∂j δui ++ 2 ∂i ∂i δθ ,ρ̄2 ε̄θρ̄ε̄θεθ τ̄ ρ̄ρ̄∂t δθ +(4.27)где 1 6 k 6 n, а τ̄ = τ (ρ̄, θ̄), p̄ρ = pρ (ρ̄, θ̄) и т.д.

Здесь и ниже предполагается,что c̄V := εθ (ρ̄, θ̄) > 0 и pρ (ρ̄, θ̄) > 0, ср. с (4.9), (4.19). Ниже для упрощенияобозначений будем опускать черту над фоновыми значениями величин.Изучим задачу Коши для линеаризованной квазигидродинамической системы (4.25)–(4.27) в полупространстве Rn × R+ c начальными условиямиδρ|t=0 = δρ0 , δu|t=0 = δu0 , δθ|t=0 = δθ0 .(4.28)Пусть δz := (δρ, δu, δθ) и δz0 := (δρ0 , δu0 , δθ0 ) — векторы-столбцы возмущений и их начальных значений. Введем следующие их обезразмеренныеверсииr 000δρδρ δu δθδuδθθpρ, √ ,, δẑ0 :=, √ ,, где θ̃ :=.

(4.29)δẑ :=ρpρ θ̃ρpρ θ̃εθПоложим c := min|ξ|=1 λmin [τ A], где λmin [τ A] — минимальное собственное значение матрицы τ A. (Напомним, что двусторонние оценки для этой величиныбыли получены в доказательстве утверждения 4.1.)79В поставленной задаче можно (и удобно) считать, что функции δẑ и δẑ0 —комплекснозначные. Поэтому будем использовать комплексные пространстваЛебега L2 (Rn ), L2 (Rn × R+ ) и Соболева H 1 (Rn ). Для вектор-функции y =(y1 , . . .

, ym ) ∈ L2 (G) полагаем kykL2 (G) := k|y|kL2 (G) .Теорема 4.2. Пусть δz0 ∈ L2 (Rn ). Тогда для решения задачи Коши длялинеаризованной квазигидродинамической системы справедливы глобальныепо t оценкиsup kδẑ(·, t)kL2 (Rn ) 6 kδẑ0 kL2 (Rn ) ,(4.30)p2c k∇δẑkL2 (Rn ×R+ ) 6 kδẑ0 kL2 (Rn ) .(4.31)t>0Если δz0 ∈ H 1 (Rn ), то справедливы также глобальные по t оценкиsup k∇δẑ(·, t)kL2 (Rn ) 6 k∇δẑ0 kL2 (Rn ) ,(4.32)p(4.33)t>02c k∂ 2 δẑkL2 (Rn ×R+ ) 6 k∇δẑ0 kL2 (Rn ) ,где ∂ 2 = {∂i ∂j }ni,j=1 — набор вторых производных по пространственнымпеременным.Доказательство. Пусть F и F −1 — прямое и обратное интегральное преобразование Фурье в Rn .

Применим F к уравнениям (4.25)–(4.27) и начальным условиям (4.28), и для Z(ζ, t) := (Fδz(·, t))(ζ) получим задачу Кошидля системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений∂t Z + (|ζ|2 τ A + i|ζ|B)Z = 0, Z|t=0 = Fδz0 .Здесь ζ ∈ Rn — параметр, матрица A = A(ρ, s, θ, ξ) была введена вматрица B = B(ρ, s, θ, ξ) имеет блочный видρ TTŝ0√ ξsρξ0pρ√ pρpθ  √ pρpθξ = p ξŝIξ√nB :=  ρ ξ sInρ ρρ ρpρθpθ Tθpθ0ξs0ξTŝ√ρεθρ pρ ε θср. с (4.22); кроме того, i — мнимая единица, а ξ = ζ/|ζ| при ζ 6= 0.80(4.34)(4.14), а,Преобразование подобия с матрицей P вида (4.23) симметризует не толькоматрицу A, см. доказательство утверждения 1, но и матрицу B:ŝ ξ T 0√ξ ŝIn ãξ  ;P −1 BP = pρ B̃, B̃ := T0 ãξŝотметим безразмерность матрицы B̃.

Поэтому задачу (4.34) можно переписать в симметризованном виде для функции Ẑ := P −1 Z:√∂t Ẑ + (|ζ|2 τ pρ à + i|ζ| pρ B̃)Ẑ = 0, Ẑ|t=0 = Ẑ 0 := P −1 Fδz0 .Более того, положив d1 :=√pρ в определении P , получимδẑ = P −1 δz = F −1 Ẑ, δẑ0 = P −1 δz0 = F −1 Ẑ 0 ,где δẑ и δẑ0 задаются формулами (4.29).