Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация квазилинейных динамических стохастических систем диффузионного типа, нелинейных по управлению)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»(МАИ)на правах рукописиЦарьков Кирилл АлександровичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕИ ОПТИМИЗАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХСТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА,НЕЛИНЕЙНЫХ ПО УПРАВЛЕНИЮСпециальности 05.13.18 — «Математическое моделирование,численные методы и комплексы программ»,05.13.01 — «Системный анализ,управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)»ДИССЕРТАЦИЯна соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук, профессорХрусталев Михаил МихайловичМосква, 20172ОглавлениеСписок основных обозначений4Введение51 Оптимизация стохастических систем диффузионного типа 261.1 Постановка задачи оптимального программного управлениястохастическими системами диффузионного типа .

. . . . .271.2 Достаточные условия оптимальности . . . . . . . . . . . . .291.3 Функционал Лагранжа–Кротова . . . . . . . . . . . . . . . .311.4 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332 Оптимизацияквазилинейныхсистемснелинейнымипо управлению коэффициентами342.1 Постановка задачи оптимального управления квазилинейными динамическими стохастическими системами, нелинейными по управлению . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .352.2 Функционал Лагранжа–Кротова . . . . . . . . . . . . . . . .372.3 Улучшение процесса управления . . . . . . . . . . . . . . . .402.4 Необходимые условия оптимальности . . . . . . . . . . . . .452.5 Численный метод поиска оптимального управления . . . . .462.6 Модельный пример . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .492.7 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5933 Оптимизация квазилинейных систем при неполной информации о состоянии603.1 Постановка задачи оптимального управления квазилинейными динамическими стохастическими системами с информационными ограничениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613.2 Синтез линейного регулятора . . . .

. . . . . . . . . . . . . .633.3 Необходимые условия оптимальности . . . . . . . . . . . . .663.4 Численный метод синтеза оптимальной стратегии управления 693.5 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .704 Субоптимальное управление квазилинейными системами724.1 Формулировка понятия субоптимального управления . . . .724.2 Субоптимальное управление квазилинейными системами,нелинейными по управлению . . . . . .

. . . . . . . . . . . .744.3 Субоптимальное управление квазилинейными системамис информационными ограничениями . . . . . . . . . . . . . .764.4 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785 Решение задач оптимизации механических систем5.1 Комплекс программ для поиска управления . . . . . . . . . .80805.2 Задача оптимального управления двухзвенным манипулятором 855.3 Задача стабилизации спутника с упругой штангой . .

. . . .955.4 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Заключение104Литература1064Список основных обозначенийRr – r - мерное евклидово пространство.T = [t0 ; t1 ] – интервал времени функционирования динамической системы, моменты времени t0 и t1 заданы.T0 – произвольное множество нулевой меры Бореля из T .x ∈ Rn – вектор состояния системы.u ∈ Rm – вектор управления.w(·) – ν-мерный стандартный винеровский процесс.x → p(t, x) – плотность распределения вероятности состояния в момент t.x → p0 (x) = p(t0 , x) – заданная начальная плотность распределения.C 2 (Rn ) – пространство дважды непрерывно дифференцируемых функцийна Rn .Cp2 (Rn ) ⊂ C 2 (Rn ) – множество дважды непрерывно дифференцируемыхплотностей распределения вероятности на пространстве Rn ; – символ, означающий полное завершение доказательства.5ВведениеВ настоящее время существует обширный класс практических задач,связанных с управлением динамическими системами в условиях неполноты информации о положении в фазовом пространстве.

Такая неполнотаинформации может быть обусловлена ограничениями, накладываемымина измерительные устройства вследствие реализации специальных инженерных решений или вследствие возникновения технических неисправностей произвольного характера. Возможности управления этими системамисущественно зависят от той информации, которая может быть полученапутём измерения и обработки наблюдений.К таким задачам относятся любые практические задачи, связанныес высоким риском возникновения технических неисправностей измерительных устройств, например, задачи оптимального управления механическими манипуляторами, которые применяются для перемещения грузовна космических станциях, обследовании внешней поверхности летательныхаппаратов, взаимодействии с оборудованием в безвоздушном пространстве,выполнении различных функций при работе на поверхности Земли, под водой и т.д. Кроме того, к ним относятся задачи управления пико- и наноспутниками, для которых установка высокоточных измерительных системне является эффективной ввиду существенного увеличения массы, выводимой на орбиту.

Отдельно стоит отметить задачи гидродинамическогоуправления на основе агрегатов струйной техники, которым в последнее6время уделяется повышенное внимание в контексте конструирования высоконадёжных систем управления критически важными объектами.Особенное значение вопросы управления при неполной информацииприобретают в том случае, когда динамическая система функционируетв условиях неопределённых внешних возмущений, которые по тем илииным причинам могут быть охарактеризованы как случайные процессы.Такая ситуация позволяет применить для математического моделированиярассматриваемой динамической системы стохастические дифференциальные уравнения диффузионного типа и поставить задачу оптимизации стратегии управления с неполной обратной связью. Дальнейшие результаты,отыскиваемые путём решения поставленной задачи оптимального управления, существенным образом зависят от класса полученного стохастическогодифференциального уравнения и соответствующей динамической системы,которую оно описывает.

Если в случае линейных стохастических системсоотношения для нахождения оптимальных линейных регуляторов широко известны, то в общем нелинейном случае могут быть записаны толькоаналитические соотношения, которым должно удовлетворять оптимальноеуправление, а не конкретные равенства или численные процедуры его поиска. Однако класс линейных стохастических систем неприменим для описания многих процессов управления из ряда практических приложений,указанных выше. В частности, линейные системы не позволяют учитывать,например, мультипликативные возмущения, которые могут возникать приреализации управляющих воздействий.Таким образом, весьма актуальными являются получение аналитических результатов, построение численных методов и разработка комплекса7программ для решения задач оптимизации процессов управления такимистохастическими системами, которые достаточно реалистично описываютширокий спектр встречающихся на практике проблем, и в то же время позволяют получить конструктивные соотношения и алгоритмы поиска оптимального решения по аналогии с линейными стохастическими системами.Если подходящий класс систем подобрать удаётся, то отдельным вопросомпри этом становится проблема реализации полученной стратегии управления, так как она может иметь достаточно сложную структуру или не удовлетворять заданным техническим требованиям.

Простая и известная наперёд структура функции управления является обязательным критериемдля её успешной реализации на управляющем устройстве жёсткой фиксированной конструкции, например построенной на основе струйных технологий. В связи с этим возникает необходимость дополнительного исследования возможности синтеза оптимального управления в заранее суженномклассе функций, удобных в реализации. Такое управление предлагаетсядалее называть субоптимальным.Отправной точкой исследования являются результаты, полученныеМ.М.

Хрусталёвым в [1, 2] при разработке метода функций Ляпунова–Лагранжа, являющегося развитием метода функций В.Ф. Кротова [3] нанелинейные стохастические управляемые системы, а также результаты, полученные Д.С. Румянцевым и М.М. Хрусталёвым при конкретизации этого метода на случай так называемых квазилинейных стохастических систем с информационными ограничениями [4, 5].

Здесь и далее в работе подинформационными ограничениями (неполнотой информации) понимаетсяаприорная зависимость каждой из компонент вектора управления от сво-8его набора компонент вектора состояния, если не оговорено иное. Такаятерминология была введена в работе [1] и затем использовалась в [2, 4, 5].В работах [1, 2] метод функций Ляпунова–Лагранжа формулируетсяи применяется с целью получения условий равновесия по Нэшу в стохастических нелинейных дифференциальных играх при неполной информированности игроков о состоянии.

В частном случае, когда имеется всего одинигрок, условия равновесия становятся условиями оптимальности в задачеоптимизации стратегии управления диффузионным процессом с информационными ограничениями. Соответствующие результаты для нелинейныхв общем случае управляемых систем сформулированы в [5] и конкретизированы в [4] для линейных систем, правые части которых содержат линейные по состоянию и управлению слагаемые в матрице диффузии.

Такиесистемы в работах [4, 5] предлагается называть квазилинейными. В диссертационной работе дополнительно рассматривается более общий случайквазилинейных систем, коэффициенты сноса и диффузии которых могутбыть нелинейными функциями вектора управления. В связи с этим квазилинейные системы, содержащие линейные по управлению коэффициенты,будем в дальнейшем называть обыкновенными квазилинейными системами. Различные отечественные и зарубежные авторы также применяют дляих наименования такие термины, как «линейные системы с мультипликативными возмущениями» [10, 11, 12], «linear systems with state- and controldependent noise» [13, 14], «билинейные системы» и ряд других.Сам термин «квазилинейные стохастические системы», понимаемыйв указанном смысле, был введён Ю.И. Параевым в его работе [6] и представляется достаточно удачным ввиду того, что он подчёркивает суще-9ственные отличия от широко изученных линейных стохастических систем,наиболее явно проявляющиеся на практике.

Одними из первых работ, в которых исследовались задачи оптимизации стратегий управления квазилинейными стохастическими системами с непрерывным временем и ихобобщениями, были работы Н.Н. Красовского [7, 8, 9], А.Б. Куржанского [10], Ю.И.