Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация квазилинейных динамических стохастических систем диффузионного типа, нелинейных по управлению), страница 10

Для того чтобы управление u(t) = ũ(t, s) было субоптимальным, необходимо существование функций M, λ, γ, удовлетворяющих условиям (2.4)-(2.7), и функций m, K, удовлетворяющих условиям (2.9)-(2.11), таких, что выполнены соотношения∂ Jˆ(s) = 0,∂sjj = 1, N ,(4.2)ˆ j вычисляются по формулев которых значения ∂ J/∂s∂ Jˆ∂sj (s)=νRt1P1(l)u T(l)u 0u 0u 0=tr M (t)(A )j (t) + (G ) (t)M (t)(G )j (t) + 2 (D )j (t) K(t) +l=1t0νP1+mT (t) M (t)(Au )0j (t) + (G(l)u )T (t)M (t)(G(l)u )0j (t) + 2 (Du )0j (t) m(t)+ l=1+mT (t) ((Au )0j )T (t)λ(t) + M (t)(B u )0j (t)+νP+((G(l)u )0j )T (t)M (t)C (l)u (t) + (G(l)u )T (t)M (t)(C (l)u )0j (t) + (S u )0j (t) +l=1νP+λT (t)(B u )0j (t) + (C (l)u )T (t)M (t)(C (l)u )0j (t) + (E u )0j (t) dt,l=1(4.3)75где через (·)0j обозначена производная по sj и использованы обозначениявида Au (t) = A(t, u(t)) = A(t, ũ(t, s)).Д о к а з а т е л ь с т в о.

По определению 3 субоптимальное управление удовлетворяет условию (4.1), а следовательно и необходимым условиям безусловного экстремума (4.2) [80]. Формулу (4.3) нетрудно получить непосредственным дифференцированием соотношения (1.15) по sj приu(t) = ũ(t, s), используя лемму 1 и результаты главы 2, в частности, формулу (2.16). Функции m, K, M, λ, γ, удовлетворяющие условиям (2.9)(2.11),(2.4)-(2.7) при данном u(t) = ũ(t, s) определены в силу леммы 4.

На основе полученного результата легко формулируется градиентнаяпроцедура синтеза субоптимального управления, соответствующая численному методу раздела 2.5.Алгоритм поиска субоптимального управления.Ш а г 1. Произвольным образом или из дополнительных соображенийзадать θ > 0 – шаг градиентного метода, ε1 , ε2 – требуемые максимальные погрешности приближения, порядок используемых полиномов, s(0) –начальную точку приближения, и положить номер итерации k = 0, количество успешных итераций i = 0.Ш а г 2. Решить (численно) задачи Коши сперва в прямом, а затем и в обратном времени для системы уравнений (2.9), (2.10), (2.4)-(2.6)с условиями (2.11), (2.7), используя управление u(t) = ũ(t, s(k) ).Ш а г 3.

Вычислить значение критерия J (k) по формуле (2.8). Если k = 0, перейти к шагу 5. В противном случае проверить выполнениеусловия J (k) < J (k−1) : если условие выполнено, увеличить i на единицуи перейти к шагу 4, иначе положить i = 0, s(k) = s(k−1) , уменьшить θ76вдвое, уменьшить k на единицу и перейти к шагу 6.Ш а г 4. Если i = 2, увеличить θ вдвое, положить i = 0.ˆ j по формуле (4.3).Ш а г 5. Для всех j = 1, N вычислить ∂ J/∂sШ а г 6. Вычислить величину ||∇I|| по формулеN ˆX ∂ J (k) ||∇I|| =(s ) ∂sjj=1(4.4)и проверить выполнение условий ||∇I|| < ε1 , θ < ε2 : если любое из условий выполнено, искомое значение s положить равным s(k) , u(t) = ũ(t, s)и закончить расчет, иначе вычислить s(k+1) по формуле(k+1)sj=(k)sj∂ Jˆ (k)−θ(s ), j = 1, N ,∂sj(4.5)и перейти к шагу 7.Ш а г 7. Увеличить k на единицу и перейти к шагу 2.4.3.Субоптимальное управление квазилинейными системамис информационными ограничениямиВ данном разделе мы будем рассматривать задачу (3.1)-(3.2) и в со-ответствии с определением 3 и результатами главы 3 строить для неё субоптимальную стратегию управления с информационными ограничениямивида u(t, x) = −(P̃ (t, s)x + L̃(t, s)).

Здесь, как и в главе 3, будем считать,что информационные ограничения учтены заранее тождественным занулением соответствующих элементов матрицы P (t) = P̃ (t, s), и для этихэлементов полиномы с коэффициентами sj не вводятся. В полном соответствии с предыдущим разделом можно сформулировать следующий результат.77Т е о р е м а 6.Для того чтобы стратегия управления u(t, x) =−(P (t)x + L(t)) = −(P̃ (t, s)x + L̃(t, s)) была субоптимальной, необходимо существование функций M, λ, γ, удовлетворяющих условиям (3.11)(3.14), и функций m, K, удовлетворяющих условиям (3.8)-(3.10), таких,ˆ j вычислячто выполнены соотношения (4.2), в которых значения ∂ J/∂sются по формуле∂ Jˆ∂sj (s)=Rt1 =tr (Pj0 )T (t) (E(t) + Θ(t)) P (t) − B T (t)M (t) − Π(t) − S(t) K(t) +t0T + Pj0 (t)m(t) + L0j (t)(E(t) + Θ(t)) L(t) − B T (t)λ(t) − Λ(t) ++ (E(t) + Θ(t)) P (t) − B T (t)M (t) − Π(t) − S(t) m(t) dt,(4.6)где через (·)0j обозначена производная по элементу sj .Д о к а з а т е л ь с т в о.

Формула (4.6) выводится аналогично формуле (4.3) с использованием результатов главы 3, в частности, формулы (3.7). Алгоритм поиска субоптимальной стратегии управления.Ш а г 1. Произвольным образом или из дополнительных соображенийзадать θ > 0 – шаг градиентного метода, ε1 , ε2 – требуемые максимальные погрешности приближения, порядок используемых полиномов, учестьинформационные ограничения в задаче, задать s(0) – начальную точку приближения, и положить номер итерации k = 0, количество успешных итераций i = 0.Ш а г 2. Решить (численно) задачи Коши сперва в прямом, а затем и в обратном времени для системы уравнений (3.8), (3.9), (3.11)-(3.13)с условиями (3.10), (3.14), используя P (t) = P̃ (t, s(k) ), L(t) = L̃(t, s(k) ).78Ш а г 3.

Вычислить значение критерия J (k) по формуле (2.8). Если k = 0, перейти к шагу 5. В противном случае проверить выполнениеусловия J (k) < J (k−1) : если условие выполнено, увеличить i на единицуи перейти к шагу 4, иначе положить i = 0, s(k) = s(k−1) , уменьшить θвдвое, уменьшить k на единицу и перейти к шагу 6.Ш а г 4. Если i = 2, увеличить θ вдвое, положить i = 0.ˆ j по формуле (4.6).Ш а г 5. Для всех j = 1, N вычислить ∂ J/∂sШ а г 6.

Вычислить величину ||∇I|| по формуле (4.4) и проверитьвыполнение условий ||∇I|| < ε1 , θ < ε2 : если любое из условий выполнено,искомое значение s положить равным s(k) , u(t, x) = −(P̃ (t, s)x + L̃(t, s))и закончить расчет, иначе вычислить s(k+1) по формуле (4.5) и перейтик шагу 7.Ш а г 7. Увеличить k на единицу и перейти к шагу 2.Разработанный в этом разделе численный метод синтеза субоптимальных стратегий управления с информационными ограничениями применяется в задаче управления двухзвенным механическим манипулятором(раздел 5.1).4.4.РезультатыСформулировано понятие субоптимального управления квазилиней-ной стохастической системой и получены следующие результаты:1) сконструированы необходимые условия субоптимальности и разработан численный метод поиска субоптимального управления в задаче оптимизации квазилинейной стохастической системы, нелинейной по управлению;792) сконструированы необходимые условия субоптимальности и разработан численный метод поиска субоптимальной стратегии управленияв задаче оптимизации квазилинейной стохастической системы с информационными ограничениями.Результаты главы частично опубликованы в работе [66].805.

Решение задач оптимизации механических системПятая глава диссертации посвящена описанию комплекса программ,разработанного в процессе диссертационного исследования, и решению ряда прикладных задач оптимизации процессов управления.Раздел 5.1 содержит общие сведения о компьютерной программе, решающей численные задачи поиска оптимального и субоптимального управления квазилинейными системами с информационными ограничениями инелинейными по управлению системами, а также её функциональное назначение, основные характеристики и логическую структуру. В последующих разделах приведены примеры использования данного программногообеспечения в практических приложениях.В § 5.2 рассматривается задача оптимального управления двухзвенным механическим манипулятором, а в разделе 5.3 приводится решениезадачи оптимальной стабилизации спутника с упругой штангой.5.1.Комплекс программ для поиска управленияАлгоритмы, описанные в разделах 2.5, 3.4, 4.2, 4.3, требуют на вто-ром шаге численного решения задач Коши для вычисления функцийm(t), K(t), γ(t), λ(t), M (t).

В связи с этим возникла необходимость разработки программного обеспечения для реализации каждого из этих алгоритмов.81Несмотря на то, что все алгоритмы обладают общей структурой, имеются существенные различия в записи системы дифференциальных уравнений для квазилинейных систем с нелинейными коэффициентами в главе 2 и квазилинейных систем с информационными ограничениями в главе 3.Точно также имеются существенные различия в процессе формированияи вычисления вектора неизвестных при поиске оптимального управленияв главах 2, 3 и субоптимального управления в главе 4. В силу этих причинбыло разработано четыре обособленных программных модуля для реализации каждого из алгоритмов.Комплекс программ создавался в основном для проверки и возможной корректировки полученных теоретических результатов.

В этом случае помимо необходимости обеспечить удобство ввода начальных данныхи вывода полученных числовых значений на анализ, ключевым критериемпри выборе инструмента разработки программного обеспечения становится необходимость обеспечить удобство и высокую скорость корректировкиисходного кода. Чтобы удовлетворить этим требованиям, для создания программного обеспечения была выбрана система компьютерной математики(СКМ) «Maple». Она содержит широкий набор инструментов для реализации численных процедур высокой сложности и в то же время отличаетсявозможностью активного использования символьных вычислений, которыесущественным образом ускоряют процесс записи и редактирования исходного кода.Функциональное назначение.

Комплекс программ предназначен дляпоиска оптимального и субоптимального управления в квазилинейных системах с информационными ограничениями и нелинейных по управлению82системах по заданным начальным данным, моделирования траекторий системы в процессе реализации найденного управления, а также для сохранения полученных числовых данных и построения различных графиков.Основные характеристики.