Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация квазилинейных динамических стохастических систем диффузионного типа, нелинейных по управлению), страница 12

Применение полиномов более высоких степеней позволяет эти результаты улучшить.5.3.Задача стабилизации спутника с упругой штангойРассмотрим плоское движение абсолютно жесткого спутника [82](рис. 23) с моментом инерции Jc и массой mc под действием возмущающего момента L. В точке O на расстоянии b от центра масс C спутникажестко закреплено начало прямолинейного однородного стержня длиной lс погонной плотностью ρ, модулем Юнга E, коэффициентом внутреннеготрения по Фойгту h и моментом инерции поперечного сечения J.

На конце96стержня в точке O1 зафиксировано абсолютно жесткое тело C1 с массой m1и моментом инерции J1 .Система координат Oyz связана со спутником; α – угол отклоненияспутника от оси z 0 , направленной к центру масс планеты, т.е. ошибка системы стабилизации; ũ – управляющий момент газореактивной системы;t – время; ÿc – ускорение возмущенного движения центра масс C спутника;y(z, t) – прогиб стержня; y1 (t) = y(l, t) – прогиб конца стержня; α1 – уголповорота тела C1 относительно оси Oz; N0 , L0 и N1 , L1 – соответственносила и момент сил реакции стержня в точках O и O1 . Точка обозначаетпроизводную по времени.αLyCbCuObL0N0yz'y(z,t)O1N1C1ly(t)1L1α1zРис.

23. Спутник с упругой штангой97Считается, что величина EJ/ρ 1 м4 /с2 , а величина прогибаy(z, t) по всей длине стержня изменяется достаточно медленно. Величины α(t), ÿc (t), y(z, t), α1 (t) считаются малыми.Возмущающий момент L характеризуется соотношением [83]L = −Ωα,где коэффициент Ω определяется угловой скоростью обращения по орбитеи моментами инерции спутника относительно оси Oz и оси, проходящейчерез C параллельно Oy.При сделанных предположениях уравнения движения спутника имеют вид [84]3b32b1Jc α̈ = ũ − Ωα − 2EJ (1 + )(α1 + hα̇1 ) + 2 (1 + )(y1 + hẏ1 ) ,llll12mc ÿc = 6EJ 2 (α1 + hα̇1 ) + 3 (y1 + hẏ1 ) ,ll32J1 α̈1 = −J1 α̈ − 2EJ (α1 + hα̇1 ) + 2 (y1 + hẏ1 ) ,ll12m1 ÿ1 = −m1 ÿc + m1 (b + l)α̈ − 6EJ 2 (α1 + hα̇1 ) + 3 (y1 + hẏ1 ) .llВеличина ũ, играющая роль управления, пропорциональна тяге газореактивного двигателя.

Цель управления заключается в успокоении упругих колебаний, возникающих в стержне, и стабилизации спутника относительно оси z 0 за заданное время T .Нетрудно видеть, что данная система уравнений распадается на двеподсистемы. Одна подсистема представляется 6-ю линейными уравнениями первого порядка с вектором неизвестных x = (x1 , .., x6 ) =98(α, ωα , α1 , ωα1 , y1 , Vy1 )α̇ = ωα ,ω̇α =1Jc ũΩJc α−− 2 EJJc1l (1 +3bl )(α1+ hωα1 ) + l32 (1 +2bl )(y1+ hVy1 ) ,α̇1 = ωα1 ,ω̇α1 =+3l2 (1− J1c ũ2bl++−ΩJc α+2 EJJch1l (1JcJ1 )(y1i+ hVy1 ) ,(b+l)ΩJc α2 EJm1+3bl− 2 JJ1c )(α1 + hωα1 )+ẏ1 = Vy1 ,V̇y1 =b+lJc ũ1+ l32 ( 2mmc l−−h 1l3m1mc l+(b+l)m1(1Jc+3bl )+3l(α1 + hωα1 )+i(b+l)m12b2+ Jc (1 + l ) + l )(y1 + hVy1 ) ,(5.1)а другая имеет вид2EJ 1(α1 + hωα1 ) + 3 (y1 + hVy1 ) .ÿc = 6mc l2lИзменение величины ускорения ÿc не влияет на достижение целиуправления, поэтому вторая подсистема далее не рассматривается.

Такимобразом, оставшиеся переменные (угол α отклонения спутника от оси z 0 ,скорость его изменения ωα , угол α1 поворота тела на конце стержня, скорость его изменения ωα1 , величина y1 отклонения тела от оси z и её скоростьизменения Vy1 ) составляют вектор x состояния системы. Следует такжеотметить, что в [84] первая подсистема записана с ошибкой. Правильнаязапись имеет вид (5.1).Дополнительно предполагается, что управление реализуется со случайными ошибками [85] так, что ũ(t) = u(t)·(1+kξ dw(t)/dt), где величина uхарактеризует точные управляющие воздействия, а производная dw(t)/dt,понимаемая в обобщённом смысле (белый шум), вместе с коэффициентом99kξ характеризует флуктуации величины тяги двигателя.

Начальные условия определяются случайным вектором x0 с математическим ожиданиемm0 и ковариационной матрицей K0 .Исходные характеристики взяты равными: Jc = 0.7 кг·м2 , mc = 35 кг,b = 0.1 м, Ω = 0.1 Н·м, l = 1 м, h = 0.01 с, ρ = 0.645 кг/м, E = 2.8·1010 Па,J = 3.5 · 10−9 м4 , m1 = 3 кг, J1 = 0.07 кг·м2 , kξ = 0.25. Время стабилизацииT = 3 с.Таким образом, управляемая динамическая система принимает видdx(t) = (Ax(t) + Bu(t, x(t))) dt + F u(t, x(t))dw(t),m(0) = m0 , K(0) = K0 , t ∈ [0, 3],010000 −0.143 0 −364 −3.64 −1008 −10.08 000100,A= 0.143 0 −5236 −52.36 −7392 −73.92 000001−0.157 0 −613.2 −6.132 −1534.4 −15.344B=(0,1.429,0,(0, 0.357, 0, −0.357, 0, 0.393)T , m0−1.429,=0,1.571)T ,F=(0, 0, 0, 0, 0, 0)T , K0 =diag(0.0001, 0.05, 0.00625, 2.5, 0.00017, 0.067).Требуется минимизировать квадратичный функционалZ3 Z1xT Dx + uT Eu p(t, x)dxdt,J=20 R6D = diag(1000, 2, 120, 0.4, 800, 15), E = 0.05.Полученная задача вновь относится к классу задач, рассматриваемых в главе 3 и разделе 4.3.

На этот раз построим оптимальную стратегию100управления для данной задачи при использовании предложенного в разделе 3.4 численного метода градиентного типа и уточним точность приближения, сравнив её с оптимальной стратегией, найденной путём непосредственного использования соотношений, которые записаны в разделе 3.3 в виденеобходимых условий оптимальности.

Соответствующие результаты получены в работе [84], где эти соотношения записаны в форме достаточныхлокальных условий. Результаты сравнения представлены в таблице 7.Таблица 7. Результаты сравнения№1234Информационныеограниченияu(t)u(t, x1 , x3 , x5 )u(t, x2 , x4 , x6 )u(t, x1 , ..., x6 )Jну375.8774.3253.2321.357Jчм375.8774.6463.3311.447Отметим, что матричная функция L в оптимальной стратегиидля данной задачи тождественно равна нулю, так как по условиюC(t) ≡ m0 = 0. Поэтому при полном отсутствии информации о состоянии управляющие воздействия не производятся, и движение спутникасовпадает со свободным движением.На графиках (рис. 24 – 27) представлены результаты моделирования процесса управления для заданного начального положенияx0 = (−0.006, −0.139, 0.019, −1.305, −0.004, 0.206)T .101Рис.

24. Графики α(t)Рис. 25. Графики α1 (t)102Рис. 26. Графики y1 (t)Рис. 27. Графики u(t)1035.4.РезультатыПолученные результаты диссертационного исследования использова-ны в данной главе для решения некоторых прикладных задач оптимального управления в области авиационной и ракетно-космической техники.А именно, при помощи необходимых условий оптимальности и субоптимальности, а также численных методов синтеза управляющих воздействийпостроены оптимальные и близкие к оптимальным решения задач стабилизации двухзвенного механического манипулятора и спутника с упругойштангой.Результаты главы опубликованы в работах [66, 67, 70, 73, 74, 79].104ЗаключениеВ диссертационной работе предложены и обоснованы методы решения задач синтеза оптимального и субоптимального управления квазилинейными динамическими стохастическими системами, что выразилосьв следующих результатах:1) исследован класс математических моделей линейных по состояниюи управлению динамических стохастических систем диффузионноготипа с мультипликативными возмущениями, в которых управлениеимеет вид линейного регулятора с неполной обратной связью (классобыкновенных квазилинейных систем с информационными ограничениями);2) формализован и исследован новый класс математических моделейлинейных по состоянию динамических стохастических систем диффузионного типа, коэффициенты которых могут быть нелинейнымифункциями программного управления (класс квазилинейных систем,нелинейных по управлению);3) получены необходимые условия оптимальности в задачах оптимизации:- стратегий управления обыкновенными квазилинейными системами с информационными ограничениями;105- программного управления квазилинейными системами, нелинейными по управлению;4) получены необходимые условия субоптимальности (оптимальности взаранее суженном классе управлений) в данных задачах;5) разработаны численные методы поиска оптимального и субоптимального управления, основанные на процедуре градиентного спуска вфункциональном пространстве;6) разработан комплекс программ, реализующих эти численные методы;7) проведено решение задач оптимального управления и стабилизациидвухзвенного механического манипулятора и спутника с упругойштангой при помощи полученных результатов.106Литература1.Хрусталёв М.М.

Условия равновесия по Нэшу в стохастических дифференциальных играх при неполной информированности о состоянииI. Достаточные условия равновесия // Известия РАН. Теория и системы управления, 1995, № 6, с. 194-2082.Хрусталёв М.М. Условия равновесия по Нэшу в стохастических дифференциальных играх при неполной информированности о состоянииII. Метод Лагранжа // Известия РАН. Теория и системы управления,1996, № 1, с. 72-793.Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1973.

- 446 с.4.Румянцев Д.С., Хрусталёв М.М. Оптимальное управление квазилинейными системами диффузионного типа при неполной информации о состоянии // Известия РАН. Теория и системы управления, 2006, № 5, с. 43-515.Румянцев Д.С., Хрусталёв М.М. Численные методы синтеза оптимального управления для стохастических динамических систем диффузионного типа // Известия РАН. Теория и системы управления, 2007, № 3, с. 27-381076.Параев Ю.И.

Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 19767.Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами. Постановка задачи,метод решения // АиТ. 1961. Т.

22. № 9. С. 1145Џ11508.Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструированиерегуляторов в системах со случайными свойствами. Уравнениядля оптимального управления. Приближенный метод решения //АиТ. 1961. Т. 22. № 10. С. 1273Џ12789.Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами. Оптимальное регулирование в линейных системах.