Автореферат (Параметрическая идентификация математических моделей теплообмена в неразрушаемых теплозащитных и теплоизоляционных материалах), страница 2

Обосновывается применениеитерационных методов идентификации математических моделей. Обосновываетсяцелесообразность предварительной параметризации искомых функций. Приводитсяпостановка сопряженной задачи для вычисления градиента функционала невязки.Обосновывается применение сплайн-аппроксимации при решении ОЗТ.Определяются параметры градиентного метода минимизации.В силу некорректности обратных задач для их решения необходимоиспользоватьспециальныерегуляризирующиеметодыиалгоритмы,обеспечивающие устойчивые приближенные решения. В работе регуляризирующиеалгоритмы строятся на основе метода итерационной регуляризации, показавшемсвою высокую эффективность в практике решения различных обратных задачтеплообмена. Так же важным вопросом является единственность решениясоответствующей обратной задачи. В работе предлагается для обеспеченияединственности решения одновременно обрабатывать данные несколькихэкспериментов с различным внешним тепловым воздействием.Анализируемую обратную задачу можно представить в виде операторногоуравнения первого родаAu = f , u ∈ U , f ∈ F , A : U → F(8)где оператор A строится на основании модели исследуемого процесса (2) - (7), аправая часть f формируется с использованием экспериментальных данных, т.е.

прирешении обратных задач преобразование Au в уравнении (8) представляет собойфункцию теплового состояния анализируемой системы, вычисленную в точкахустановки термопар. Формируется функционал невязкиJ (u ) = Au − f(9)Fи рассматривается задача его минимизации относительно u .При использовании данного итерационного алгоритма регуляризирующееусловие останова выбирается в соответствии с принципом обобщенной невязки(10)s * : J (u s* ) ≅ ε (h, δ ) ,пропорциональной величине, обратной номеру последней итерации.Важнейшей частью итерационных алгоритмов решения обратных задачтеплообмена является вычисление градиента функционала невязки. Реализация этой6процедуры во многом определяет общую эффективность вычислительныхалгоритмов и расчетных методик.Предположим внутри исследуемого образца установлены М термопарTexp (X l ,m ,τ ) = f l ,m (τ ), m = 1, M l , l = 1, L(11)Функционал невязки, характеризующий среднеквадратичное уклонениерассчитанных температур в точках установки термопар от экспериментальноизмеренных значений, имеет следующий вид:Ml τmJ (C , λ , ε ) = ∑∑ ∫ χ l ,m (τ )[T (X l ,m ,τ ) − f l ,m (τ )] dτL2(12)l =1 m =1 0Искомые зависимости в параметрической форме можно представить вследующем виде:NCNλNεk =1k =1k =1C L (T ) = ∑ Ckϕ k (T ) ; λL (T ) = ∑ λkϕ k (T ) , ε L (T ) = ∑ ε kϕ k (T )(13)где в качестве базисных функций используется система кубических В-сплайнов.Тогда выражения для составляющих градиента функционала невязки:M l +1τ max X L , m⎡ ∂ 2 TL , m⎛ ∂T∂J′ϕ k (T ) + ⎜⎜ L ,m≡ J λk = ∑ ∫ ∫ ψ L , m ⎢2∂λ k⎢⎣ ∂xm =1 0 X L , m −1⎝ ∂xτ max∂TL ,1 ( X L −1 ,τ )ϕ k (TL ,1 ( X L −1 ,τ ))dτ −+ ∫ ψ L ,1 ( X L −1 ,τ )∂x0τm− ∫ψ L , M L +1 ( X L ,τ )∂TL , M L +1 ( X L ,τ )∂x0ϕ k (TL, ML +12⎤⎞ dϕ k (T ) ν ∂TL ,m⎟⎟ϕ k (T )⎥dxdτ ++dTx ∂x⎥⎦⎠( X L ,τ ))dτ ,k = 1, N λτM l +1 max∂J≡ J C' k = − ∑ ∫∂Ckm =1 0X L ,m∫ψ L , m ( x, τ )X L, m -1∂TL,m∂τϕ k (T )dxdτ , k = 1, N C ;τmax∂J≡ J ε' k = − ∫ψ L ,M L +1 ( X L , τ )σTL4,M L +1 ( X L , τ )ϕ k (T ( X L , τ ))dτ , k = 1, N ε .∂ε k0(14)Вводится в рассмотрение сопряженная краевая задача∂ψ l ,m∂ψ ⎞ ⎛ dλ ∂T1 ∂ ⎛ ν2ν ⎞ ∂ψ l ,m ⎛ ν⎞⎜⎜ x λl (T ) l ,m ⎟⎟ − ⎜⎜ l l ,m += νλl ⎟⎟+ ⎜ 2 λl ⎟ψ l ,m∂τ∂x ⎠ ⎝ dT ∂xx ∂x ⎝x ⎠ ∂x⎝x⎠X l ,m−1 < x < X l ,m ,0 ≤ τ < τ maxCl (T )(15)ψ l ,m ( x,τ max ) = 0, X l ,m−1 ≤ x ≤ X l ,mα1λ1 (T1,1 ( X 0 ,τ ))∂ψ 1,1 ( X 0 ,τ )+∂x∂q (T ( X ,τ ),τ )⎤⎡ν+ ⎢ β1 + α 1λ1 (T1,1 ( X 0 ,τ )) − 1 1,1 0⎥ψ 1,1 ( X 0 ,τ ) = 0X0∂T⎣⎦( X , τ )⎤⎡ ∂ψ (X ,τ ) ∂ψλl (Tl ,m (X l ,m ,τ ))⎢ l ,m l ,m − l ,m−1 l ,m ⎥ = 2 χ l ,m (τ )[Tl ,m (X l ,m ,τ ) − f l ,m (τ )],∂x∂x⎣⎦(16)(17)m = 1, M l , l = 1, L7ψ l ,m (X l ,m ,τ ) = ψ l ,m ( X l ,m ,τ ), m = 1, M l , l = 1, L∂ψ ( X ,τ )=R(T1,M +1 ( X l ,τ ))λL (TL ,1 ( X l ,τ )) L ,1 1(18)∂xl⎡ ⎛ν⎞⎤= ⎢1 + ⎜⎜λL (TL ,1 ( X 1 ,τ ))⎟⎟⎥ψ L ,1 ( X 1 ,τ ) − ψ 1,M l +1 ( X 1 ,τ )⎠⎦⎣ ⎝ X1∂Tl ,Ml +1 ( X l ,τ )∂ψ l ,Ml +1 ( l ,τ )⎡λl Tl ,Ml +1 ( X l ,τ )= λL (TL,1 ( X l ,τ ))⎢λl Tl ,Ml +1 ( X l ,τ )R′ Tl ,Ml +1 ( X l ,τ ) + 1 −∂x∂x⎣(−νXl)()()⎤ ∂ψ L,1 ( X l ,τ )−∂x⎦λl (Tl ,M +1 ( X l ,τ ))R(Tl ,M +1 ( X l ,τ ))⎥ll(20)∂Tl ,Ml +1 ( X l ,τ ) dRl⎡ν− ⎢ λl Tl ,Ml +1 ( X l ,τ ) λL (TL,1 ( X l ,τ ))Tl ,Ml +1 ( X l ,τ ) +∂XxdT⎣ l(+νXl(19))λL (TL,1 ( X l ,τ )) −α 2 λL (TL ,ML +1(l ,τ ))νXl(λl (Tl ,M +1 ( X l ,τ )) −lν2X2l)⎤λl (Tl ,M +1 ( X l ,τ ))λL (Tl ,1 ( X l ,τ ))R(Tl ,M +1 ( X l ,τ ))⎥ψ L,1 (X l ,τ )ll⎦()( X , τ ),τ∂ψ L ,M L +1 ( X L , τ ) ⎛∂q TνλL TL ,M L +1 ( X L , τ ) − 2 L ,M L +1 L+ ⎜⎜ β 2 +−XL∂x∂T⎝()dε⎞− L TL ,M L +1 ( X L , τ ) σTL4,M L +1 ( X L , τ ) − 4ε L TL ,M L +1 ( X L , τ ) σTL3,M L +1 ( X L , τ )⎟ψ L ,M L +1 ( X L , τ ) = 0dT⎠()()(21)где λL (T ) , CL (T ) и ε L (T ) - искомые зависимости.Если на границах образца установлены дополнительные термопары, граничныеусловия следует переписать в следующем виде:α1λ1 (T1,1 ( X 0 ,τ ))∂ψ 1,1 ( X 0 ,τ ) ⎡ν(T1,1 ( X 0 ,τ )) − ∂q1 (T1,1 ( X 0 ,τ ),τ )⎤⎥ψ 1,1 ( X 0 ,τ ) =+ ⎢ β1 + α 1X0∂T∂x⎣⎦= χ1,1 (τ )[T1,1 ( X 0 ,τ ) − f1,1 ( X 0 ,τ )]α 2 λL (TL ,M ( X L , τ ))L(22)()∂ψ L ,M L ( X L , τ ) ⎛∂q2 TL ,M L ( X L , τ ), τ−+ ⎜⎜ β 2 + α 2 q2 TL ,M L ( X L , τ ) −∂x∂T⎝()dε L⎞TL ,M L +1 ( X L , τ ) σTL4,M L +1 ( X L , τ ) − 4ε L TL ,M L +1 ( X L , τ ) σTL3,M L +1 ( X L , τ )⎟ψ L ,M L ( X L , τ ) =dT⎠= χ L ,M L (τ ) TL ,M L ( X L , τ ) − f L ,M L ( X L , τ )−()[(])(23)Таким образом, приведенные соотношения позволяют построить алгоритмыопределения градиента функционала невязки при произвольных граничных условияхи любой схеме расстановки термопар.Третья глава посвящена рассмотрению вопросов разработки вычислительныхалгоритмов, предназначенных для численного решения задач идентификации приналичии излучения с одной из поверхностей многослойной конструкции.Предлагаемый подход основывается на введении в рассмотрение обобщеннойматематической модели в виде краевой задачи для нелинейного параболическогоуравнения второго порядка в одномерной по пространственной переменноймногослойной области с произвольными граничными условиями на внешних8границах.

Обосновывается использование метода конечных разностей припостроении вычислительных алгоритмов. Приводится анализ вычислительныхалгоритмов.При решении сопряженных задач в местах установки термопар имеет месторазрыв первого рода производной решения, а при решении прямых задач на границахслоев – разрыв в температуре, поэтому исследуемую многослойную пластину удобнопредставить в виде комбинации конечного числа многослойных пластин с разрывамив решении и производной решения на границах.

Представление исходной системы ввиде многослойной и введение в ее состав "фиктивных" слоев с границами,проходящими через точки установки термопар, позволяет рассматривать все тризадачи в одной и той же многослойной области с достаточно общими условиямиэнергетического сопряжения между слоями в каждой задаче. Это также обеспечиваетиспользование одной и той же разностной сетки для всех краевых задач.Краевая задача для уравнения параболического типа, охватывающая всерассматриваемые случаи записывается следующим образом (для одногоэксперимента):∂Tl ∂∂T= (λl (Tl , x,τ ) ) +∂τ ∂x∂x∂T+Ql (Tl , x,τ ) l + Pl (Tl , x,τ )Tl + Sl (Tl , x,τ ),∂xCl (Tl , x,τ )(24)T = Tl ( x, τ ), x ∈ ( X l −1 , X l ),Tl ( x,0) = Tl 0 ( x), l = 1, L, x ∈[ X l −1 , X l ];l = 1, L, τ ∈ (0,τ max ];(25)a0 (T1 (0,τ ),τ )(26)∂T1 (0,τ )+ b0 (T1 (0,τ ),τ )T1 (0,τ ) = d0 (τ ),τ ∈ (0,τ max ];∂x∂T (1,τ )aL (TL (1,τ ),τ ) L+ bL (TL (1,τ ),τ )TL (1,τ ) = H (TL (1,τ ),τ ),∂xτ ∈ (0,τ max ];∂T (1,τ )al (T1 (1,τ ),τ ) 1+ bl (T1 (1,τ ),τ )T1 (1,τ ) +∂x∂T (0,τ )+ dl (Tl +1 (0,τ ),τ ) l+ fl (Tl +1 (0,τ ),τ )Tl +1 (0,τ ) = ϖ l (τ ),∂xl = 1, L − 1,τ ∈ (0,τ max ];∂T (1,τ )gl (T1 (1,τ ),τ ) 1+ hl (T1 (1,τ ),τ )T1 (1,τ ) +∂x+ el (Tl +1 (0,τ ),τ )Tl +1 (0,τ ) = υl (τ ), l = 1, L − 1,τ ∈ (0,τ max ],(27)(28)(29)где L - полное число слоев в системе (с учетом «фиктивных»).Построение конечно-разностного аналога дифференциальной задачиосуществляется по отдельным слоям, а сопряжение решений в соседних слояхпроводится с использованием конечно-разностного представления условийэнергетического сопряженияИспользуется разностная сетка с постоянным шагом по пространственнойпеременной внутри каждого слоя и постоянным шагом по времени{ωl = xi = X l −1 + ( i − 1) Δxl , i = 1, nx ,l + 1,Δx = ( X l − X l −1 ) / nx ,l ,τ j = j Δτ , j = 0, nτ , Δτ = τ m / nτ}9Опуская индекс l конечно-разностный аналог уравнения (24) можно представить ввиде:jj −1jjjjλi j + λi −j 1 Ti j − Ti −j1 ⎞j Ti − Tij 1 ⎛ λi +1 + λi Ti +1 − Ti= ki−Ci⎜⎟+22ΔτΔx ⎝ΔxΔx ⎠(30)Qi j + Qi j Ti +j1 − Ti j λi +j 1 + λi j Qi j + Qi j Ti j − Ti −j1 λi j + λi −j 1++− pijTi j + Si j = 0,jj2λi22λi2ΔxΔxΔQi j Δx1jгде ki =– конечно-разностное число Рейнольдса., Rei =1 + Reij2λi jjИспользуется четырехточечная чисто неявная схема.

Для конечно-разностнойаппроксимации граничных условий используется разностное представление первойпроизводной функции T ( x,τ ) по пространственной переменной на трехточечномшаблоне.Для получения конечно-разностного аналога условий сопряжения междуслоями используется следующая аппроксимация:T− 4T + 3T⎛ ∂T(1,τ ) ⎞⎟ = Nl −2 Nl −1 Nl⎜2Δxl⎝ ∂x⎠1−0−TNjl +3 + 4TNjl + 2 − 3TNjl +1⎛ ∂T⎞( 0,τ ) ⎟ =⎜2Δxl +1⎝ ∂x⎠0+ 0jjj(31)(32)что позволило получить однородную разностную схему для многослойной пластины.В результате конечно-разностной аппроксимации дифференциальногооператора (30) – (32) решение исходной краевой задачи сводится к решению накаждом шаге интегрирования по времени системы алгебраических уравнений стрехдиагональной матрицей:⎫⎪⎪= − Fi j , i = 2, N L − 1,⎬⎪⎪⎭− D1j T1 j + B1j T2j = − F1 j ,Ai j Ti −j1 − Di j Ti j + Bi j Ti +j1Φ (T ) = 0LNL(33)Данная система алгебраических уравнений наиболее эффективно решаетсяметодом прогонки с итерациями по коэффициентам.В четвертой главе анализируются свойства вычислительных алгоритмов путемматематическогомоделирования(обработкаданныхвычислительногоэксперимента).Эффективное применение методов исследования теплообмена на основерешения обратных задач, требует тщательной отработки вычислительныхалгоритмов, а также выбора числа одновременно обрабатываемых образцов, числатермодатчиков и т.д.

Поэтому на этом этапе исследований наиболее эффективнымметодом исследований является вычислительный эксперимент. Анализируетсявычислительная устойчивость предложенного алгоритма к различным погрешностям,а также влияние различных факторов на точность решения.В данной работе эффективность предлагаемого алгоритма исследовалась путемобработки данных двух модельных экспериментов. Сначала решаласьсоответствующая прямая задача (с использованием неких исходных значенийхарактеристик, определяемых в дальнейшем), затем полученные значениятемператур в предполагаемых точках установки термопар использовались дляформирования «измеренных» данных и моделировалось решение соответствующей10обратной задачи. В работе анализировалось влияние задаваемых значений начальныхприближений определяемых функций, влияние числа параметров аппроксимации наточность получаемого решения, влияние погрешностей задания функций тепловогопотока и уровня погрешности измерений температур на результаты решенияобратной задачи.