Диссертация (Методика оценки долговременной эволюции техногенного засорения низких околоземных орбит при реализации активного удаления космического мусора), страница 10

Как только область S построена,криволинейный интегралδn(δb ) = ∫ p(i ) ⋅ p(L ) ⋅ dS(2.39)Sхарактеризует долю объектов (из числа δn), которые находятся в этой «трубке». Врезультате построения области S вычисление криволинейного интервала можнопривести к вычислению обыкновенного интеграла [13]δn(δb ) =p (L ) ⋅ δb 2π⋅ ∫ p (i (L )) ⋅ sin i (L ) ⋅ dL ⋅ .2 ⋅ r ⋅ sin ϕ 0(2.40)В данном выражении наклонение связано с долготой соотношением (2.33). Общеечисло объектов, которые пролетают в δF- окрестности данной точки за одинпериод будет равноp(h ) ⋅ δr ⋅ δn(δb ) =δF ⋅ p (h ) ⋅ p(L ) 2π⋅ ∫ p (i (L )) ⋅ sin i (L ) ⋅ dL .2 ⋅ r ⋅ sin ϕ0(2.41)Нормированное азимутальное распределение удовлетворяет условию∫ p ( A ) ⋅ dA = 1 .(2.42)При фиксированной широте в выражении (2.41) множители перед интегралом независят от аргумента L.

Их произведение можно считать постоянной величиной(k). Поэтому подынтегральное выражение p(i(L )) ⋅ sin i(L ) ⋅ dL пропорциональночислу объектов (доле от δn), которые при заданных L и dL попадают в δbокрестность заданной точки. Поэтому вероятность данного события можнопредставить какdp (L , dL ) = k ⋅ p (i (L )) ⋅ sin i (L ) ⋅ dL .(2.43)Т. к. конкретному значению L соответствует единственное значение угла азимутаА=f(L), то величина (2.43) имеет смысл вероятности попадания P(A,dA) объекта вазимутальный сектор (A, A+dA), где dA = (dA dL ) ⋅ dL .Расчет распределения p(A) с использованием формулы (2.43) проводитсядля заданного разбиения аргумента А на «ящики». При достаточно мелком шаге62по долготе ΔL по сравнению с шагом ΔА оценки А=f(L) попадают в сектор (A,A+ΔA) многократно.

Сумма оценок (2.43) всех этих попаданий в сектор (A, A+ΔA)и есть оценка распределения P(A), т.е.p( A) = ∑ dp (L, dL )A, A+ ∆A .(2.44)Для получения корректного распределения p(A) необходимо, чтобы длянабора статистики число этих попаданий было не менее 100. Поэтому по долготешаг разбиения должен иметь величину не менее 360º/(N∙100).2.3.3 Методика расчета частоты столкновений и распределенийотносительной скорости столкновенийПрименяемые подходы к оценке взаимных столкновений КО можно разбитьнадвебольшиегруппы:стохастическиеидетерминированные.Детерминированный подход применим тогда, когда известны орбитальныепараметры движения и размеры сближающихся КО.

В этом случае на основеиспользованияалгоритмовпрогнозированиядвижениянаходитсяточкамаксимального сближения пары объектов. Если минимальное расстояние междуобъектами оказывается соизмеримым с их размерами, то возникает опасностьстолкновения.Однако,вточкемаксимальногосближенияпогрешностиопределения положения объектов обычно существенно больше размеров КО.Поэтому вероятность столкновения оказывается маленькой. При расчетахэволюциитехногенногозасорениянабольшиеинтервалывременицелесообразным является использование оценки среднего значения потока КО Q[1/м2год].В любой момент времени можно рассчитать значениеQ(t ) = ρ(t ) ⋅2π∫ p( t , A) ⋅V rel( t , A) ⋅ dA ,A =0(2.45)где p(t,A) – азимутальное распределение тангенциальной скорости, Vrel(t.A) относительная скорость объектов КМ в заданной точке пространства в моментвремени t. Q(t) имеет смысл удельного относительного потока объектов в даннойточке орбиты, интеграл, входящий в (2.45), имеет смысл средней относительной63скорости КО.

В данной формуле учитывается только зависимость плотностираспределения частиц от азимута A. Такое упрощение не является существенным,т.к. основной поток космических объектов расположен в достаточно малойокрестности горизонтальной плоскости. Это является следствием того, чтобольшая часть объектов имеет малые эксцентриситеты. Из выражения (2.45)следует, что величина∆ Q (t ) = ρ(t ) ⋅ p( t , A ) ⋅ V rel (t , A ) ⋅ ∆ A(2.46)имеет смысл удельного потока объектов через азимутальный сектор (A,A+∆A) втекущей точке траектории.В формулах выше величина Vrel рассчитывается как разница скоростейсогласно рисунку 2.3.2.2 +V 2 + 2⋅V ⋅V ⋅cos βVrel = VKAKA SDSD(2.47),где VКА – скорость заданного КО в конкретной точке орбиты, а VSD – направленияскорости других КО.Рисунок 2.3.2 – Пояснение к расчету относительной скоростиОтличительной особенностью данной методики является то, что она,детально учитывает переменность потока КО, как функцию элементов орбитрассматриваемого КО и его положения в ОКП и позволяет на основе полученныхформул достаточно просто рассчитать среднее ожидаемое число столкновенийКО с другими объектами.64Входящие в правую часть выражения (2.45) переменные являются почтипериодическимифункциями.Основнаявходящаявнихпериодическаясоставляющая имеет период, равный периоду обращения рассматриваемого КО.Вековая и долгопериодическая составляющие связаны с медленной эволюциейэлементов орбиты КО и медленным изменением степени засорения ОКП.Поэтому усреднение потока КО через единичное сечение проводится за 1 виток(период времени, равный периоду обращения КО T).

Это среднее значениевычисляется по формулеQ =2π1 T⋅ ∫ ρ( t) ⋅ ∫ p( t,A) V rel( t,A) ⋅ dA ⋅ dt .T t =0A =0(2.48)Если определено среднее значение потока Q , то достаточно точную оценкучисла столкновений КО площадью S с другими КО на временном интервале t − t0можно вычислить по формулеN=S ⋅ Q ⋅ (t − t 0 )(2.49)Для множества объектов можно оценить среднее количество столкновенийкак сумму∑&= ∑j46 34 i5 (, − , )(2.50)Если объекты сгруппировать по характерной площади S, тогда количествостолкновений можно оценить по формуле∑= ∑j464 34l∑>m6 ik (, − , ),(2.51)где – количество объектов выделенной группы, 3&5 – характерная площадь группыобъектов, ik – среднее значение потока для заданной группы объектов.Для оценки последствий столкновений, так же необходимо знатьстатистическое распределение относительной скорости столкновений pVrel для КОна заданной орбите.

Данное распределение зависит от угла между векторомотносительной скорости и вектором скорости КА обозначенного как Az нарисунке 2.3.2. Угол Az зависит от обозначенного выше угла А, из азимутального65распределения скорости в инерциальном пространстве, и направления вектораскорости КО в данной точке. Диапазон возможных значений этого угла (0-2π)разбиваетсянаNсекторов.ДискретноеJ;]Nn ( o) рассчитывается на основе соотношенияpVrel (Az j ) =гдеkmax–количество∑ p(t,A )1k maxkmaxk =1случаевотносительной скорости в сектор ( Az j ± πnстатистическоераспределение,j(2.52)kпопаданиянаправлениявектора). Аналогичным образом определяетсясредняя зависимость величины относительной скорости от ее направленияVrel (Az j ) =1kmax∑V (t,Az )k maxrelk =1(2.53)jkРаспределение J;]Nn ( om ) удовлетворяет соотношениюсоответствиисизложеннымсреднеезначение∑ pV (Az ) = 1 .nrelj =1jотносительнойВскоростиопределяется какVrel = ∑Vrel (Az j ) pVrel (Az j ) .n(2.54)j =1Представленное распределение возможных направлений относительнойскорости и соответствующих средних значений характерны тем, что онипостроены на множестве КО.

Произведение средней концентрации объектов ( ρ ) исреднего значения относительной скорости позволяет определить оценкуплотности потока частиц заданного вида относительно заданного КО - QΣ = ρ ⋅ Vrel .При оценке последствий возможных столкновений КО, корректнымявляется усреднение на множестве возможных столкновений. Поэтому для такоготипа прикладных задач распределение J;]Nn ( om ) не вполне пригодно. Оно неучитывает разный ”вклад” частиц в вероятность столкновения, которыйпропорционаленнеобходимостолкновений,значениюотносительнойстатистическоескорости.распределениеопределенноеДлятакихнаправленийследующимслучаеввозможныхобразом:66pQrel ( Az ) =Vrel ( Az ) ⋅ pVrel ( Az ).()()⋅⋅VAzpVAzdAzrel∫ rel(2.55)Соответствующее значение средней скорости столкновений будет равноVQ = ∑ Vrel (Az j ) ⋅ pQrel (Az j ) .nj =1(2.56)672.4 Методика расчета последствий столкновенийВ данном разделе рассмотрены компоненты модели, с использованиемкоторых рассчитывается последствия взаимных столкновений КО.2.4.1 Модель последствий взаимных столкновенийВ основу модели фрагментации положено известное соотношение [12, 13,20, 35] для числа образующихся частиц с массой более m, с коэффициентамиА=0.4 и B= -0.68N (> m) = A ⋅ (m / M )B(2.57)Для объектов размером более 10 см данное распределение можноограничить массой 100 г.Все столкновения можно разделить на 2 группы: катастрофические и некатастрофические.Дляопределениятипастолкновенияиспользуетсявыделившаяся при столкновении удельная энергия.

Формула для определениявыделившейся при столкновении энергии является частным случаем более общейформулы, применимой для различных условий столкновений [5]1u = U M = ⋅ k1 ⋅ k2 ⋅V rel2 .(2.58)2где m1 и m2 массы сталкивающихся объектов, М =m1+m2, k1 = m1 M , k 2 = m 2 M ,Vrel – относительная скорость столкновения.

Если u >40 [Дж/г], то столкновениесчитается катастрофическим и фрагментируются оба объекта с заданнымимассами,тогдавмоделифрагментациииспользуетсяM=m1+m2.Еслистолкновение не катастрофическое, то используется M=mmin, полностьюфрагментируется один объект.Масса максимального образующегося фрагмента рассчитывается поформуле[mmax = M ⋅ (1 + B) 1 + B ⋅ (mmin mmax )B+1].(2.59)68При столкновении КО, образующиеся объекты получают некотороеприращение скорости ΔV, в результате чего параметры их орбит изменяются.Доля выделившейся при столкновении энергии, которая тратится на приращениескорости фрагментов определяется по формуле [13].∆V = k v ⋅ u V .(2.60)где kv = 0.1, V – скорость объектов на высоте столкновения.Анализ известных случаев столкновений показал, что для моделированияразлета фрагментов пригодно равномерное распределение по сфере приращенияскорости для образующихся фрагментов, вследствие чего можно рассчитатьизменение высоты перигея в зависимости от приращения тангенциальнойскорости ∆V с использованием формулы [43]∆h = 4 ⋅ a ⋅∆V.V(2.61)На рисунке 2.4.1 представлено сравнение последствий столкновенияспутников Iridium 33 и Космос – 2251 по экспериментальным данным ирезультатам моделирования.