Автореферат (Проектирование межпланетных траекторий космических аппаратов с электроракетными двигательными установками при использовании лунного гравитационного маневра), страница 3

Основная цель этого этапа – этооценка направления вектора скорости КА в момент выхода из грависферы Земли.Предварительный анализ четвертого участка траектории предлагается проводитьпри наличии ряда допущений. Перечислим их: Движение КА рассматривается в центральном гравитационном поле Солнца; Радиус-вектор КА в начальной точке гелиоцентрического участка равен радиусвектору Земли;9 Скорость КА в начальной точке гелиоцентрического участка равна векторнойсумме скорости Земли относительно Солнца и скорости КА относительно Землив конечный момент движения на геоцентрическом участке; В конечной точке гелиоцентрического участка выполняются условия нулевойстыковки КА с планетой назначения (1);Законы управления направлением вектора тяги ЭРДУ на гелиоцентрическомучастке выбираются так, чтобы перелет между начальной и конечной точкамигелиоцентрического участка осуществлялся бы за минимальное время.

При этомполагается, что тяга ЭРДУ постоянна и на траектории отсутствуют пассивные участки.Для нахождения управления использовался принцип максимума.Компоненты орта вектора скорости КА в момент выхода из грависферы Земли( P0 ) являются функциями от юлианской даты выхода КА из грависферы Земли (Т3),величины геоцентрической скорости КА (V3), а также реактивного ускорения (f3) вэтот момент времени.В результате анализа второго этапа удается построить зависимости компоненторта P0 от юлианской даты (Т3) (в диапазоне одного лунного месяца в окрестностиоптимальной даты с точки зрения полета к планете назначения) для ряда значений V3 иf3.Третий этап – этап анализа участка гравитационного маневра у Луны в рамкахуточненной математической модели.

На данном этапе, а также на следующих двухэтапах, движение КА рассматривается под действием сил гравитационноговоздействия со стороны Солнца, Луны и Земли, при этом Земля рассматривается каксжатый по полюсам сфероид (учитывается вторая зональная гармоникагравитационного потенциала Земли).

Систему уравнений движения КА можнопредставить в виде (4): r r r dV U 2drjj  j a;V;p(4)dtr j 1  r  r 3 rj dtjгдеU3  3sin 2   1 ;   66.07  103 км2 .r 3rЗдесь U - гравитационный потенциал Земли как сжатого сфероида;  гравитационный параметр Земли; r - радиус-вектор КА;  j - гравитационныйпараметр j-го небесного тела (индексом 1 обозначено Солнце, индексом 2 - Луна); rj радиус-вектор j-го небесного тела; a p - вектор реактивного ускорения;  геоцентрическая широта КА.Для проведения анализа третьего участка были приняты следующие допущения: длительность движения КА на третьем участке фиксирована; закон управления направлением вектора тяги принят тангенциальным (тяганаправлена вдоль геоцентрической скорости КА в каждый момент времени); рассматриваемый участок движения полностью активный;10Основная цель третьего этапа – выбор такой точки входа КА в грависферу Луныи такого направления вектора геоцентрической скорости КА в этот момент времени,чтобы направление вектора скорости КА в конечной точке геоцентрического участкабыло бы требуемым (т.е.

чтобы вектор геоцентрической скорости КА в конечнойточке третьего участка был бы коллинеарен орту P0 , компоненты которого найдены навтором этапе).Анализ третьего этапа также может быть разбит на две части. Сначала будемполагать, что вектор скорости КА в момент входа в грависферу Луны, а также точкавхода в грависферу Луны принадлежит мгновенной плоскости орбиты Луны. При этомсчитаем, что радиальная и трансверсальная компоненты этого вектора известны - онинайдены на первом этапе.Схема данного этапа приведена на рисунке 3.Основная задача начального этапа расчета третьегоучастка состоит в том, чтобы найти такое положениеЛуны на орбите, т.е. юлианскую дату в момент входаКА в грависферу Луны, такую точку входа в нее(принадлежащую мгновенной плоскости орбиты Луны ихарактеризующуюся углом  - см.

рисунок 3), чтобы КАв конечной точке геоцентрического участка имел бы повозможностимаксимальноеприращениегеоцентрической энергии и минимальный угол междувектором геоцентрической скорости и ортом P0 ,компонентыкоторого определяются с помощьюзависимостей найденных на втором этапе.Перебирая значения угла  от 0 до 360 градусов июлианскую дату момента входа КА в грависферу Луныв диапазоне одного лунного месяца в окрестностиРисунок 3 - Схема первого оптимальной даты с точки зрения полета к планетеэтапа анализа участканазначения и интегрируя систему (4) по времени от 0 долунного гравитационногоtk (tk выбирается так, чтобы за это время КА оказался быманевраприблизительно на границе грависферы Землиотносительно Солнца), можно построить множествотраекторий пролета. Для каждой полученной траектории находим величинуприращения энергии - h, а также угол между вектором геоцентрической скорости КАв конечной точке третьего участка и ортом P0 в начальной точке четвертого участка  (как угол между двумя векторами в пространстве он может изменяться в диапазоне0…180о).Таким образом, каждая полученная траектория характеризуется двумяпараметрами - h и .

Эти параметры можно нанести на координатную плоскость.Каждая точка такой диаграммы будет характеризовать одну из полученныхтраекторий. Для определенности, приведем пример качественного вида такойдиаграммы для некоторого варианта перелета к Земля-Луна-Марс, расчет которогоприводится во второй главе диссертационной работы. Пример диаграммы представленна рисунке 4. По оси абсцисс отложен угол между вектором геоцентрической скорости11КА в конечной точке третьего участка и ортом вектора тяги (геоцентрическойскорости – что то же самое) в начальной точке четвертого участка - . По оси ординатотложена величина, обратная приращению энергии КА – 1/h.Одну из точек, представленных на диаграмме, предлагается использовать вкачестве начального приближения для следующего этапа расчета.

Такая точка(траектория) должна иметь как можно большее приращение энергии и как можноменьшее значение угла между вектором P0 и вектором скорости КА в конечной точкетретьего участка.Построив фронт Парето напредставленной диаграмме, видим,что он имеет вид почти прямогоугла. Именно угловая точка фронта(т.е.соответствующаяейтраектория) будет использована вкачестве начального приближениядля дальнейшего расчета.Далее, зафиксировав значениярадиальнойитрансверсальнойскорости КА, будем выбирать точкувхода КА в грависферу Луны иРисунок 4 – Пример диаграммы решенийнаклонение подлетной траектории вмомент входа КА в грависферупервого этапа расчета участка лунногоЛуны так, чтобы угол  стал равнымгравитационного маневранулю.Для выбора точки входа удобно перейти от декартовых координат КА( x20 , y20 , z20 ) к углам склонения () и прямого восхождения () радиус-вектора КАR 'KA , определенного в селеноцентрической системе координат.

Первая ось новойсистемы координат направлена по геоцентрическому радиус-вектору Луны, вторая осьнаправлена по трансверсали лунной геоцентрической орбиты, третья ось дополняетсистему координат до правой.Угол межу вектором скорости КА и вектором P0 в конечной точке третьегоучастка можно рассматривать как функцию шести параметров: юлианской даты входаКА в грависферу Луны (Т2), склонения () и прямого восхождения () радиус-вектораКА в селеноцентрической системе координат, наклонения подлетной орбиты КА(определенного в геоцентрической экваториальной системе координат) - i, а такжерадиальной и трансверсальной скорости в момент входа КА в грависферу Луны.Радиальную и трансверсальную скорость КА предлагается зафиксировать ииспользовать значения Vr 2 , Vn 2 , полученные на первом этапе анализа.

Таким образом,будем рассматривать угол  как функцию четырех аргументов:  F (T2 ,  , , i)(5)12В результате появляется возможность свести поставленную задачу к задачепоиска безусловного минимума функции (5) в пространстве четырех переменных:  F (T2 ,  , , i)  min.Величина этого минимума – есть ноль функции F. В качестве начальногоприближения для поиска используются значения T20 ,  0 ,0 , найденные для траектории,которая характеризуется угловой точкой на диаграмме решений (см. рисунок 4). Вкачестве начального приближения для наклонения подлетной траекториииспользуется значение наклонения орбиты Луны в момент T2: i0  iЛуны (T2 ) .minminmin minПеременные, обеспечивающие минимум функционала F обозначим T ,  , , i .На следующем шаге расчета третьего участка производится переход от набораminminmin minпеременных T ,  , , i ,Vr 2 ,Vn 2 обратно к координатам и проекциям вектораскорости КА, определенных в геоцентрической экваториальной системе координатx2 , y2 , z2 ,Vx 2 ,Vy 2 ,Vz 2 .В результате данного этапа анализа получим фазовые характеристики КА вмомент входа КА в грависферу Луны и в момент выхода из грависферы Земли.Четвертый этап – совместный анализ участков под номерами один и два.Первый участок движения КА рассматривался в рамках импульсной аппроксимацииактивных участков работы ХРБ.

На втором участке управление выбирается из условияобеспечения перелета КА с промежуточной орбиты в начальную точку третьегоучастка за минимальное время. Для нахождения законов управления используетсяпринцип максимума Л.С. Понтрягина.Оптимальный закон для вектора реактивного ускорения можно представить ввиде:Pw V;m1w  Pt Vгде m1 – масса КА на промежуточной орбите искусственного спутника Земли (ОИСЗ),где V Vx , Vy , Vz  - вектор переменных, сопряженных к проекциям вектора скоростиКА.Полная математическая модель оптимального движения КА состоит из системы(4) (с использованием записанного выше оптимального вектора реактивногоускорения) и системы уравнений для сопряженных переменных (6):d Vd rK r ;;dtdtr r r r (6)U 2jj  ,где K  V , j r j 1  r  r 3 rj   jap r x ,  y , z  - вектор переменных, сопряженных к проекциям радиус-вектора КА.Анализ движения КА на втором участке предлагается проводить в обратномвремени, совместно интегрируя системы (4) и (6) от конечной точки второго участка кначальной.

В этом случае, начальными условиями задачи будут выступать фазовые13характеристики КА в момент входа КА в грависферу Луны T2 , x2 , y2 , z2 ,Vx 2 ,Vy 2 ,Vz 2 , m2(полученные на третьем этапе), а управление будет определять набор сопряженныхпеременных в конечной точке второго участка: x 2 , y 2 , z 2 , Vx 2 , Vy 2 , Vz 2 .Особенностью данной задачи есть то, что масса КА является заданной в обеихграничных точках рассматриваемого участка траектории.

Это связано с тем, чтоизвестна масса КА на опорной орбите m0 - эта та масса, выведение которойобеспечивает РН, а также известна масса КА в конечной точке участка раскрутки - m2.Перечислим граничные условия поставленной задачи. Первое условие - условиеравенства масс КА на промежуточной орбите, полученных из расчета первого ивторого участка: V g1  m1  m0 exp      mхрб  0;(7) Wхим где m1 - масса КА в начальной точке второго участка, полученная из обратного V расчета; m0 exp    mхрб - масса КА в конечной точке первого участка (масса КА Wхим на промежуточной орбите после отброса ХРБ, полученная из расчета первого сегментатраектории с помощью импульсной аппроксимации активных участков ХРБ). В этомвыражении: m0 - масса связки КА-ХРБ на опорной орбите; Wхим - эффективнаяскорость истечения для двигательной установки ХРБ; mхрб - конечная масса ХРБ;V - суммарная характеристическая скорость маневра двухимпульсногокомпланарного перехода с опорной на промежуточную орбиту.Второе граничное условие - условие равенства наклонений опорной ипромежуточной орбиты:g 2  cos(i0 )  z1  0;(8)1в этом выражении: i0 - наклонение опорной орбиты;  z1 /  1 - отношение z-ойкомпоненты вектора площадей КА к модулю этого вектора в начальной точке второгоучастка.Дополним эти условия четырьмя условиями трансверсальности для начальнойточки второго участка:ggg3  z1  1  1  2  2  0;(9)zzggg4  Vx1  1  1  2  2  0;(10)VxVxggg5  Vy1  1  1  2  2  0;(11)VyVyggg6  Vz1  1  1  2  2  0;(12)VzVzгде множители Лагранжа  1 ,  2 определяются соотношениями:14g1g  y1 11 gyx1 x1  2  2  ;  2 .g1 g1 g 2 g1 g 2x xy xx yТаким образом, поставленная задача имеет шесть краевых условий: (7)-(12).Функции g1 - g6 зависят от фазовых параметров КА в начальной точке второгоучастка Vx1 ,Vy1 ,Vz1 , x1 , y1 , z1 , которые в свою очередь, являются функциями отсопряженных переменных в конечной точке второго участка и времени "раскрутки":Tp , x 2 , y 2 , z 2 , Vx 2 , Vy 2 , Vz 2 .