Диссертация (Математическое моделирование теплофизического эксперимента на основе численных методов расщепления и идентификации), страница 8

1.2), отвечающие в той или иной степени физической постановке разд. 1.3.– Задача о тонком источнике на поверхности раздела двух сред;– Задача о цилиндрическом источнике в концентрических слоях.Данные задачи являются плоскими (первая – двумерная, вторая радиально-одномерная),математически они описываются дифференциальными моделями теплопроводности иинтересны тем, что имеют аналитическое решение и служат основой для оценки ЭКТобразца в физической модели измерений, то есть по результатам эксперимента.

Опишемкратко эти задачи.1.4.1. Задача о тонком источнике на поверхности раздела двух средИсточник постоянной тепловой мощности ql , Вт/м, в виде длинной нити бесконечномалогорадиуса,располагаетсянаповерхностиразделаполуограниченныхсред:исследуемого образца и подложки.

На рис. 1.4 показан фронтальный изображение системы«источник-образец-подложка», для которой предполагается неограниченность длины нитиисточника 0 и полуограниченность сред образца 1 и подложки 2, от плоскости σ 12 ихконтакта между собой и источником. Предполагается также независимость ТФХ материалов34системы от их температуры; изотропия сред 1, 2; не учитывается собственная теплоемкостьисточника ( c0 = 0 ).Q2Q0rφOPσ12Q1Области:Q0 – источник ( r = 0 , точечный);Q1 – образец ( π < ϕ < 2π );Q2 – подложка ( 0 < ϕ < π );Границы:σ 12 – граница контакта ( ϕ = 0 , ϕ = π );Рис. 1.4.

Фронтальное изображение размещения точечного источникаотносительно примыкающих сред подложки и образцаСформулируем двумерную нестационарную начально-краевую задачу, математическиописывающую тепловой процесс в системе «источник-образец-подложка», рассматриваемойв полярной системе координат (рис. 1.4) с центром в точке O расположения источника,полярной осью OP ( ϕ = 0 ) вдоль прямой линии контакта образца и подложки [69, 132].ci ρi⎛ 1 ∂ ⎛ ∂T∂T= λi ⎜⎜r∂t⎝ r ∂r ⎝ ∂r2⎞ 1 ∂T⎞, (r , ϕ ) ∈ Qi , i = 1, 2 ,+⎟ 22 ⎟⎠ r ∂ϕ ⎠T1 ϕ =−0 = T2 ϕ =+0 , T1 ϕ =π + 0 = T2 ϕ =π −0 ,λ1∂T∂ϕ= λ2ϕ =0−⎛π r ⎜ λ1⎜⎝∂T∂ϕ∂T∂r, λ1ϕ =0+π <ϕ < 2π+ λ2r →0∂T∂ϕ∂T∂rϕ =π + 0∂T∂ϕ0<ϕ <πr →0⎞⎟ = −ql ,⎟⎠= λ2(1.1)(1.2),(1.3)ϕ =π − 0(1.4)= T0 = Const ,(1.5)T t =0 = T0 = Const ,(1.6)ΔTи (t ) = T (r , ϕ , t ) r →0 − T0 = ?(1.7)Tr →∞Имеем уравнение теплопроводности: (1.1) для сред Q1 , Q2 ; условия сопряженияповерхностей контакта: (1.2–1.3) – на границах областей Q1 , Q 2 , (1.4) – с источником Q0 ;(1.5) – краевое условие на бесконечности (несобственное); начальное условие (1.6); вопросзадачи (1.7) – изменение во времени приращения средней температуры источника.Приращение температур материалов образца и подложки ΔTi = Ti (r , t ) − T0 , i = 1, 2 приt >> 1 коротко можно записать в виде [69, 132]:ΔTi =ql⎛ 4a tln ⎜ 2 iC2π (λ1 + λ2 ) ⎝ r e35⎞⎟ + O (ln t ) , i = 1, 2 ,⎠(1.8)где C = 0.577216...

– постоянная Эйлера, откуда приращение температуры от некоторогомомента времени t = t1 до текущего времени t записывается в виде:ΔTи (t ) =qltln + O (ln t ) .2π (λ1 + λ2 ) t 1(1.9)Таким образом, информация о теплопроводности исследуемого образца, содержится вприращениитемпературы.Наосноверавенства(1.9)поизвестномузначениютеплопроводности λ2 материала подложки и приращениям температуры источника ΔTи вразличныемоментывремени,имеетсявозможностьопределитькоэффициенттеплопроводности λ1 образца. В случае изотропии материала подложки и анизотропииисследуемого образца можно найти коэффициенты теплопроводностиλ1x , λ1y , λ1zпоследнего вдоль главных осей [132].

Записав равенство (1.9) три раза, принимая за λ1(обозначим как λ1xy ) величинуλ1yλ1zλ1xλ1y при расположении плоскости σ параллельно оси Oz, иλ1zλ1x – параллельно Ox, Oy соответственно, теплопроводности λ1x , λ1y , λ1z найдёмиз системы:λ1xλ1y = λ1xy ,λ1yλ1z = λ1yz ,λ1zλ1x = λ1zx .1.4.2. Задача о цилиндрическом источнике в концентрических слояхИсточник постоянной тепловой мощности ql , Вт/м, в виде длинного цилиндра радиусаr0 концентрически окружен цилиндрическим изолирующим слоем ( r0 < r < b ) средыподложки, которая, в свою очередь, контактирует с неограниченной ( r > b ) средой образца.На рис.

1.5 показан фронтальный вид системы «источник-образец-подложка», для которойпредполагаетсяидеальноепримыканиеинеограниченностьвсехконтактирующихматериалов по длине, а также неограниченность среды образца (область Q1 ) по ширине.Предполагается также изотропия материалов системы и независимость их ТФХ оттемпературы.Области:Q0 – источник ( r < r0 );Q2rQ1 – образец ( r > b );Q0φQ2 – подложка ( r0 < r < b );r0 bP Границы:Oσ12σ02σ 02 – источника и подложки ( r = r0 );Q1σ 12 – образца и подложки ( r = b );Рис.

2. Фронтальное изображение размещения цилиндрического источникаотносительно примыкающих сред подложки и образца.36Сформулируем радиально-одномерную нестационарную начально-краевую задачу,математически описывающую тепловой процесс в системе «источник-образец-подложка»,рассматриваемой в полярной системе координат (рис. 1.5) с центром в точке, совпадающей сцентром области Q0 (ось источника, т.О), полярной осью OP ( ϕ = 0 ), взятой в произвольномнаправлении:∂T λ0 ∂ ⎛ ∂T ⎞ q0=, r < r0 ,⎜r⎟+∂tr ∂r ⎝ ∂r ⎠ π r02(1.10)∂T λi ∂ ⎛ ∂T ⎞=⎜r⎟ , i = 1 при r > b , i = 2 при r0 < r < b ,∂tr ∂r ⎝ ∂r ⎠(1.11)c0 ρ0ci ρiT2π r0 λ2∂T∂rr = r0 − 0=Tr = r0 + 0+ π r02 ρ3c3r = r0 + 0Tλ2∂T∂rr =b − 0=Tr =b − 0∂T∂rr =b + 0= λ1,∂T∂r(1.12)= − ql ,(1.13)r = r0 − 0,(1.14),(1.15)ϕ =b + 0= T0 = Const ,(1.16)T t =0 = T0 = Const ,(1.17)Tr →∞ΔTи (t ) = TQ0− T0 = ?(1.18)Имеем уравнение теплопроводности: (1.10) – для источника Q0 , (1.11) – для образца Q1и подложки Q 2 ; условия сопряжения поверхностей контакта: (1.12–1.13) – на границахобластей Q 0 , Q 2 , (1.14–1.15) – Q1 , Q 2 , (1.16) – краевое условие на бесконечности(несобственное); начальное условие (1.17); вопрос задачи (1.18) – изменение во времениприращения средней по Q 0 температуры источника: TАналитическоерешениеданнойзадачиQ0при=1π r02∫ TdS =Q0t >> 1r2 0T (t , r ) r dr .r02 ∫0получено[69]методомпоследовательных приближений и представляется в виде рядаΔTи =⎡ b λ2⎤4a t 14a t1ln 2 1C − C1 + C2 ln 2 1C + …⎥ ,⎢ln +ttbe2π λ2 ⎣ r0 2λ1 b e⎦ql⎛λ⎞⎞ b ⎤1 ⎡ ⎛ b 2 − r02 b 2 ⎞ ⎛ 2 ⎛ λ1 λ2 ⎞− ⎟ − ⎜⎜ b ⎜ − ⎟ + 2 r02 ⎜ 2 − c0 ρ 0 ⎟ ⎟⎟ ln ⎥ ,C1 =⎢λ2 ⎜4 λ1 ⎣⎢ ⎝ a2a1 ⎠ ⎝ ⎝ a1 a2 ⎠⎝ a2⎠ ⎠ r0 ⎦⎥C2 =λ 2 ⎡ 2 ⎛ λ1 λ2 ⎞ 2 ⎛ λ2⎞⎤⎢b ⎜ − ⎟ + r0 ⎜ − c0 ρ 0 ⎟ ⎥ .4 λ1 ⎣ ⎝ a1 a2 ⎠⎝ a2⎠⎦Информативная часть приращения температуры источника (1.19) равна37(1.19)ΔT1 =а возмущениеql4a1t,b 2 eCln4π λ1(1.20)δ T2 , вносимое цилиндрическим слоем подложки, отклоняющееприращение (1.19) от идеализированной зависимости (1.20), может быть представлено в видесуммы δ T2 = T2 c + T2 v соответственно постоянной и переменной составляющих:T2 c =ql2πλ 2lnb,r04a1t⎞1⎛T2 v =⎜ C2 ln 2 C − C1 ⎟ .2π λ 2 t ⎝be⎠ql(1.21)1.4.3.

Анализ идеализированных модельных задачСопоставим решения рассмотренных в пп. 1.4.1, 1.4.2 модельных задач. Анализпеременной составляющей T2v (1.21) возмущения δ T2 показывает, что для типичныхусловий эксперимента (разд. 1.2) и при минимальном влиянии собственной теплоемкостиисточника ( b = 2r0 ) – оно незначительно, поэтому приращение температуры ΔTи (1.19) отнекоторого момента времени t = t1 до текущего времени t практически совпадает созначениями по формуле (1.9).Если области Q1 , Q2 представляют одну и ту же среду, то при t >> 1 информативныечасти (1.8) и (1.20) запишутся в виде [133]ΔT * =ql4π λln4at.r0 2eC(1.22)Приращение (1.22) будем называть идеальной составляющей приращения температурыисточника. В этом смысле реальное приращение температуры источника можно представитькак ΔT = ΔT * + δ T , где δ T – отклонение от идеализации, вызванное различными факторами(разд.

2.1). Практически при измерениях коэффициента теплопроводности твердых образцовотклонение δ T может быть весьма значительным. На начальной стадии теплового импульсадополнительный перегрев источника (относительно значений ΔT * ) может быть связан с егособственной инерционностью, а также с наличием контактного термического сопротивления(КТС). Вообще же на эволюцию теплового процесса в системе «источник–образец–подложка»помимо перечисленных факторов в той или иной степени оказывают влияние: ограниченностьразмеров источника и соприкасающихся материалов, отсутствие их идеального тепловогоконтакта (зазоры), зависимость ТФХ материалов образца и подложки от температуры,присутствие в системе лучистого теплообмена, непостоянство теплового потока от источника итак далее (см. разд.

2.1).38Обеим рассмотренным модельным задачам присущ значимый недостаток – в них неучитываются контактные воздушные зазоры вокруг источника тепла, наличие которых вноситсущественный вклад в приращение его температуры на начальной стадии теплового импульса.При этом в модели 1 (п. 1.4.1) присутствует непосредственный контакт всех материалов, однакопренебрегается влиянием инерционности нити источника. В модели 2 (п. 1.4.2), обратно,учитывается собственная теплоёмкость источника, но отсутствует непосредственный контактисточника со средой исследуемого образца. Решения модельных задач описывают тепловойрежим источника близко к физически реальному режиму лишь на достаточно большихвременах, что затруднительно или практически невозможно реализовать в эксперименте. Всвязи с этим, возникает потребность в более сложной математической модели, которая была былишена указанных недостатков и наиболее полно отвечала физической постановке задачи(разд.

1.3).1.5. Экспериментальноеоцениваниекоэффициентатеплопроводности.Погрешности измерений и вычисленийРасчет ЭКТ образца на установке и по методике, описанной в разд. 1.2, проводится поформуле [127], основанной на модели п. 1.4.1 – формулы (1.8), (1.9):3⎛ R1эт (T0 ) ⎞ Rи (T ) ⎛β⎞λ1 (T ) = (λ (T0 ) + λ 2 (T0 )) ⎜1 + 2 (T − T0 ) ⎟ − λ 2 (T ) ,⎜ R1 (T ) ⎟⎟ Rиэт (T0 ) ⎜⎝α⎠⎝⎠эт1(1.23)где T0 – начальная температура, α , β – температурные коэффициенты сопротивления(разд.

1.2), индекс «эт» применяется для измерительного зонда, приведенного в контакт сэталонным образцом, а зависимость λ 2 (T ) считается известной. С помощью расчетногосоотношения (1.22) были измерены и обработаны математически экспериментальные данныеоб ЭКТ ряда твердых (жестких и мягких) материалов; в качестве эталонного образца взяткварц КВ [133].Задачей измерения и вычисления является не только оценивание самой величины, но идопущенной при этом погрешности, которая в свою очередь характеризует качество средствизмерений и результатов вычислений. Поэтому поставим вопрос о выявлении источников иоценке погрешностей, возникающих в процессе измерений и вычислений ЭКТ по методикеп.

1.2, классифицируем и опишем методы их учёта.По отношению к измеряемой величине x на практике применяются погрешности [97]:абсолютная Δ =| x* − x | , относительная δ = Δ / | x* | и приведенная к диапазону x* ∈ [ xo , xe ] :δ пр = ( x − xo ) / ( xe − xo ) , но чаще их верхние оценки – предельные погрешности Δ , δ , δ пр . Поформе границ полосы абсолютной погрешности измеряемой величины различают39погрешности аддитивные (одинаковой ширины) и мультипликативные (пропорциональныезначению величины), а по зависимости от скорости её изменения – статические идинамические. Упомянутые градации применимы как к измеряемым и вычисляемымвеличинам, так и к разновидностям погрешностей измерений и вычислений, которыерассмотрим ниже.