Автореферат (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 2

Н.Челомея, май 2014;- на Международной научной конференция «Физико-математические проблемы создания новой техники (PhysMathTech - 2014)», посвященной 50-летиюНаучно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им.Н.Э.Баумана 17-19 ноября 2014 года. 2014;- на Международной конференции «Multiscale Modeling and Methods: Up5scaling in Engineering and Medicine», Bauman Moscow State Technical University,Moscow, June 25-27, 2015.- на семинаре «Актуальные проблемы вычислительной математики и механики» под руководством проф. Ю.И. Димитриенко, 2012-2016 гг.Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 11научных работах, в том числе в 10 статьях в журналах, включенных в переченьроссийских рецензируемых научных изданий и в 1 научной публикации в изданиях, входящих в международную базу данных и систему цитирования Scopus.Личный вклад соискателя.

Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем под руководством научного руководителя. Из совместных публикаций в диссертациювключен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, выводов и заключения, а также списка литературы. Работа изложена на 141 странице, содержит 35 иллюстраций и 12 таблиц. Библиография включает 110наименований.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи работы, научная новизна, указаны данные о достоверности полученныхрезультатов, методы диссертационного исследования, основные положения,выносимые на защиту, а также приведены сведения о структуре и объеме диссертационной работы.Первая глава посвящена разработке асимптотического метода решениязадач ползучести многослойных тонких пластин.

Деформации ползучести приэтом моделируются в рамках теории типа теории течения. Рассматриваетсятонкая многослойная пластина (имеющая m слоев), для которой геометрический параметр   h / L  1 ( h - постоянная толщина пластины, L - характерный линейный размер пластины, например диаметр). Вводятся прямоугольныедекартовые координаты Oxi (здесь и далее строчные индексы i, j, k ,1,2,3 ,а I , J , K , L, 1,2 ), с осью Ox3 направленной по нормали к срединной плоской поверхности пластины  , и осями OxI принадлежащими  . Также вводятся безразмерные координаты qi  xi / L и нормальная координата  x / h  1 / 2,1 / 2 пластины; поверхности раздела слоев пластины3 , k  0m  1 (соответствующие значениям m  0 ,..., m1 нормальной координаты  ); операторы дифференцирования  i ,  , i .

Расxiqiсматривается краевая задача механики деформируемого твердого тела с учетомдеформаций ползучести, которая в безразмерной координатной форме имеетвид:kc6   0, j ij ij  Cijkl   kl   klc  , ijc  Fij  ,  klc , pq  , 2  L  u   u ,j ii j ij i 3  k  0,ui  k  0, c ij  0  0, i 3 x3  h   pˆ  i 3 ,2bui T  ui .(1)Данная система состоит из уравнений равновесия (  ij - компоненты тензоранапряжений), определяющих соотношений ползучести ( Cijkl ,  ij ,  ijc - компоненты тензора модулей упругости, тензора деформаций и деформаций ползучести)и скоростей деформаций ползучести (функции Fij определяют модель ползучести и могут иметь потенциальный вид, стандартный для моделей ползучеститипа теории течения), соотношений Коши ( ui - компоненты вектора перемещений), условий идеального контакта на  ck (  f   - скачок функции f через поkверхность  ), начальных условий для компонент тензора деформаций ползучести, граничных условий на верхней и нижней поверхности пластины и граничных условий на торцевой поверхности пластины T .kcВводятся следующие основные допущения:1) Давление p̂ имеют третий порядок относительно  : p̂   3 p ( p независят от  ).2) Компоненты Cijkl зависят только от нормальной координаты  .3) Для граничных перемещений uib на поверхности T справедливо представление: uIb  , qJ   uIb0  , qJ    uIb1  , qJ  , u3b  , qJ   u3b0  , qJ  .4) Функции Fij обладают следующими свойствами: Fij  ,  klc , pq FI 3  ,  klc , PQ , p 3  p 3 0 pq 00, 0 (  klc и  PQ - компоненты произвольных симметрич-ных матриц 3  3 и 2  2 ).Решение задачи (1) ищется в виде формального асимптотического разложения (ФАР):ui  , qI ,    ui(0)  , qI    nui( n )  , qI ,   .n 1(2)После подстановки разложения (2) в систему (1) получаются ФАР для компо7нент деформаций, деформаций ползучести, напряжений.

Объединив в системычлены при одинаковых степенях  , получается рекуррентная последовательность локальных задач ползучести. В частности, локальная задача нулевогоприближения имеет вид:(0)  i 3  0, (0)(0)c (0) ij  Cijkl   kl   kl  , c (0)с (0)(0) ij  Fij  ,  kl , pq  , (0)(0)(0)(1)(1)2 ij   j ui   iu j   j 3  ui   i 3  u j , (0)  i 3  k  0, ui(1)  0,  k ijc (0) 0, 0 (0) 0, i 3   1 2 (1) ui  0.Здесь  ui(1) 1/2ui(1) d . Замкнутая форма решения указанных локальных задач1/2произвольного приближения имеет вид ( n ):  n   n  nc nn 1(0)n(0) IJ n   СIJKL  IJ   ,M n 1  M n 1 KL  СIJKLM n  M n  KL  PIJ S  n  S  n  n S n Sc nnn 1(0)(0) I  , I 3  СIKLM n 1  M n 1 KL  СIKLM n  M n  KL  PI n T  n  n 1T n nT n Tc n(0)(0)   , 33  СKLM n 1  M n 1 KL  СKLM n  M n  KL  P n  n   n n c n n(0)n 1(0) IJ  СIJKLM n  M n KL  СIJKLM n 1  M n 1 KL  PIJ   IJ ,(3)nгде Mn   M1, , M n  - мультииндекс, коэффициенты С   зависят только от  , 2u3( n )nc nnn, M, функции P  и    учитывают зависимостьnqI qJqM n qM1решения локальных задач от силовых граничных условий и эффектов ползучести.

Для компонент  IJ( n ) ,  i(3n ) справедливо аналогичное представление, выражаемое через функции в (3).Вводя компоненты усилий TIJ и моментов M IJ : IJ( n )  TIJ    TIJnn 0nnn, M IJ   n M IJ  , TIJ    IJ( n )  , M IJ    IJ( n1) ,n(4)n 1осредненные уравнения равновесия пластины бесконечного порядка принимают стандартный для теории тонких пластин ( p  p  p ) вид:22 J TIJ  0 ,  IJ M IJ   p .(5)Осредненные определяющие соотношения, вытекающие из представления (3) иобозначений (4), имеют вид:8 M     D (0)(0)TIJ  CIJKL KL TIJ    BIJKL KL K IJKLM  M  KL TIJ   O  2  ,c 0(0)M IJ   BIJKL KL0c1IJc1(6)c 2 0(0) KL K IJKLM  M  KL M IJ   O  3  .2IJKLЗдесь введены следующие объекты: CIJKL  Cˆ IJKL , BIJKL   Cˆ IJKL ,c0c (0),Cˆ IJKL  CIJKL  CIJk 3Ck31s 3Cs 3 KL , DIJKL   2Cˆ IJKL , TIJ    Cˆ IJKL KLK IJKLM  Cˆ IJPQ  PQKLM CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKLc1c (0), K IJKLM   Cˆ IJPQ  PQKLMM IJ     Cˆ IJKL KLCˆ  Cˆ      Cˆc1c0TIJ   CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL M  KL M IJ    CIJk 3Ck31S 3c 22c 0 IJ Cs 3 pq C1I 3s 3 Jc 0 pqSMKLCMc0KL1J 3s 3 IIJKLc 0 pq2 IJKLM  Cs 3KL  CI31s 3 MJ  CJ31s 3 MI  , f,,c1cKL0   KL ,IJKLc1cKL0   KL ,,  f    CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  f   f   d ,1/2fd   (  1 / 2) f  .1/2Неизвестные функции ui(0) осредненных задач бесконечного порядка (5)также ищутся в форме асимптотических разложений:ui(0)  , qI   vi  , qI    nvi( n )  , qI  .n 0При подстановке этого разложения (удерживая только начальные члены) в (6),а затем в (5) (c учетом граничных условий в (1)) и приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях параметра  , получаются осредненные задачинулевого и первого приближения:CIJKL  J eKL v L 0    J f IJT  0 ,L 0 M 02  2IJ f IJ   , BIJKL  IJ eKL v (0)b 0vI   u I   ,(7)CIJKL  J eKL v L1  BIJKL  J KL  v3(0)    J f IJT 1 , B  2 e v L1  D  2  v (0)  p   2 f M 1 ,IJKL IJ KL  3 IJ IJ IJKL IJ KL (1)b1vI   u I , (0)b 0 v3   u3 , (0) v3 0, n(8)9в которых v L K 1  v1 K 1v2K 1 , 2eIJ v    J vI   I vJ , IJ  v3    2IJ v3 , а правыечасти f IJT  K 1 , f IJT  K 1 имеют следующий вид:M 0T 0c 0,0c 0,0f IJ     Cˆ IJKL KL  , f IJ      Cˆ IJKL KL  ,  Cˆ          Cˆ         , v      Cˆ         Cˆ         ,C      C      .f IJ    K IJKLM  M eKL vT 1 CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKLM 1f IJ K IJKLM  M eKLc 0,0 c 0,0 ijc 1,0KLc (0,1)IJKL KLc 0,0KLMc 0,0KLIJKLL0IJKL1I 3s 3 J Cs 3 pqc 0,1ijc 0,1IJKL KLc 0,0KLM  CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL2 IJL 0 c 0,0KL1J 3s 3 Ic 0,0pq(9)c 1,0KLc 0,0pqc1,0 ijФункции , , , участвующие в выражениях для правых частей,определяются следующими системами обыкновенных дифференциальныхуравнений: ijc 0,0   Fij  ,  klс 0,0  , pq0,0  ,  0,0  ˆL 0 c 0,0  KL  , IJ  CIJKL eKL v i(0,0) 0,3 c (0,0) 0, 0 ij (10)с 0,10,00,1 ijc 0,1  Fij(1)  ,  kс (0,0),  k1l1  , p0q0 , p1q1 ,0l0  0,1 ˆL1c 0,1  KL  , IJ  CIJKL eKL v i30,1  0, c 0,1 ij   0, 0  (11) ijc1,0   Fij1  ,  kсl0,0  ,  kсl1,0  , p0,0q  , p1,0q  ,0 0110 01 1(1,0)(0)  Cˆ IJKL KL  v3   IJ ˆL 0 1ˆ CIJPQ  PQKLM   CIJk 3Ck 3 S 3 CSMKL   M eKL vc 0,0 c1,0 1c (0,0)CIJk 3Ck 3 S 3 Cˆ SMKL  M  KL   Cˆ IJKL  KL   KL  ,L 0c 0,0 I1,0  Cˆ IMKL  M eKL v    Cˆ IMKL  M  KL  ,3 1,0  33  0, с1,0  0.ij 0 (12)Здесь Fij  - определяющие функции модели ползучести первого приближения:110Fij   ,  k0l0  ,  kс1l1 , p0q0 , p1q1   1  Fij  ,  kl  , pq  Fij  ,  kl1 0,0 ijс1   ijс 0,0   ijс ,  ij   ij   ij .1с 0,00,0с11с 0,0 , pq0,0  ,Показано, что для моноклинных материалов слоев пластины начальныечлены ФАР продольных перемещений, получаемые на основе предложенногоасимптотического метода, линейно зависят от нормальной координаты  , подобно формулам в теориях типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко:00uI  uI    I u3   O( 2 ) , 1u3  u3    C33 KLC3333 KL  KL    3300c0c 0 O( 2 ) .Для немоноклинных материалов зависимость продольных перемещений отнормальной координаты не является линейной.Вторая глава посвящена разработке конечно-элементного метода решения осредненных задач (7)-(8).

В качестве конечного элемента (КЭ) предлагается использовать конечный элемент, рассматриваемый как пара  K u K   , гдеКЭ K u   K , PKu , DKu  , PKu  PKu1  PK   , DKu  DK   DK   DKu1u 3u 3u 2для аппроксимации обобщенных перемещений ( ζ   (v1 1КЭ K    K , PK , DK  , PK  PK 1 аппроксимациистолбца PK   , DK  DK  1 6обобщенныхv2 11 DKv3  ) - для (8)), а0 6применяется для .  e .деформацийe .   e11 . e22 . 2e12 .  ,  .  11 . 22 . 212 . TприменяетсяTTT T  .(с КЭ простран-ствами X hu и X h ), а K - треугольник.