Диссертация (Разработка методов расчёта динамики твёрдых тел со стратифицированной жидкостью), страница 7

Из оценок (2.19) следует,что криогенную несжимаемую жидкость можно считать идеальной, есликинематическая вязкость  0 удовлетворяет соотношению  0 min2N23gили0 min м2 1  101   с (2.38)45При выполнении всех условий (2.23), (2.26), (2.37), (2.38) получаем следующиеуравнения малых движений криогенной несжимаемой идеальной жидкостиV1p G,t0  x3 0  x3 (2.39)d 0W 0,tdx3(2.40)div V  0.(2.41)Систему уравнений (2.40)-(2.41) в литературе, посвященной изучениюстратифицированных жидкостей, называют уравнениями для невязкой жидкости вприближении БуссинескаВ случае теплопроводной жидкости уравнения (2.40)-(2.41) могут бытьзаписаны также в видеdTT W 0  0,tdx3(2.42)div V  0.(2.43)Уравнения движения (2.33)-(2.36), (2.39)-(2.43) были получены путемлинеаризации общей системы уравнений гидродинамики с использованиемдополнительных неравенств.

Однако часто при решении задач гидродинамикистратифицированной жидкости используют приближение, считая постояннымвеличинами не только коэффициенты вязкости, но и плотность жидкости 0  x3  вуравнениях движения (2.33), (2.39), (2.42). В уравнении несжимаемостипространственное изменение плотности учитывают, так как это слагаемоеобуславливает основной эффект рассматриваемых гидродинамических задач.Вследствие замены 0  x3  на некоторое постоянное значение 0*изменяется, иопределение частоты плавучестиN*2 ( x3 )  g d 00* dx3(2.44)46Этот вид приближения (замена 0  x3  на 0*  const ) в уравненияхдвижения и учет вариации плотности только при векторе G вработе [111]называется двойным приближением Буссинеска.

Замена 0  x3  на некотороепостоянное значение несколько облегчает исследование рассматриваемыхлинейных задач, не нанося значительного ущерба результату самого исследования[58]. При использовании двойного приближения Буссинеска уравнения малыхдвижений идеальной несжимаемой криогенной жидкости принимают видV1  * p  * G,t00(2.45)d 0W 0,tdx3(2.46)div V  0.(2.47)2.1.1. Уравнения в частных производных для одной функции и постановкакраевых задачСистема уравнений (2.39)-(2.41), (2.45)-(2.47) может быть сведена к одномудифференциальному уравнению в частных производных для функции p  x , t  .Продифференцируем по переменным x1 и x2 соответственно выражениядля проекций уравнения (2.39) по осиOx1, Ox2 . Используя уравнениянеразрывности, после несложных преобразований, получим2241 2 5 p  N32 1 4  3 p2 2 pNNNpNp  N34 h p  0.33 3344 22 h2gtx3t  x3 gtt x3t(2.48)Отметим здесь, что при использовании двойного приближения Буссинескауравнение (2.48) преобразуется к виду222N3*43 p2 2 4p  N3* 2  h p  N3* 2 p  N3* h p  0.42x3 x3tttt(2.49)В47экспоненциальногослучае0  x3   0  0 exp 0 x3 квадратчастотыраспределенияплавучестиплотностиN32 ( x3 )становитсяпостоянной величиной равной N02  0 g и уравнение (2.49) приобретает вид2 1 2 p 2pN0  N0  h p  0.2gx3 t (2.50)p  x , t  при постоянной частоте плавучести приУравнение для функциииспользовании двойного приближения Буссинеска упрощается и принимает вид2p  N 02 h p  0.2tРассмотрениемалыхдвижений(2.51)стратифицированнойжидкостиприпостоянной частоте плавучести фактически означает переход от уравнения (2.49)в частных производных с переменными коэффициентами к уравнению спостоянными коэффициентами.

Это позволяет несколько облегчить исследованиерассматриваемойпроблемы,ненаносясущественногоуронакачествуполучаемых результатов.С физической точки зрения предположение о постоянстве частотыплавучести при использовании двойного приближения Буссинеска означает, чтоплотность жидкости может изменяться по линейному закону0  x3   0* (1  0 x3 ).(2.52)где  0* - некоторая осредненная постоянная плотность жидкости, определяемая,например, соотношением0* 1 0  x3  d ,d - элемент области, занимаемой жидкостью. 2 pЕсли пренебречь производнойв уравнении (2.50), то получимt 2 x3уравнение(2.51),т.е.двойноеприближениеБуссинескавслучае48экспоненциального закона изменения плотности равносильно отбрасываниюсреднего слагаемого в (2.50).Начально-краевая задача в рассматриваемом случае запишется в виде:уравнения действующего в области, занимаемой жидкостью2p  N 02 h p  0;2t(2.53)граничных условий на смачиваемой поверхности S   2 pp n1 n2 N2 0 на S , ,nxxt nnh12 h(2.54)условия на свободной поверхности 2 ppg N 2 p  0;2x3t(2.55)а также начальных условий для функций p  x, t p  x,0   p  x  ,p x,0   p  x .tСистема уравнений (2.39)-(2.41), (2.45)-(2.47) для стратифицированнойжидкостизамечательнатем,чтоонаможетбытьсведенакодномудифференциальному уравнению в частных производных не только относительнофункции p  x , t  , но также к уравнению относительно переменной W  x, t  .Исключая переменные  , p и проекции скорости жидкости на оси Ox1, Ox2из системы (2.39)-(2.41) или (2.45)-(2.47), можно получить уравнение2 1 2 W 2WN3  N3  hW  0.2gx3 t (2.57)Для решения задачи уравнение (2.57) необходимо дополнить граничными иначальными условиями. 2  W   g  2W ,  x3  H  ;t 2  x3  2  W 2 W Wn3  0, на S ; N2nht  nh W ( x,0)  W 0 ( x); W ( x,0)  W10 ( x).(2.58)49Уравнение (2.57) в двумерной постановке впервые было получено Лявом[139] и использовалось многими авторами для изучения внутренних волн в моряхи океанах [58, 79, 118].

Уравнение (2.57) имеет примечательную особенность. Видэтого уравнения не зависит от закона распределения плотности.2.2. Колебания стратифицированной жидкости в частично заполненномцилиндрическом сосуде произвольного поперечного сечения(экспоненциальная стратификация)Приисследованииколебанийстратифицированнойжидкостивцилиндрическом резервуаре введем систему координат Ox1x2 z , с началом на днебака (Рис.

2.1, x3  z ).Рис. 2.1. Колебания криогенной жидкости в частично заполненномцилиндрическом сосуде произвольного поперечного сеченияРассмотриммалыеколебаниякриогеннойжидкостивслучаестратификации, соответствующей постоянной частоте плавучести, котораяотвечает экспоненциальному закону распределения плотности N02 0  z   0  0  exp  z.g(2.59)50Определим собственные малые колебания стратифицированной жидкости,частично заполняющей цилиндрический сосуд. Обозначим через  область,занимаемойжидкостью,ограниченнойгоризонтальнойневозмущѐннойсвободной поверхностью Г , произвольной боковой поверхностью S , и дном,поверхность  которого определяется уравнением z  0 . Полагая, что всепеременные, описывающие движение жидкости, зависят от времени по законуexp  it  , в частности p   eit , получаем следующую спектральную задачу.  1     1 1  0z  0  z  z  0  z  20z z  0 ,0nh x  .(2.60) x  S ,с условием на свободной поверхности Г  x1, x2 , H   g 0  H 1d x1, x2 , H  ,2dz1NH  0 0 22где    / N0 , nh - внешняя нормаль к поверхностиS.Применяя метод разделения переменных, будем искать решение в виде  x1, x2 , z   Y ( x1, x2 )Z ( z ) .Разделяя переменные, находим, что функция Y  x1x2  является решениемзадачи Неймана: 2Y  x1x2   k 2Y  x1x2   0, Yпричѐмнетривиальнымрешениямзадачиnh 0,(2.61)(2.61)отвечаетдискретный 2положительный спектр kn , n  1,2,...,, с единственной предельной точкой набесконечности и собственные функции Yn  x1x2  [111].

Значения чисел kn2 и видсобственных функций Yn  x1x2  определяются формой областей поперечногосечения полости и для некоторых областей будут получены ниже.Уравнение для функции Z  z  и граничные условия принимают вид51d  1 dZ    1 1k 2 Z  0; 0  z  Hdz  0  z  dz  0  z  (2.62)Z  0  0Z  H   g 0  H 1dZH 2dz1NH  0 0 Здесь спектральный параметр(2.63) входит в уравнение (2.62) и граничныеусловия (2.63) на  .

Выполнив дифференцирование, перепишем задачу (2.62),(2.63) в виде:N02Z  Z    Z  0;gZ   0   0;0  z  H (2.64)(2.65)N02Z  H   k 2   Z  H   0gгдеk 2 1   ; k2;k2  (2.66)Ищем решения уравнения (2.64) в виде  Z  z   exp   0 z  C1 sh  pz   C2 ch  pz  ; 2  где p   0    2 (2.67)2 0.22Заметим, что в силу соотношения    / N0 число вещественное иположительное, оно может быть  1 и  1 ; поэтому  может принимать какположительные, так и отрицательные значения.

Так как k 2  0 имеем два случаяa) 0    1    0 , б )   1    0 .Используятеориюоператороввгильбертовом(2.68)пространствесиндефинитной метрикой в работе [111] доказано, что   0 соответствует счѐтноемножество положительных собственных значений, отвечающих внутреннимволнам,а 0отвечает52одно отрицательноесобственноезначение,соответствующее поверхностным волнам.После подстановки функции Z  z  в граничные условия (2.65) получимосновное характеристическое уравнение для определения частот поверхностныхволн2ch  pH  H   0 22 k  p sh( pH ) 0   2 pH(2.69)где  kp  0  2 22N2 22.(2.70)2.2.1.

Асимптотика малой стратификацииРассмотримздесьасимптотикумалойстратификациииполучимприближѐнную формулу для оценки поверхностных волн с учѐтом расслоения.N 02 HВведѐм малый параметр  и перепишем характеристическое уравнениеg(2.69) в видеch  pH H 22 2p  k  p ,sh  pH  4H 2 (2.71)и преобразуем его. Правая часть в (2.71) приобретает видH 2 2  k 2g 2    ,    0  .k  p  4H 2   2 2HБудем искать разложение для(2.72) 2   в виде  2    02  12   222   332  0  4(2.73)02  kg th  H (2.74)где53Получим первое приближения для 2   , т.е.