Диссертация (Совершенствование технологии уточняющих испытаний ракетных двигателей малых тяг), страница 7

По результатам проверки делается вывод оналичии связей между факторами.Регрессионный анализ экспериментальных данныхПостановка задачи регрессионного анализа.Одной из типовых задач обработки многомерных ЭД является определениеколичественной зависимости показателей качества объекта от значений егопараметров и характеристик внешней среды.Постановка задачи регрессионного анализа формулируется следующимобразом [13, 21, 27, 29, 48].Имеется совокупностьрезультатов наблюдений вида (1.1). В этойсовокупности один столбец соответствует параметру, для которого необходимоустановитьфункциональную зависимостьсданными объекта и среды,представленными остальными столбцами.

Будем обозначать выходной параметрчерез y * и считать, что ему соответствует первый столбец матрицы наблюдений.Остальные m  1 столбцов соответствуют факторам x2 , x3 ,.., xm , а x1  y* .Требуется установить количественную взаимосвязь между параметром ифакторами. В таком случае задача регрессионного анализа понимается как задачавыявления такой зависимости y*  f ( x2 , x3 ,.., xm ), которая наилучшим образомописывает имеющиеся экспериментальные данные.Необходимо выделить допущения, которые установлены авторами в работах[13,21,48]:- количество наблюдений достаточно для проявления статистическихзакономерностей относительно факторов и их взаимосвязей;- обрабатываемые ЭДсодержатнекоторые ошибки,обусловленныепогрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных факторов;- матрица результатов наблюдений является единственной информацией обизучаемом объекте, имеющейся в распоряжении перед началом исследования.46Функция f ( x2 , x3 ,.., xm ), описывающая зависимость параметра от факторов,называется уравнением (функцией) регрессии.Решение задачи регрессионного анализа целесообразно разбить на несколькоэтапов [13,48]:- предварительная обработка ЭД;- выбор вида уравнения регрессии;- вычисление коэффициентов регрессии и проверка их на значимость;- проверка адекватности построенной функции по результатам наблюдений.Предварительная обработка включает стандартизацию матрицы ЭД, расчеткоэффициентов корреляции факторов между собой, проверку их значимости иисключение из рассмотрения незначимых факторов (эти преобразования былирассмотрены в рамках корреляционного анализа).

В результате преобразованийбудут получены стандартизованная матрица наблюдений U (через y будемобозначать стандартизованную величину y * ) и корреляционная матрица r .В корреляционной матрице особую роль играют элементы левого столбца –они характеризуют наличие или отсутствие линейной зависимости междусоответствующим фактором ui (i  2,3,..m) и параметром объекта y . Проверказначимости позволяет выявить такие факторы, которые следует исключить израссмотрения при формировании линейной функциональной зависимости, и темсамым упростить последующую обработку.Выбор вида уравнения регрессииЗадача определения зависимости, наилучшим образом описывающей ЭД,связана с преодолением ряда принципиальных трудностей.

В общем случае длястандартизованныхданныхзависимостьпараметраотфакторовможнопредставить в виде [13,48]:y*  f (u1, u2 ,.., u p )   ,(1.6)где f – заранее неизвестная функция, подлежащая определению;  – ошибкааппроксимации ЭД.47Указанное уравнение принято называть выборочным уравнением регрессии yна u. Это уравнение характеризует зависимость между вариацией параметра ифакторов.Еще одна особенность касается оценки степени влияния каждого фактора напараметр. Регрессионное уравнение не обеспечивает оценку раздельного влияниякаждого фактора на параметр, такая оценка возможна лишь в случае, когда вседругие факторы не связаны с изучаемым фактором. Если изучаемый фактор связанс другими, влияющими на параметр, то будет получена смешанная характеристикавлияния фактора.

Эта характеристика содержит как непосредственное влияниефактора, так и опосредованное влияние, оказанное через связь с другимифакторами и их влиянием на параметр.В регрессионное уравнение не рекомендуется включать факторы, слабосвязанные с параметром, но тесно связанные с другими факторами. Не включают вуравнение и факторы, функционально взаимодействующие друг с другом (для нихкоэффициент корреляции близок к единице).

Включение таких факторов приводитк вырождению системы уравнений для оценок коэффициентов регрессии и кнеопределенности решения.Функция f должна подбираться так, чтобы ошибка  была минимальна.В целях выбора функциональной связи заранее выдвигают гипотезу о том, ккакому классу может принадлежать функция f , а затем подбирают «лучшую»функцию в этом классе. Выбранный класс функций должен обладать некоторой«гладкостью», т.е. «небольшие» изменения значений факторов должны вызывать«небольшие» изменения значений параметра.Простым, удобным для практического применения и отвечающим указанномуусловию является класс полиномиальных функцийmy  b0   b ju j j 1Длятакогоmbj 1k  j 1классаmjku juk   b jju j 2  ...

  .задача(1.7)j 1выборафункциисводитсякзадачеопределения значений коэффициентов b0 , b j , b jk ,.., b jj ,.. Однако универсальность48полиномиального представления обеспечивается только при возможностинеограниченного увеличения степени полинома, что не всегда допустимо напрактике, поэтому приходится применять и другие виды функций [39,46].Частным случаем, широко применяемым на практике, является полиномпервой степени или уравнение линейной регрессии:my  b0   b ju j  .(1.8)j 1Обычно стремятся обеспечить такое количество наблюдений, котороепревышало бы количество оцениваемых коэффициентов модели. Для линейнойрегрессии при n  m ( n – количество наблюдений, m – количество параметров)количествоуравненийпревышаетколичествоподлежащихопределениюкоэффициентов полинома. Но и в этом случае нельзя подобрать коэффициентытаким образом, чтобы ошибка в каждом уравнении обращалась в ноль, так как кнеизвестным относятся b j и  i , их суммарное количество m  n всегда большеколичества уравнений n .

Аналогичные рассуждения справедливы и для полиномовстепени выше первой.Для выбора вида функциональной зависимости можно рекомендоватьследующий подход [13, 21, 29, 38 48]:- в пространстве факторов графически отображают точки со значениямипараметра.Прибольшомколичествефакторовможноставитьточкиприменительно к каждому из них, получая двухмерные распределения значений;- по расположению точек и на основе анализа сущности взаимосвязипараметра и факторов объекта делают заключение о примерном виде регрессии илиее возможных вариантах;-послерасчетакоэффициентоврегрессииоцениваюткачествоаппроксимации, т.е.

оценивают степень близости расчетных и фактическихзначений;- если расчетные и фактические значения близки во всей области задания, тозадачу регрессионного анализа можно считать решенной. В противном случаевыбирают другой вид полинома или функции.49Вычисление коэффициентов уравнения регрессии [13,27,48].Систему уравнений на основе имеющихся ЭД можно решить, если количествонеизвестных равно или меньше количества уравнений. Могут применятьсяразличные меры для оценки ошибок аппроксимации. В качестве такой меры нашлаширокое применение среднеквадратическая ошибка. На ее основе разработанспециальный метод оценки коэффициентов уравнений регрессии – методнаименьших квадратов (МНК). Этот метод позволяет получить оценкимаксимального правдоподобия неизвестных коэффициентов уравнения регрессиипри нормальном законе распределении значений факторов.В основе МНК лежат следующие положения [21,48]:- значения величин факторов некоррелированы;- математическое ожидание ошибки  должно быть равно нулю (постояннаясоставляющая входит в коэффициент b0 );- выборочная оценка дисперсии ошибки должна быть минимальна.Рассмотрим МНК применительно к линейной регрессии стандартизованныхвеличин.

Для центрированных величин u j коэффициент b0 равен нулю, тогдауравнение линейной регрессии принимает вид:myˆi   b jui , j   ,(1.9)j 2где yˆ i – рассчитанное по уравнению регрессии значение i -го выходногопараметра; i  1,2..n.По МНК определяются такие значения коэффициентов уравнения регрессии,которые обеспечивают безусловный минимум выражению:m1 n1 n1 n 222   ( yi  yˆi )   ( yi  b jui , j )  i ,n i 1n i 1n i 1j 2(1.10)1 n 2здесь  i - оценка дисперсии ошибки.n i 1Минимум находится приравниванием нулю всех частных производныхвыражения (1.10), взятых по неизвестным коэффициентам, и решением системыуравнений:50md2 n   ( yi   b jui , j )ui ,k  0.(1.11)db jn i 1j ,k  2Последовательно проведя преобразования и используя введенные ранееоценки коэффициентов корреляции, получим:1 n1 n mb jui , jui ,k  0; yiui,k  n n i 1i 1 j ,k  2ry ,k mbrj ,k 2j j ,k 0.(1.12)Итак, получено m  1 линейных уравнений, что позволяет однозначновычислить значения b2 , b3 ,.., bm .Если линейная модель неточна или параметры измеряются неточно, то и вэтом случае МНК позволяет найти такие значения коэффициентов, при которыхлинейная модель наилучшим образом описывает реальный объект.Когда имеется только один фактор, уравнение линейной регрессии примет видŷ  b2u2 .

Коэффициент b2 находится из уравнения ry ,2  b2r2,2  0 . Тогда, учитывая,что r2,2  1 , искомый коэффициент равенb2  ry ,2 .(1.13)Соотношение (1.13) подтверждает ранее высказанное утверждение, чтокоэффициент корреляции является мерой линейной связи двух стандартизованныхфакторов.Подставив найденное значение коэффициента b2 в выражение для  (1.10), сучетом свойств центрированных и нормированных величин, получим минимальноезначение этой функции, равное 1  ry2,2 . Величину 1  ry2,2 называют остаточнойдисперсией случайной величины y относительно случайной величины u2 .

Онахарактеризует ошибку, которая получается при замене параметра функцией отпараметра ŷ  b2u2 . Только при ry2,2  1 остаточная дисперсия равна нулю, и,следовательно, не возникает ошибки при аппроксимации показателя линейнойфункции.Переходя от центрированных к нормированным значениям параметра ифактора:51x1  M1 ( x1 )x  M 2 ( x2 ) ry ,2 2, ( x1 ) ( x2 )можно получить значения исходных величин:x1  M1 ( x1 )  ry ,2 M 2 ( x2 ) ( x1 ) ( x1 ) ry ,2x. ( x2 ) ( x2 ) 2(1.14)Это уравнение также линейно относительно коэффициента корреляции.Нетрудно заметить, что центрирование и нормирование для линейной регрессиипозволяет понизить на единицу размерность системы уравнений, т.е.