Диссертация (Методика оценки долговременной эволюции техногенного засорения низких околоземных орбит при реализации активного удаления космического мусора), страница 9

Для расчетов необходимо иметь значения & годдля предшествующих двух лет, и знать какие это годы в 11 летнем цикле.Расчет среднегодовых чисел Вольфа на каждый следующий цикл солнечнойактивности производится с использованием последнего числа &+год и года ,+ .Также используются коэффициенты M и S55- = 10 ./46)03 = / (-4 −46)− 1025год(2.18))где M – коэффициент, учитывающий изменение индекса геомагнитнойактивности, S – коэффициент учитывающий изменение индексов геомагнитной исолнечной активностей, ∑активности ∑значения00- среднегодовое значение индекса геомагнитнойв цикле предшествующем прогнозируемому. Среднегодовыечисел Вольфав следующем циклеиспользованием уравнений линейной регрессии [30].такжерассчитываютсяс562.3 Методика расчета взаимных столкновенийВ данном разделе рассмотрены компоненты модели, с использованиемкоторых рассчитывается количество взаимных столкновений космическихобъектов множества Х.

Для расчета количества взаимных столкновенийиспользуются разработанные методики, основанные на отечественной модели КМSDPA [13, 20, 31-34]. При моделировании КМ в области низких орбит (с высотойдо 2000 км) используется допущение, что статистические распределения трехугловых элементов орбит (средней аномалии в начальный момент времени,долготы восходящего узла и аргумента перигея) являются равномерными,вероятность попадания значений этих элементов в произвольный интервал(x, x+δ) равна δ/2π. В качестве исходных данных для расчета используетсяраспределение только трех элементов орбиты, характеризующих ее высоту,эллиптичность и наклонение p(hп, e, i): высота перигея (hп), эксцентриситет (e) инаклонение (i) .Для расчета количества взаимных столкновений необходимо рассчитыватьвеличину потока космического мусора Q[1/м2год] – это количество столкновенийсферического КА на заданной орбите с площадью сечения 1 м2 с другимиобъектами.

С ее использованием можно рассчитать количество взаимныхстолкновений на заданном интервале времени.Для расчета величины Q необходимо иметь следующие распределения:8 h, 9: – концентрация космических объектов в зависимости от высоты ишироты, характеризующая среднее число объектов в единице объема;;<8 h: – распределение радиальной скорости КМ в инерциальномпространстве;;,8 h: – распределение тангенциальной скорости КМ в инерциальномпространстве;( h, 9) – распределение углов азимута пролета объектов от высоты ишироты точки в инерциальном пространстве.572.3.1 Методика расчета концентрации космических объектовОдной из основных характеристик КМ является концентрация объектов взаданной области пространства [1/км3]. Это один из показателей текущего уровнязасорения околоземного космического пространства КМ. На рисунке 2.3.1представлено положение заданной точки в ОКП.Рисунок 2.3.1 – Положение заданной точки в ОКПРасчетконцентрации( h, 9) проводитсяпоследующейметодике:распределение p(hп, e, i) заданно, распределение других 3-х элементов орбиты(долготы восходящего узла, аргумента перигея и истинной аномалии) считаетсяравномерным.

Заданная область в ОКП описывается двумерными «ящиками» повысоте и широте h и φ с шагом ∆h и ∆φ. Концентрация в одном «ящике» равна( h, 9) =∆>(?,?@∆?,A,A@∆φ)B(C@?)D EFG (φ)∆?∆φ(2.19)В сферическом слое (h, h + Δh) рассчитывается количество объектов ΔN(h, h+ Δh). С использованием уравнения Кеплера эллиптической теории движения КО,которое связывает положение КО на орбите со временем, рассчитываютсявременные интервалы Δt(hп, e), в течение которых КО с элементами орбиты hп , eнаходится в высотном диапазоне (h, h + Δh). Нормированная величина Δτ(h, h +Δh) = Δt(hп , e)/T, где T — период обращения, имеет смысл вероятности,нахождения КО с элементами орбиты hп, e в рассматриваемом сферическом слое,т.к.

движение КО по истинной аномалии не устойчиво при прогнозе на большиеинтервалы времени можно использовать данное выражение.58Δ ( h, h + Δ h) =∑ H?п HNΔτ( h, h + Δ h)J8 hп , L:M hп ML(2.20)В широтный слой (φ, φ + Δφ) попадают все КО, у которых sin i > sin φ. Время Δt, втечение которого КО пересекает рассматриваемый широтный слой (в общемслучае два раза) описывается выражениемOΔ, = Ф( h0 , L, h)BPQRφSGTUD 4)GTUD φ(2.21)гдеФ . h0 , L, h2 =( )N)D√ )NWDh@CYhX @C(2.22)Вероятность ΔP попадания КО в область (h, h + Δh, φ, φ + Δφ) равнапроизведению вероятностейΔZ = Δτ(φ, φ + Δφ)Δτ( h, h + Δ h)(2.23)где отношение Δτ(φ, φ + Δφ)= Δt/T имеет смысл условной вероятности попаданияКО в рассматриваемый широтный слой при условии нахождения его в данномвысотном слое (h, h + Δh).

Таким образомΔ ( h, h + Δ h, 9, 9 + ∆φ) =∑ H4H? H\ ΔZ J8 hп , L, [: M h0 MLM[ (2.24)пВ данном выражении интегралы по аргументам hп и e берутся по всей области ихвозможных значений, а по наклонению i — только по области, где sin i > sin φ.2.3.2 Методика расчета распределений скорости космических объектов винерциальном пространствеДля КО, высота перигея и эксцентриситет которых находится в диапазонезначений (hп, hп + Δhп), (e, e + Δe), пролёту некоторого КО через сферический слойс высотами (h, h + Δh) соответствуют значения радиальной и тангенциальнойсоставляющих скорости Vτ(hп, e) и Vr(hп, e)_(2.29)_(2.30);] = ^ L sin c0где J = 8 hп +N :(1 +;d = ^ (1 + L cos c)0L), g - гравитационная постоянная.

Вероятность попаданияКО в указанный сферический слой равна59P (h , hп , e ) = ∆ τ (h, h + ∆ h ) ⋅ p (hп , e ) ⋅ ∆ h p ⋅ ∆ e(2.31)гдеh=0( @NPQRh)(2.32)p(hп,e) — статистические распределения высоты перигея и эксцентриситетасоответственно. Применение вероятности (2.31), путем суммирования, позволяетпостроить распределения величины рассматриваемых составляющих вектораскорости для различных высотных слоев.Направления тангенциальной составляющей скорости характеризуетсяуглом азимута А (см.

рисунок 2.3.1). Значение угла А зависит от параметровсферического прямоугольного треугольника, у которого известны два катета (уголL и широта φ) и наклонение орбиты i. Для расчета значений А применяютсяформулы сферической тригонометрии:tg i⋅sin L = tg ϕ ,(2.33)cos isin L=.(2.34)222cos ϕsin L ⋅ cos ϕ + sin ϕЗначение азимута находится в том же квадранте, что и значение долготы L.sin A =Имеется однозначное соответствие между направлением вектора скорости иэлементами орбиты (2.34).Положение произвольной точки в ОКП характеризуется координатами:геоцентрическим расстоянием r, широтой ϕ и долготой. При решении задачирасчета распределения угла А удобно в качестве долготы использовать угловоерасстояние L между положением восходящего узла орбиты и меридианом даннойточки. При анализе множества пролетов КО через произвольную точкуиспользуется допущение, что долгота L является равномерно распределеннойслучайной величиной с плотностью распределенияp (L ) = 1 2 π .(2.35)Статистическое распределение значений наклонения p(i) известно.

Необходимопостроить статистические распределения азимута А в точках с разной широтой ϕ.60В частном случае, когда точка находится на экваторе (ϕ=0), решение задачиупрощается.ИзBформулывидно,(2.34)чтовэтомслучаеА = − [ . Поэтому в данном случае распределение угла А имеет видBJ(А) = J([ = − А).Принимая в заданной точке концентрацию ( h, 9) известной, определяетсячисло объектов, которые проходят в ее окрестности через нормальное к скоростисечение площадью δF=δr⋅δr за единицу времени (один период).

Общее числообъектов, которые находятся в высотном слое (r, r+δr), равно δn = p(h)⋅δr, гдеp(h) = 2π ⋅ r 2 ⋅π /2∫π ρ (h,ϕ ) ⋅ cosϕ ⋅ dϕ .(2.36)− /2При определении доли объектов (вероятности p(A)∙ΔА), которые пролетаютчерез заданный азимутальный сектор (А, А+ΔА), нужно иметь в виду, что толькомалая часть из числа этих объектов (δn) пролетает в окрестности данной точки.Необходимо определить число объектов, которые пролетают в окрестностиданной точки в азимутальном секторе (А, А+ΔА) и на расстоянии δb побинормали, удовлетворяющем условиюδb ≤ δr .(2.37)Выполнение данного условия зависит от двух элементов орбиты: долготыточки L относительно восходящего узла и наклонения i. При прохождении КОчерез заданную точку эти параметры связаны соотношением (2.33).

Длянекоторых заданных значений L и i = f(L, φ) можно определить отклонения δL иδi = F(δL), при которых выполняется условие (2.37). При заданных априорныхраспределениях p(i) и p(L) определяется искомая доля объектов, попадающих вуказанную окрестностьδn(δL) = p(i ) ⋅ p(L) ⋅ δi ⋅ δL .(2.38)Это доля объектов из числа δn = p(h)⋅δr, которые имеют долготу L в интервале(L,L+δL) и пролетают в δb-окрестности заданной точки.Необходимо определить область S значений δΩ и δi («трубки» траекторий),61для которых выполняется условие (2.37).