Автореферат (Моделирование возмущенных движений Земли относительно центра масс на коротких интервалах времени), страница 2

Для этого в переменных действие7угол выписывается функционал Рауса для модельной задачи и строятсятраектории в фазовом пространстве I j , ω j ( j = 1, 2, 3) . Усреднённый побыстрым угловым переменным (собственному вращению и орбитальномудвижению), функционал Рауса R0 имеет вид:21 I 22 C * − A**α *R0 =.1 − µ 2  , µ =2 A* C*χ (1)Затем приводится общее решение рассматриваемой на предварительномэтапе усреднённой задачи, отвечающей функционалу Рауса R0 :I i ( t ) = I i0 = const , ω3 ( t ) = w30 ,0w1,2 ( t ) = n1,2 ( t ) + w1,2, wi0 = const ,πΠ  ,κ 2 , λ  *π I2µκI A2,n1 = −, n2 = 2*  * + µ* *2 A κ* χ K ( λ )A CK ( λ) *(2)π λ2κ* = 1 + κ ,K = + + O ( λ 4 ) ,2 42χ = κ 1 + ε2 ,Π=π+ O ( λ2 ) .2κ*Здесь A* , B* , C* - эффективные главные центральные моменты инерции сучётом деформаций «замороженной» фигуры Земли; фазы w1 , w2 и частотыn1 , n2отвечают соответственно чандлеровскому движению полюсов исуточному вращению деформируемой Земли.С помощью кинематических уравнений Эйлера и динамическихуравненийЭйлера-Лиувиллястроитсяматематическаямодельпервогоприближения чандлеровских и годичных колебаний полюса под воздействиемгравитационно-приливных сил от Солнца и Луны.

С использованиемчисленного моделирования строится траектория и прогноз движения полюсаЗемли в сопоставлении с астрометрическими данными МСВЗ.Для изучения осевого вращения деформируемой Земли и колебания егополюса воспользуемся классическими динамическими уравнениями Эйлера8Лиувилля с переменным тензором инерции которые могут быть записаны визвестной форме:ɺ + ω × Jω = M ,Jωω = ( p, q, r )T ,J = J* +δ J ,(3)J * = const , J * = diag ( A* , B* , C * ) , δ J = δ J (t ) ,δ J ≪ J * , M =M k + M S + M L .Здесь ω – вектор угловой скорости в связанной с Землей гринвичскойгеоцентрической системе координат, оси которой приближенно совпадают сглавнымицентральнымиосямиинерцииJ*сучётомдеформаций«замороженной» Земли, обусловленных сложным движением - собственнымвращением и движением относительного барицентра системы Земля- Луна.Считается, что малые вариации тензора инерции δJ могут содержатьразличные гармонические составляющие, обусловленные влиянием лунносолнечных суточных приливов и, возможно, другие (годичные, полугодичные,месячные, полусуточные и т.п.).

В качестве основных возмущающих внешнихмоментов сил M , вызывающих нутационные колебания земного полюса,принимаются гравитационно-приливные воздействия от Солнца и Луны.Численныерасчётыпроводилисьнаосновепроцедурыметоданаименьших квадратов. Алгоритм применялся независимо к переменнымx(τ ), y (τ ) в виде шестимерных аппроксимаций согласно построенной моделиx (τ ) = (ζ , f (τ ) ) , y (τ ) = ( µ, f (τ ) ) ,ζ = (ζ 1 ,…, ζ 6 )T, µ = ( µ1 ,…, µ6 ) ,T(4)f (τ ) = (1,τ ,cos 2π Nτ , sin 2π Nτ , cos 2πτ , sin 2πτ ) ,TN ≈ 0.845 ÷ 0.850 .Получены интерполяция траектории полюса на интервалах времени 6, 12лет и более и прогноз на 1- 3 года. Шестимерные векторы ζ , µ подлежатопределению.Исследованиеэффективностиинтерполяцииипрогнозадвижения полюса Земли на основе ежедневных данных измерений МСВЗсвидетельствует об удовлетворительной точности построения модели (4).9Для реальной ситуации, отвечающей современным данным МСВЗ,повышение точности краткосрочного прогноза (0.5-3 месяца) достигаетсяуменьшениемдлительностиинтервалаинтерполяции.Этообусловленоуменьшением динамической ошибки аппроксимации процесса и сравнительновысокой точностью измерений.

Процедура оптимизации (т.е. уменьшения)интервала и его влияния на прогноз иллюстрируется на графиках рис. 1 - 2.Длительность интервала обработки уменьшалась от 8 лет до 1 года (от 2922 до365 точек). Установлено, что для однолетнего интервала обработки (рис.2)погрешность прогноза составляет величину 10 −3 угл. сек.Рис. 1. Четырехлетняя интерполяция (2004- 2008 гг.) и четырехлетний прогноз (2008- 2011гг.) координат полюса x (τ ), y (τ ) .Рис. 2. Годичная интерполяция на 2011 г., краткосрочный ( ∼ 150 сут.) прогноз координатполюса x (τ ), y (τ ) .10На промежутке 1.5 месяца по оси x и 2.5 месяца по оси у, т.е. линейнаяошибка прогноза координат земного полюса порядка 5 ÷ 10 см.

Интерполяцияна четырехлетнем интервале и соответствующий четырехлетний прогноз(рис.1) являются «умеренно удовлетворительными».Во второй главе диссертации основное внимание уделено построениюдинамической модели осевого вращения Земли, описывающей вариациипродолжительности суток на коротких интервалах времени.Для изучения осевого вращения Земли рассматривается третье уравнениесистемы (3) для компоненты r (t ) :C*ɺr + (B* − A* ) pq + (J qr p − J pr q)r = M rS + M rL .(5)Здесь J p r , J q r – малые внедиагональные элементы тензора инерции, M rS , L –компоненты гравитационно-приливных возмущающих моментов от Солнца иЛуны соответственно.Величина изменения длительности суток l.o.d .(ϕ , t ) (length of the daychanges) связана с угловой скоростью осевого вращения Земли r (t ) иопределяется выражением: d (UT 1 − TAI )  l.o.d .( t ) r ( t ) = 1 + r0 ≅ 1 − r0 ,dTAI86400c.()r0 = 7.292115 × 10 −5Небесномеханическаяскоростиосевогомодельвращениярад.сприливныхЗемли(6)регулярныхописываетсялинейнойизмененийсистемойдифференциальных уравнений:d ( C * + δ C ) l.o.d .(ϕ , t ) dt=−D0ɺ , Iɺ )  , M rS + M rL + ∆M ( Ωr0 d [UT 1 − TAI ] (ϕ , t )= − D0−1l.o.d .(ϕ , t ) ,dt(7)D0 = 86400c .Здесь C * – осевой момент инерции с учетом деформаций «замороженной»фигуры Земли; φ – угол собственного вращения; M rS , L – лунно-солнечные11()ɺ Iɺ –гравитационно-приливные моменты сил с основными частотами; ∆M S , L Ω,слагаемые более высокой степени малости в разложении лунно-солнечногогравитационно-приливногомомента пространственноговарианта даннойзадачи.

Например, выражение M rS имеет следующую структуру:()M rS = 3ω02  B* + δ B − ( A* + δ A ) γ pγ q + δ J pq ( γ p2 − γ q2 ) + δ J qr γ pγ r − δ J pr γ qγ r  ,(8)γ p = sin θ sin ϕ , γ q = sin θ cos ϕ , γ r = cosθ ,где ω0 – частота орбитального движения, γ p , γ q , γ r – направляющие косинусырадиус–вектора в связанной системе; ψ , θ , ϕ – углы Эйлера; A* , B* , C* эффективные главные центральные моменты инерции с учётом деформаций«замороженной» Земли; коэффициенты δ A, δ B, δ J pq , δ J qr , δ J pr обусловленыприливными суточными и полусуточными гравитационными воздействиямиЛуны и Солнца.

Они не поддаются прямым измерениям. Для них могут бытьполучены косвенные оценки на основе измерений характеристик процесса.Интегрируя уравнение (7), получим модель флуктуаций длительностисуток, учитывающую основные лунно-солнечные возмущения:l.o.d.(τ ) = c (τ ) + acs cos ( 2πτ ) + ass sin ( 2πτ ) + +bcs cos ( 4πτ ) + bss sin ( 4πτ ) ++acL cos ( 2πν mτ ) + aSL sin ( 2πν mτ ) + bCL cos ( 2πν f τ ) + bSL sin ( 2πν f τ ) .(9)Здесь υm = 13.28 , υ f = 26.68 – частоты месячного и двухнедельного колебаний,обусловленных лунным возмущением; неизвестные c, aCS ,,SL , bCS ,,SL – величины,подлежащие вычислению с помощью метода наименьших квадратов поизмерениям МСВЗ. Параметр τ в (9) измеряется стандартными годами.Для внутригодовых интервалов из (6) и (9) запишем выражение дляразности UT1-TAI:1[U T 1 − T A I ](τ ) = − ∫ l .o .d .(τ )d τ3 6 5 .2 5= c o n s t − cτ − ( 2 π ) − 1 ( a ss s in ( 2 π τ ) − a cs c o s ( 2 π τ )) −− ( 4 π ) − 1 ( b ss s in ( 4 π τ ) − b cs co s ( 4 π τ )) −− ( 2 π v m ) − 1 ( a sL s in ( 2 π v mτ ) − a cL co s( 2 π v mτ )) −− ( 2 π v f ) − 1 ( b sL s in ( 2 π v f τ ) − b cL co s ( 2 π v f τ ))12(10)Для пространственного варианта ограниченной задачи трех тел Земля–Луна–Солнце уравнение возмущенного движения узла лунной орбиты Ω M инаклонения I плоскости лунной орбиты к эклиптике имеют вид:d ΩM3 nS21 − cos 2 ( lM − Ω M ) − cos 2 ( lS − Ω M ) + cos 2λ  ,=−dt4 nM (11)dI 3 nS2=sin I sin 2 ( lS − Ω M ) − sin 2 ( lM − Ω M ) + sin 2λ  .dt 4 nMЗдесь nM , nS – сидерические средние движения Луны и Солнца соответственно;периодические колебания угла I совершаются с периодом 18.61 года; lM –средняя долгота Луны; aM – большая полуось орбиты Луны; (lM − Ω M ) – уголмежду Луной и восходящим узлом лунной орбиты; λ = ( nM − nS ) t + λ0 –приближенно разность долгот Луны и Солнца.

Она не является линейнойфункцией времени, поскольку среднее движение nM подвергается, по крайнеймере, периодическим изменениям.Представим приливные коэффициенты лунно-солнечных гравитационноприливных моментов сил (амплитуд и фаз основных колебаний) в видеквазипериодическихфункцийповремени.Необходимоедлятакогопредставления соответствие коэффициентов внутригодовых и внутрисуточныхквазипериодических колебаний (наличия структурных свойств моделей)наглядно иллюстрируется на рис. 3 и получается из обработки наблюденийЗемли.Нанемвнутригодовыхдлительностииприводитсяамплитудныхсуток«нерегулярные»сравнениемодуляцийl.o.d .(τ ) и A (τ )колебаниянестационарныхϕвоусредненныхвнутрисуточныхсоответственно.вращательномВколебанийэтомдвижениислучаеЗемлиаппроксимируются квазипериодическим процессом, производная которогоимеет структуру гравитационно-приливного момента с периодическимикоэффициентами.13Рис.

3. Усредненные амплитудные модуляции нестационарных внутрисуточных флуктуацийA(τ )ϕиусредненныеквазипериодическиевнутригодовыеколебания∆l.o.d .(τ )(усредненный резидиум на 40-суточном интервале времени) в течение лунного года в 2008г.Обозначив()ɺ , Iɺ  , выраженияµ ( t ) = r0−1  M rS + M rL + ∆M SL Ωизменениядлительности суток и временной поправки будут иметь вид:[UT 1 − TAI ]( t ) = [UT1 − TAI ]( 0 ) − Dtl.o.d .( 0 ) t + ∫ ( t − t1 ) µ(t1 ) φ dt1 , (12)−100tl.o.d .( t ) = l.o.d .( 0 ) − D0 ∫ µ(t1 ) φ dt1 .0Здесь … φ – символ осреднения на суточном интервале времени.Численное моделирование внутригодовой приливной неравномерностиосевого вращения Земли на основе выражений (12) проводится методомнаименьших квадратов.На рис. 5 приводятся интерполяция изменения длительности суток l.o.d.,выполненная с помощью построенной модели на интервале времени с01.09.2010 г.

по 01.09.2011 г., в сравнении с данными наблюдений МСВЗ ипрогноз до 01.01.2012 г. На рис. 6 приводятся интерполяция и прогнозвременной поправки UT1 – TAI на тех же интервалах. Следует отметить, чтопоправка UT1 – UTC отличается от UT1 – TAI, входящей в выражение (12), нацелое число секунд. Вынужденная процедура введения «скачущих» секундосуществляетсяМСВЗичастотанеравномерностью осевого вращения Земли.14ихопределяетсямежгодовойРис.