Автореферат (Математическое моделирование ударного воздействия метеороидов и осколков космического мусора на защитные конструкции космических аппаратов), страница 2

По словам исследователей NASA, самаясложная ситуация сложилась в диапазоне высот от 900 до 1000 км, гденаходятся спутники связи и навигации. По имеющимся математическиммоделям существует некоторая критическая плотность ОКМ, достижениекоторой приводит к их экспоненциальному размножению.Достоверно установлено, что основную опасность представляют мелкиечастицы, число которых резко увеличивается по мере уменьшения размеров. Внастоящее время опасность столкновения крупного космического аппарата счастицами размером ~1 см стала вполне реальной, и ее необходимо учитыватьв процессе проектирования и эксплуатации аппаратов.

Например, для такогообъекта, как Международная космическая станция, вероятность столкновенияс частицами размером более 1 см в течение 10 лет составляет несколькопроцентов. Для описания характеристик техногенного засоренияокружающего космического пространства мелкими объектами, относительнокоторых отсутствуют детальные сведения об элементах их орбит, применяютметоды статистического моделирования.Наряду с облаком техногенных осколков околоземное пространствопронизывают потоки естественных метеороидных частиц. Вероятностьпопадания метеороида размера ~ 1 см с массой порядка 1 г существенна длямасштабных и долговременных космических систем типа МКС.

Диапазоныскоростей удара лежат в пределах 1–16 км/с для ОКМ и 11–72 км/с дляметеороидов.Обеспечение стойкости конструкций КА к высокоскоростным ударамрегламентировано государственными и отраслевым стандартами. Всоответствииспринятымитребованиямивероятностьнепробоягермоооболочек модулей МКС в течение 15 лет должна составлять не менее0,976. Этот показатель может быть достигнут только за счет примененияспециальных конструктивных мер - защитных экранов, вводимых вконструкцию модулей станции на стадии ее проектирования.Сегодня, многие лаборатории в США и Европе располагают различным имногочисленным оборудованием для высокоскоростного метания, и, что оченьважно, оборудованием высокоскоростной регистрации быстропротекающихпроцессов.

Общая концепция экранной защиты, предложенная еще в 1950 г.6(Whipple F.L., Astronomical J, 52, 1947), постоянно совершенствуется, идостигнут высокий уровень, как по её эффективности, так и по весовымхарактеристикам.Тем не менее, мы не можем на 100% гарантировать защищенностькосмическихаппаратов. Характер высокоскоростного взаимодействияопределяется, в первую очередь, массой атомов взаимодействующих веществи энергией межатомных связей, а эти величины заданы нам природой. Причем,с точки зрения защиты от удара, нам подходят более «тяжелые» материалы,что противоречит жестким весовым ограничениям.В п.1.2 приводится обзор методов моделирования быстропротекающихпроцессов.Сеточные методы численного моделирования широко применяются длябольшого круга задач вычислительной гидродинамики и вычислительноймеханики деформируемого твёрдого тела, и являются доминирующимичисленными методами для решения инженерных и научных проблем.

Однакоих применение к задачам высокоскоростного удара ограничено тем, чтопроникание ударника в мишень сопровождается сильным формоизменением.Этот фактор на практике делает неэффективным вышеупомянутые методырасчета, так как они основаны на использовании расчетной сетки, что требуетбольших вычислительных ресурсов для ее генерации и регенерации в процессевычислений. Традиционные сеточные вычислительные методы должнымобразом не справляются с задачами детонации и распространения взрывныхволн во взрывчатых веществах, высокоскоростного взаимодействия тел и т.д.Этих недостатков лишено новое поколение вычислительных методов –бессеточные методы, первоначально разработанные для решения задачастрофизики, где приходится иметь дело с интенсивным “перемешиванием”среды.Ключевой идеей бессеточных методов является обеспечение решенияинтегральных уравнений или уравнений в частных производных безиспользования каких-либо сеток.Метод гладких (сглаженных) частиц – Smoothed Particle Hydrodynamics –SPH (Gingold R.

A. and Monaghan J. J., Monthly Notices of the RoyalAstronomical Society, 181, 1977) является бессеточным лагранжевымчисленнымметодомдлярасчетовпроцессоввысокоскоростноговзаимодействия тел. Производные вычисляются с помощью сплайнинтерполяции, в соответствии с чем каждая гладкая частица является точкойинтерполяции, в которой известны параметры деформируемой среды.Численное решение во всей области интегрирования получается с помощьюинтерполяционных функций, для которых эти частицы являютсяинтерполяционными узлами. Таким образом, вычисление градиентов сводитсяк аналитическому дифференцированию гладких функций.Основная суть метода заключается в приближении формулы7f  x    f  x   x  x  dx(1)следующей цепочкой преобразований.

Вначале обобщенная функция   x заменяется аналитической функцией W  x  x, h  - ядром сглаживания, ( h –длина сглаживания):(2)f  x    f  xW  x  x, h  dxЯдро W  x  x, h  должно удовлетворять условиям W  x, h  dx  1(3)W  x, h    x h0(4)Рассмотрим численные методы вычисления этих интегралов. Средаразбита на малые, по сравнению с характерными размерами рассчитываемоймодели, расчетные частицы. Каждый такой элемент имеет свое значениеаппроксимируемого параметра f  x  равное fi . Так же считаются известнымиего плотность – i , координата – xi и масса – mi .

В качестве начальногорасположения может использоваться кубическая равномерная решетка.Заменим интегрирование суммированием по частицам-соседям:f  x  mi fiiiW  xi  x, h (5)Использование такой аппроксимации существенно упрощает вычислениеградиента полевой функцииf  x x, так как достаточно аналитическипродифференцировать ядро сглаживания, что даст f  xximi fi W  xi  x, h ix(6)Вычисление градиентов сводится к дифференцированию аналитическихфункций.

Важно, чтобы носитель функции W ( x, h) был сильнолокализованным. В качестве ядра используется следующий сплайн: 3 2 3 31  2   4 ,    0,1 h3  2   3W  x, h   ,   1, 23 4 h0,    2,  где  x  xh(7).В п.1.3 приведено описание гидродинамического метода сглаженныхчастиц, применительно к расчету высокоскоростного взаимодействия телВ задачах высокоскоростного воздействия твердых тел в первомприближении можно пренебречь сопротивлением материала сдвигу.8Прочность материала на сдвиг является существенной только в последнихстадиях соударения. Уравнения динамики сплошной среды записываются ввиде:Dv  Dv 1   ,,DtDtxx(8)De v Dx, vDt xDtгде ρ – плотность, e – внутренняя энергия, vα – компоненты скорости, σαβ–полный тензор напряжения.Сформулируем определяющие соотношения отдельно для объемногосжатия, определяемого первыми инвариантами тензоров деформации инапряжений, и формоизменения, определяемого вторыми инвариантами:    p    (9)   e    (10)Линейное соотношение упругости должно быть заменено нелинейным,учитывающим вращение системы координат:(11)    R   R  GЗдесь слева – производная девиатора тензора напряжений в смысле Яуманна(объективная производная), и тензор скоростей деформации 1  v v  (12)2  x  x В качестве уравнения состояния чаще всего используется уравнение МиГрюнайзена для твердых тел: 1p   ,e   1  Г  pH     Г  e 2(13)где индекс H – означает отношение к кривой Гюгонио (ударная адиабата), Г –коэффициент Грюнайзена, и10(14)где ρ0 – начальная плотность.Формулировка SPH метода для деформируемого твердого телапринципиально аналогична формулировке для жидкости, однако онаосложнена учетом сдвигового сопротивления и прочности материала.

Длявычисления плотности используется суммирование масс частиц:Ni   m jWijj 1или может использоваться закон неразрывности.9(15)Уравнение сохранения импульса:N  i   WijDvij mj  2  2   Dt j  xij 1 i(16)Тензор сдвиговых скоростей деформаций и тензор скоростей вращения: iRi1 N  m j  Wij m j  Wij   v ji  v2 j 1   jxi j ji xi1 N  m j  Wij m j  Wij    v ji  v2 j 1   jxi j ji xi (17)(18)где vjiα= vjα- viα.Уравнение энергии имеет вид ppj Wij 1Dei 1 N  m j  2i  2   vi  v j     i  iDt 2 j 1  i  j xii(19)Вводя искусственную вязкость Пij и искусственный нагрев Hij,формулировки SPH метода запишем следующим образом:NWijD i  m j  vi  v j  Dtxij 1N  i   WijDvij  m j  2  2  ij    xDtjj 1 i i ppjWij 1Dei 1  m j  2i  2  ij   vi  v j     i  i  H iDt 2 j 1  i  jxii(20)NDxi viDtПри использовании метода SPH возникает численная проблема, названаянеустойчивостью при растяжении – это ситуация, когда движение частицыстановится нестабильным в напряженном состоянии растяжения.