Диссертация (Математическое моделирование теплофизического эксперимента на основе численных методов расщепления и идентификации), страница 12

1]:| α ijx | + | γ ijx | < | α ijx + γ ijx + 2cVτ +ij1/2 / Δ t | , | α ijy | + | γ ijy | < | α ijy + γ ijy + 2cVτ +ij1 / Δ t | ,54где для (2.11) применены обозначения (2.12). Схема метода переменных направленийабсолютно устойчива и имеет порядок аппроксимации O(Δt + h 2 ) , где h 2 = Δxi− Δxi+ + Δy −j Δy +j[151, Гл. 7], то есть является высокоточной.WU0WUτVЭтап 1UЭтап 2τ+1/2WU τ+1τ +1=P?данетWUPτ:=τ+1Рис. 2.4. Общая схема алгоритма вычисленийПриведенномуалгоритмусоответствует общая схема, показаннаяна рис.

2.4.Практически алгоритм удобно реализовать с помощью двух массивов V и W , содержащихвычисленные значения сеточной функции U ijна промежуточных и целых слояхсоответственно, и заполняемых маршевым методом. Так если на текущем временном слое τзаполнен массив W , на его основе вычисляются значения сеточной функции промежуточномслое τ + 1/ 2 и заполняется массив V . С помощью массива V вычисляются значениясеточной функции на слое τ + 1 , которыми поверх старых значений заполняется массив W итак далее.2.2.5. Особенности численного решенияОбсудим реализацию условий сопряжения (2.3)–(2.4), несобственного краевого условия(2.5), а также идею использования нерегулярной вычислительной координатной сетки.Условия сопряженияДобавление в основную систему уравнений, соответствующих условиям (2.3)–(2.4),проблематично, тем более что неформализованная граница σ 23 (п.

2.2.2), отвечающая заформу и размер зазоров – области Q3 (рис. 2.1), может быть сложной. Если использоватьспособ«размывания»ТФХв«полуузлах»,расположенныхвблизиграницвсехконтактирующих областей системы за счет значений теплопроводности в разностной схеме(2.10) МПН, а также МПНЭ (алгоритм 2.1, п. 2.2.4), то получим для них расчетные формулыλiгр±1/2, j =λ i λ i ±1λ j λ j ±1, λ гр =,i , j ±1/ 2δδλ i + ± (λ i ±1 − λ i )λ j + ± (λ j ±1 − λ j )ΔxiΔy jгде Δxi+ = Δxi−+1 = hxi , Δy +j = Δy −j +1 = hyj , δ – соответствующее расстояние от границы доближайшего к ней целого узла < i, j > ( 0 ≤ δ ≤ hxi / 2 или 0 ≤ δ ≤ hyj / 2 ). Данный подход проств реализации, однако он нарушает (уменьшает по координате) порядок аппроксимацииразностной схемы в узлах ближайших к границам.

Возникает идея такой модификации55разностнойсхемы(2.10)МПН,котораябысохранялапорядокаппроксимацииO(Δt + Δxi− Δxi+ + Δy −j Δy +j ) (п. 2.2.4) и в приграничных узлах.Предположим, что граница контакта областей системы проходится в горизонтальномнаправлении, а узел < i, j > помещен на саму границу. Тогда согласно формуле Тейлора,используя упрощенную индексацию, можно записатьTi −1 = Ti −Ti +1 = Ti +∂T∂x∂T∂xΔxi− +i−∂ 2T∂x 2Δxi+ +i+∂T∂x 2i−( Δxi− ) 2+ O ((Δxi− )3 )2i+( Δxi+ ) 2+ O ((Δxi+ )3 ) ,22откуда∂T∂x∂T∂x=i−=i+Ti − Ti −1 ∂ 2T− 2Δxi−∂xTi +1 − Ti ∂ 2T− 2Δxi+∂xi−Δxi−+ O ((Δxi− ) 2 ) ,2i+Δxi++ O (( Δxi+ ) 2 ) .2В силу уравнения (2.2) (или (2.1)) и с учетом схемы (2.10), последние равенства перепишутсясоответственно в виде∂T∂xi−∂T∂xi+⎛ C − T τ +1 − T τ ⎛ + T j +1 − T jT j − T j −1 ⎞2− ⎜ Vi−− ⎜ λj− λ j−⎟+−−⎜⎜ΔtΔy jΔy j ⎟⎠ Δy j + Δy +j⎝⎝ λiT j − T j −1 ⎞T − T ⎛ C + T τ +1 − T τ ⎛ + T j +1 − T j2= i +1 + i − ⎜ Vi+− ⎜ λj− λ j−⎟+−−⎜⎜ΔxiΔtΔy jΔy j ⎟⎠ Δy j + Δy +j⎝⎝ λi=Ti − Ti −1Δxi−⎞ Δx −⎟ i + O (Δt + h 2 ),⎟⎠ 2⎞ Δx +⎟ i + O ( Δt + h 2 ) ,⎟⎠ 2где Δxi− , Δxi+ , Δy −j , Δy +j > 0 , обозначено λi− = λi −1/2, j , λi+ = λi +1/2, j , λ j− = λi , j −1/2 , λ j+ = λi , j +1/2 ,CVi− = (c ρ )i −1/2, j , CVi+ = (c ρ )i +1/2, j , h 2 = Δy −j Δy +j + ( Δxi∓ ) 2 .Через равенство (2.3) λi−∂T∂x= λi+i−∂T∂x, получим искомую разностную схемуi+τ +1⎛ + U j +1 − U jU j − U j −1 ⎞ Δxi−U i − U i −1− U τ Δxi−− U−−− CVi+ λi ⎜ λ j− λj=λ⎟⎜Δxi−ΔtΔy +jΔy −j ⎠⎟ Δy −j + Δy +j2⎝−i= λi+τ +1⎛ + U j +1 − U jU j − U j −1 ⎞ Δxi+U i +1 − U i− U τ Δxi++ U+−−+−C,λλλ⎜⎟⎟ −Vii ⎜ jj+−+Δxi+ΔtΔΔΔ+Δyyyy2jjjj⎝⎠которая, сохраняет порядок аппроксимации по координате и может быть реализована спомощью экономичных методов расщепления МПН или МПНЭ (п.

2.2.4). Для экономичногоМПНЭ (метод В.Ф. Формалева) она запишется следующим образом.Переход с текущего временного слоя τ на полуслой τ + 1/ 2 :56⎛ + U iτ, +j +1/21 − U iτ, +j 1/2⎞ λi− Δxi−U iτ, +j 1/2 − U iτ, +j −1/21−λ−CΔx + ⎜ λ j− λj=⎟⎟ −+⎜Δxi−ΔtΔy +jΔy −j⎝⎠ Δy j + Δy j⎛ U τ +1/2 − U τ +1/2U τ +1/ 2 − U iτ, +j −1/12 ⎞ λi+ Δxi+U τ +1/ 2 − U τ +1/2U τ +1/2 − U ijτ= λi+ i +1, j + ij− CVi+ ijΔxi+ + ⎜ λ j+ i , j +1 + i , j − λ j− i , j,⎟⎟ −−+⎜ΔxiΔtyyyyΔΔΔ+Δjjjj⎝⎠−iU ijτ +1/ 2 − U iτ−+1,1/j2−ViU ijτ +1/ 2 − U ijτ−iгде i = 0, M − 1 , U iτ, +j +1/21 = 2U iτ, j +1 − U iτ, −j +1/12 – линейно экстраполированное значение.Переход с текущего временного τ + 1/ 2 на целый слой τ + 1 :⎛ + U iτ, +j +11 − U iτ, +j 1U iτ, +j 1 − U iτ, +j −11 ⎞ λi− Δxi−−λ−CΔx + ⎜ λ j− λj=⎟⎟ −+⎜Δxi−ΔtΔy +jΔy −j⎝⎠ Δy j + Δ y jU τ +1 − U τ +1U τ +1 − U ijτ +1/2 + ⎛ + U iτ, +j +11 − U iτ, +j 1U iτ, +j 1 − U iτ, +j −11 ⎞ λi+ Δxi+−= λi+ i +1, j + ij − CVi+ ijΔxi + ⎜ λ j,λ−⎟⎟ −j+−+⎜ΔxiΔtΔyyyyΔΔ+Δjjjj⎝⎠−iU ijτ +1 − U iτ−+1,1 j−ViU ijτ +1 − U ijτ +1/2−iгде i = 0, M − 1 , U iτ, +j +11 = 2U iτ, +j +1/21 − U iτ, j +1 – линейно экстраполированное значение.В записанных выше СЛАУ, неизвестными являются соответственно U iτ−+1,1/2j , U iτ, +j 1/2 , U iτ++1,1/2jи U iτ−+1,1 j , U iτ, +j 1 , U iτ++1,1 j , i = 0, M − 1 .

В случае прохода границы по вертикальному направлениюсистемы будут выглядеть аналогично, подиагональными, поэтому, записавj = 0, N − 1 . Данные СЛАУ являются 3-их в приведеннойформе, получимрасчетныесоотношения.Записанные схемы, как и схемы классического МПНЭ, обладают 2-м порядкомаппроксимации на шаге, при этом достаточно, чтобы T ( x, y ) ∈ C4 (Q) . Например, разложив поформуле Тейлора точные решения Ti −1 , Ti +1 до 3-го порядка включительно, подставив их вконечно-разностный оператор Λ x (2.10), и учитывая (2.3) λi−⎛ T −TT −T ⎞2Λ xTi = ⎜ λi+ i +1 + i − λi− i −i −1 ⎟ +=ΔxiΔxi ⎠ Δxi + Δxi−⎝2λi+ ⎛ ∂T(Δxi+ ) 2Δxi+ ∂ 2T= +++⎜3!Δxi + Δxi− ⎜⎝ ∂x i + 2! ∂x 2 i +2λ − ⎛ ∂T(Δxi− ) 2Δx − ∂ 2T− + i −⎜− i+3!Δxi + Δxi ⎜⎝ ∂x i − 2! ∂x 2 i −=λi− Δxi− + λi+ Δxi+ ∂ 2T−i+iΔx + Δx1 λi− (Δxi− )2 − λi+ (Δxi+ ) 2 ∂ 3T+∂x 2 i + 3Δxi− + Δxi+∂x 3∂T∂x= λi+i−∂T∂x, получимi+⎞+ O((Δxi+ )3 ) ⎟ −⎟i+⎠⎞∂ 3T+ O((Δxi− )3 ) ⎟ =3⎟∂x i −⎠∂ 3T∂x3+ O((Δxi− ) 2 − Δxi− Δxi+ + (Δxi+ ) 2 )i+Второе слагаемое правой части в регулярном узле на равношаговой сетке будет равно нулю,поэтому порядок аппроксимации схемы на точном решении определяется последнимслагаем: max | Λ xU ij − Λ xTij | = O((Δxi− ) 2 + (Δxi+ ) 2 ) .i57Теорема 2.1.

(об аппроксимации на границах разрыва ТФХ)Пусть в задаче (2.1)-(2.7) температурное поле T ( x, y, t ) ∈ C42 (Q × [0, PΔt ]) (дваждынепрерывно-дифференцируемо по времени и четырежды – по координатам) и < i, j > – узелкоординатной сетки, помещенный на границу разрыва ТФХ. Тогда порядок аппроксимации вэтом узле равен O (Δt + h 2 + Δt | h |) , h 2 = (Δxi−)2 + (Δxi+) 2 + (Δy −j )2 + (Δy +j ) 2 , | h | = Δxi− + Δxi+ + Δy −j + y +j ,и совпадает с порядком аппроксимации для регулярного узла на точном решенииT ( xi , y j ,τΔt ) , если условия сопряжения (2.3)-(2.4) в продольном или/и поперечномнаправлении аппроксимировать уравнениямиx2aijxTiτ−1,+1/j 2 − bijxTiτ, j+1/2 + cijxTiτ+1,+1/2j = − d ij + O ( Δt + h ) ,(2.13а)aijyTiτ, j+−11 − bijyTiτ, j+1 + cijyTiτ, j++11 = − dijy + O (Δt + h 2 ) ,(2.13б)где коэффициенты для продольного направления обходаaijx = λi− / Δxi− , bijx = aijx + cijx + lijx + σ ijx (aijy + cijy ) ,y τ +1/2cijx = λi+ / Δxi+ , dijx = lijxTiτ, j + σ ijx (aijyTiτ, j+−1/21 + cij Ti , j +1 ) ,ττ −1/22Tiτ, j++1/21 = 2Ti , j +1 − Ti , j +1 + O (Δt ) – линейно экстраполированное значение целевой функции,λi− = λi −1/2, j , λi+ = λi +1/2, j , lijx = ((c ρ )i− Δxi− + (c ρ )i+ Δxi+ ) / Δt , (c ρ )i− = (c ρ )i −1/ 2, j , (c ρ )i+ = (c ρ )i +1/2, j ,σ ijx = (Δ xi− + Δ xi+ ) / ( Δy −j + Δy +j ) = 1/ σ ijy ,а коэффициенты для поперечного направления обходаaijy = λ j− / Δy −j , bijy = aijy + cijy + lijy + σ ijy (aijx + cijx ) ,cijy = λ j+ / Δy +j , dijy = lijyTiτ, j+1/2 + σ ijy (aijx Tiτ−1,+1j + cijxTiτ+1,+1j ) ,Tiτ+1,+1j = 2Tiτ+1,+1/j 2 − Tiτ+1, j + O (Δt 2) – линейно экстраполированное значение целевой функции,λ j− = λi , j −1/2 , λ j+ = λi , j +1/2 , lijy = ((c ρ ) −j Δy −j + (c ρ ) +j Δy +j ) / Δt , (c ρ ) −j = (c ρ )i , j −1/2 , (c ρ ) +j = (c ρ )i , j +1/2 ,σ ijy = ( Δy −j + Δy +j ) / (Δ xi− + Δ xi+ ) = 1/ σ ijx .Важная особенность 3-диагональных СЛАУ (2.13) состоит в том, что их можноиспользовать для любых узлов, находящихся внутри расчетной области, а не обязательно вприграничных узлах.

Иными словами, в теореме 2.1 дана модификация конечно-разностнойсхемы (2.12). Расчетные соотношения на границе Γ = ∂Q расчетной области Q будутполучены ниже. Коэффициенты aij , bij , cij 3-диагональных СЛАУ в теореме 2.1 специальнозаписаны таким образом, чтобы была видна устойчивость конечно-разностных схем (2.13).Теорема 2.2. (об устойчивости по входным данным)Пусть выполнены условия теоремы 2.1, тогда конечно-разностные схемы (2.13), абсолютноустойчивы по входным данным и по правым частям.58Действительно, из теоремы 2.1 видно, что коэффициентыaij ,bij ,cijстрогоположительны (предполагается естественная положительность и ограниченность ТФХ взадаче (2.1)-(2.7)) и удовлетворяют свойству диагонального преобладания bij > aij + cij сбольшим запасом устойчивости в обоих направленияхbijx − (aijx + cijx ) = lijx + σ ijx (aijy + cijy ) > 0 ,bijy − (aijy + cijy ) = lijy + σ ijy (aijx + cijx ) > 0 .Тогда [71] разностные схемы (2.13) модификаций МПН, МПНЭ абсолютно устойчивы повходным данным, а следовательно [119, 154], и по правым частям.