Автореферат (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 3

Вводится подпространство Vh  X huфункций-столбцов, удовлетворяющих однородным граничным условиям первого рода задачи (8) (в смысле теории следов) на границе области  h , полученнойпри триангуляции  . Также вводятся функции h1  X hu , удовлетворяющиедискретным аналогам граничных условий первого рода задачи (8) на  h .Предполагается, что функции h  , p являются непрерывными функциями отвременного параметра  и что для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (10)-(12) была использованная явная разностная схемаЭйлера примененная для сетки U M   0  0, , M  T  (вводится обозначение1.m .   ). Формулируются дискретные задачи, соответствующие слабымmпостановкам задач (7)-(8).

В частности, в дискретной задаче, соответствующейзадаче (8), для каждого m  0, , M требуется найти такую пару   1 mhh1 m  X hu  X h , что  h1 m  h1 m Vh и:1 mT 1 mM 1 m B1w, h    f h     w   f h     w  , w Vh , HR h  11 m 1 m 2,   BHR,   X h , BHR h   h h   , h11(13)где (  ,   X h , u, w  X hu ): 2T1 0 0 pBHR h   w,       w  C d  , BHR h    ,      C d  , FTmhhT 1 mT 1 mfˆ     f11   M 1 mfˆ     u   0 0 0f h  T 1 m w      wThf 22 T 1 mf11  M 1 mf12  T 1 mf 22  M 1 mm,TT0 0 0 ,f12  M 1 m ,  u   Lu ,TTM 1 mmT 1 mM 1 mfˆ   d  , f h     w    wT F  d      w  fˆ   d  .hhЗдесь C – обобщённая матрица упругости, составленная из жесткостей задачи(8); функции f IJT 1 m , f IJM 1 m вычисляются по формулам (9), в которых для вычисления компонент  ijc 0,0 m ,  ijc 0,1 m ,  ijc1,0 m используется выбранная разностная схема; L - дифференциальный оператор (матричная форма) задачи (8).Промежуточные значения неизвестных функций h1 ,  h1 для    k , k 1  ,k  0, , M  1 вычисляются путем линейной интерполяции.В качестве аппроксимации для прогибов v3 0 m в работе используется аппроксимация Белла, для которой:u3PK    PKB  p  P5  K  : ni p  P3  li  ,1  i  3 ,DK   DKB   p  A i  ,1  i  3,   2 ,u 3где Pn  K  - множество полиномов степени n на множестве K , n i - векторнормали к стороне треугольника li ,  ni - производная по направлению n i , A i вершины треугольника K .

Для аппроксимации продольных перемещенийK 1 mvI   применяются трикубические полиномы Биркгофа со специальным выбором степеней свободы:u1u 2PK    PK    PKBg  P3  K   span L12 L2 L3 , L1L22 L3 , L1L2 L23 ,DK   DK   DKBg   p  A i  ,1  i  3,   0,2 ,u1u 2где Li  M  - барицентрические координаты точки M в треугольнике K . Показана PKBg - унисольвентность такого выбора степеней свободы DKBg , а такжевключение X hBg  C  h  . В качестве аппроксимации для обобщенных деформаций используются кубические полиномы на треугольнике K со стандартнымилагранжевыми степенями свободы: 1 6PK     PK    P3  K  ,DK  1 DK   p  Ai  , p  AijJ  , p  C  , j  1  i mod3,1  i  3,1  J  2 , 6где AijJ - точки на серединах сторон треугольника, C - барицентр треугольника.При этом допускаются разрывы обобщенных деформаций при переходе черезмежэлементную границу.Далее показано, что при указанном выборе конечно-элементных аппрок12симаций задача (13) сводится к системе линейных алгебраических уравненийследующего вида: elT K ,n GT HGTKu  h1m  f K1m  0 , n  1 N ,KDnf K 1 mTT 1 mmM 1 m   BT fˆ   d     u  F  d    BT fˆ   d  ,KKKгде Dn - множество конечных элементов триангуляции, содержащих степеньсвободы с глобальным номером n , TKu . - оператор, сопоставляющий элементуf  X hu столбец степеней свободы для данного КЭ K , eik   ik , k  1 2d1 d2  ,( d 1  dim  PKBg  , d 2  dim  PKB  ), l  K , n  - локальный номер степени свободы встолбце TKu . , N - общее число степеней свободы в сетке.

Кроме того, в последней системе обозначены следующие матрицы:2TG   GI PI , GI  g I d  , H  N  C , N   d  ,   N  ,I 1K  1LgI   10 L 1I1I1K 1L , B  Lu , u dI  10 L I dII 2I 1TI E3  PI .Здесь  - кронекерово произведение матриц, E3 - единичная матрица, PI обобщенные матрицы перестановок,  - столбец функций формы для пространств PK 1 , 1 - столбец функций формы для PKBg ,  2 - столбец функций формы для PKB . При этом, выражение для степеней свободы обобщенных деформа-ций TK h1 m , имеет вид:TK h 1 m  GT      .uK1 mhТретья глава посвящена моделированию процессов деформированиямногослойных пластин с учетом и без учёта эффектов ползучести на примереконкретных задач.Решена задача изгиба прямоугольной пластины без учета деформаций ползучести со слоями из ортотропных материалов, которые расположены несимметрично относительно срединной плоской поверхности  .

Полагаем, чтоq1  0,1 - продольная координата, q2   b 2, b 2, b  0 - поперечная координата пластины. Задача рассматривалась с граничными условиями жесткого защемления:(0)v1(0) v1(0) v2(0)b  v2b  0,q0q1qq2 11222v3(0) (0)(0)vv 0, 3 q1 0 3 q1 1n (1)(1)(1)(1)v1 q1 0  v1 q1 1  v2 q2  b  v2 q2  b  0.22Тогда решение задач (7)-(8) может быть записано в следующей форме:13(14)v1(0) (q1 )  v2(0) (q1 )  0,24 D C   B 2 B  pC ,1111 111111111111 (0)22v3 (q1 )  Bq1  q1  1 ,26 D1111C1111   B1111  A1  pB1111 , (1)2v1 (q1 )  A1q1  q1  1  A2 q1  q1  1 , 4 D1111C1111   B1111 2 A2  pB1111. (1)v2 (q1 )  0,(15)Соответствующие выражения для начальных членов асимптотических разложений компонент тензора напряжений принимают вид:L10   Cˆe v     v  ,       Cˆ   e  v      Cˆ     v    ,     p  p   1 / 2    Cˆ    e  v      Cˆ      v    .IJIJ 1111 33I 1111 11I 11133L12I3111111 211 111 1103L11111 211 1103Проведено сравнение распределений напряжений по толщине пластины,найденных для этой задачи на основе асимптотического метода и вычисленныхс использованием трехмерного конечно-элементного решения, полученного вкомплексе ANSYS (КЭ SOLID187).

Расчет производился для трехслойной пластины с геометрическим параметром   0.025 , а толщины слоев соответствовали сетке A3  (1 2, 1 42,3 14,1 2) по нормальной координате  . Общеечисло конечных элементов для всей пластины составило 10864455 (14658117узлов). Относительное отклонение вычислялось в метрике L2   1 , 1  . Ре22зультаты сравнения приведены в таблице 1.Таблица 1.Относительное отклонение компонент тензора напряжений (значения в %, * аналитическое значение компоненты - нуль), вычисленных на основе двух методовq1  0.25q1  0.5q1  0.125q1  0.37511 2213 330.5282.590.4480.3642.7793.0592.6470.4520.0660.0650.065*0.0210.0120.0130.009Для тестирования предложенного конечно-элементного метода (описанного в главе 2) было проведено сравнение аналитического (15) и конечноэлементного решения задачи изгиба трехслойной пластины с несимметричнымрасположением слоев и геометрическим параметром   0.025 .

Толщины слоевсоответствовали сетке A3   1/ 2, 1/ 4,0,1/ 2  по нормальной координате  .Некоторые результаты представлены в таблице 2.14Таблица 2.Относительное отклонение компонент тензора напряжений для конечноэлементной стеки 8×4 ( N1  N2 , где N I - число разбиений по оси OqI ).q1  3 / 8q1  1 / 4q1  1 / 8q1  011 2213 331.615  10131.86  10132.112  10132.146  10131.612  10131.087  10131.155  10125.909  10132.179  10141.352  10134.891 10136.473  10131.245  10131.876  10135.526  10131.06  1012Рассмотрена задача изгиба прямоугольной трехслойной пластины с симметричным расположением слоев (толщины слоев соответствовали сеткеA3   1/ 2, 1/ 4,1/ 4,1/ 2  по нормальной координате  ) из изотропных материалов и граничными условиями (14). В качестве модели ползучести материаловслоев использовалась линеаризованная модель вида:Fij  ,  klc , pq  1  ij   kk ij  ,   31где   0 - константа модели, различная для слоев.

Проведено сравнение конечно-элементного и аналитического решения для данной задачи. Часть результатов представлена в таблице 3. Распределение некоторых компонентнапряжений по толщине пластины для этой задачи приведены на рисунке 1.а)б)Рисунок 1 – Распределение компонент  11 (а) и  22 (б) ( q1  1/ 4 , q2  0 ) тензора напряжений (безразмерных) по толщине (кривая 1 -   T  1 , кривая 2   0)15Таблица 3.Относительное отклонение компонент тензора напряжений в точках пластиныдля   T  1 при шаге разностной схемы   104 .q1  1 / 4q1  011 2213 331.236  1071.236  1077.53  1067.53  1061.024  1081.024  1081.237  1071.237  107Рассмотрена задача изгиба прямоугольной пластины (   0.025 , q1  0,1 ,q2   1 4,1 / 4 ) c граничными условиями (14) с несимметричным расположе-нием слоев (толщины соответствовали сетке A3   1/ 2, 1/ 4,0,1/ 2  по  ) поддействием переменного давления.

Для моделирования деформаций ползучестиматериалов слоев пластины использовалась степенная модель следующего вида:22 r  1       uc     u c1     ij  1  kk ij  ,Fij  ,  kl , pq    3   T   где  , , T  0, r  3 - константы модели, различные для слоев. На рисунке 2 показаны кривые ползучести для материала среднего слоя рассматриваемой пластины (для напряжений в пределах между максимальным и минимальным давлением p̂ ). Для решения задач (11)-(12) применялась разностная схема с шагом   104 . На рисунке 3 представлено изменение обобщенных перемещений во времени в центре пластины.