Автореферат (Математическое моделирование аномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных уравнений и дискретно-элементных моделей)

На правах рукописиСластушенский Юрий ВикторовичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕАНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДИСКРЕТНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙСпециальность: 05.13.18 – Математическое моделирование,численные методы и комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква – 2013Работавыполненанакафедревычислительнойматематикиипрограммирования ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)».Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессорРевизников Дмитрий ЛеонидовичОфициальные оппоненты:Черкасов Сергей Гелиевич,доктор физико-математических наук,профессор, главный научный сотрудникГНЦ ФГУП «Исследовательский центримени М.В.

Келдыша»Рыбин Владимир Васильевич,кандидат технических наук, доцент,доцент кафедры математическойкибернетики ФГБОУ ВПО «Московскийавиационный институт»Ведущая организация:ФГБУН «Институт прикладнойматематики им. М.В. Келдыша Российскойакадемии наук»Защита состоится «01» марта 2013 года в 10 часов 00 минут на заседаниидиссертационного совета Д 212.125.04 при ФГБОУ ВПО «Московскийавиационный институт (национальный исследовательский университет)» поадресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.

4.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО«Московский авиационный институт (национальный исследовательскийуниверситет)».Автореферат разослан «__» ________ 2013 г.Учёный секретарьдиссертационного совета Д 212.125.04,кандидат физико-математических наукСеверина Н.С.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы.Диссертационнаяработанаправленанасозданиеаппаратаматематического моделирования процессов аномальной диффузии. В отличиеот классической диффузии, характеризующейся линейной зависимостьюсреднего квадрата смещения частиц от времени, в аномальных процессахнаблюдается отклонение от линейного закона и появление дробного показателястепени. Такая ситуация характерна для сложно структурированныхнеоднородных сред, когда существенными становятся эффекты долгосрочнойпамяти и/или пространственной нелокальности.

В качестве примеров систем, вкоторых наблюдается корреляция или когерентность движения частиц, можнопривести пористые среды, среды с фрактальной структурой, аморфныеполупроводники, аэрогели и т.д. Рассматриваемый класс процессов вызываетвсё больший интерес у исследователей в связи с обнаружением аномальныхсвойств у ряда наноматериалов и наносистем. Разработка эффективных средствкомпьютерного моделирования является важнейшей составляющей научнойдеятельности в этом новом междисциплинарном направлении.Целью работы является создание методов и средств математическогомоделирования аномальной диффузии в сложно структурированных средах.Для этого необходимо решение следующей группы задач: Анализ подходов к моделированию аномальной диффузии в средах сразличной структурой. Разработка и реализация алгоритмов численного решения дробнодифференциальных уравнений. Разработка и реализация алгоритмов дискретно-элементногомоделирования процессов аномальной диффузии. Проведение вычислительного эксперимента по моделированиюдиффузионных процессов в полигональных каналах и неоднородныхсредах.

Анализ типа и характеристик диффузии. Разработка методов согласования микро- и макромасштабногоописания процессов аномальной диффузии.Научная новизна.Исследованы вопросы моделирования аномальной диффузиимикроуровне с использованием метода дискретных элементов и3нанамакроуровне с помощью методов дробно-дифференциального исчисления.Предложен алгоритм определения параметров макроскопической модели поданным микромасштабного моделирования. Тем самым установлена связьмежду различными масштабами в описании аномальной диффузии.Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы решениядифференциальных уравнений с дробными производными. Отличительнойчертой построенных конечно-разностных схем является повышенный порядокаппроксимации, что обеспечивает достаточно высокую точность приотносительно низких вычислительных затратах.

Предложена эффективнаяреализация метода случайного блуждания, учитывающая наличие временнойаномалии и конвекции, обоснована корректность предлагаемого метода.Проведено численное моделирование пространственно-временнойэволюции частиц в полигональных каналах, исследованы возникающиедиффузионные процессы, на основе вычислительных экспериментов показановлияние профиля канала на характеристики установившейся диффузии.Выявлены механизмы возникновения комбинированного типа аномальнойдиффузии.Проведено численное моделирование пространственно-временнойэволюции частиц в средах с неоднородной структурой, исследовано влияниемикромасштабных параметров среды на характеристики и тип установившейсядиффузии.

Выделены различные виды аномалий: пространственная, временнаяи комбинированная, определены условия их возникновения.Достоверность и обоснованность.Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходедиссертационного исследования, обеспечивается сопоставлением между собойчисленных и аналитических решений тестовых задач, численных решений,полученных независимыми друг от друга способами, а также хорошейсогласованностью результатов проведённых вычислительных экспериментов сиспользованием дискретно-элементных моделей и решений дробнодифференциальных уравнений.Практическая ценность.Разработанные в диссертации средства математического моделированияимеют высокую значимость с точки зрения перспектив их применения дляисследования диффузионных процессов в сложно структурированных средах.При этом создаётся теоретическая основа для исследования свойств и создания4конструкционных (в том числе – нанокомпозитных) и теплозащитныхматериалов нового поколения, предназначенных для использования вавиационно-космической технике.

Разработанные вычислительные алгоритмыобладают высоким потенциалом к распараллеливанию вычислений ипредставляют значительный интерес для специалистов в областиматематического моделирования. Результаты диссертационного исследованиямогут быть использованы и при составлении образовательных курсов поматематическому моделированию и численным методам.Апробация работы.Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующихроссийских и международных форумах: VI Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов имолодых учёных «Технологии Microsoft в теории и практикепрограммирования», 1-2 апреля 2009 г., Москва. VIII Международная конференция по неравновесным процессам всоплах и струях (NPNJ`2010), 25-31 мая 2010 г., Алушта. XVII Международная конференция по вычислительной механике исовременным прикладным программным системам (ВМСПСС`2011), 25-31 мая2011 г., Алушта. Московскаямолодёжнаянаучно-практическаяконференция«Инновации в авиации и космонавтике – 2012», 17-20 апреля 2012 г., Москва. IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплахи струях (NPNJ`2012), 25-31 мая 2012 г., Алушта.Публикации.По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи в научныхжурналах из перечня ВАК РФ для представления основных научныхрезультатов диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидатанаук.

Одна статья принята к публикации. Список публикаций приведён в концеавтореферата.Структура и объём работы.Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и спискалитературы. В работе содержится 13 таблиц, 26 рисунков и 107библиографических ссылок. Общий объём работы составляет 105 страниц.5СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении диссертационной работы рассмотрены подходы кмоделированию аномальной диффузии, дан краткий обзор понятий дробнодифференциального исчисления, отмечено его практическое приложение кпредмету исследования.

Приведено обоснование актуальности темыдиссертационной работы, сформулированы цели и задачи, отмечена научнаяновизна, представлены данные по апробации работы и перечислены авторскиепубликации по теме.Первая глава работы посвящена математической модели одномернойаномальной диффузии.Математический аппарат для описания процессов аномальной диффузиина макроуровне (в приближении сплошной среды) основан на уравнениях вчастных дробных производных.

При этом возможно появление какпространственных, такиэволюционныхдробно-дифференциальныхоператоров.Одномерная по пространству математическая модель аномальнойдиффузии представляется следующим дробно-дифференциальным уравнением:  c ( x, t )  c ( x, t )D,t x (1)где c(x,t) – объёмная концентрация диффундирующих частиц, D – коэффициентдиффузии (D > 0), α и γ – параметры, характеризующие порядок дробныхпроизводных по пространству и времени соответственно, из физическихсоображений следуют условия 0    1 и 1    2 .  c ( x, t )Здесь выражениепредставляет собой левостороннюю дробнуюt производную,а  c ( x, t )x –двустороннюю(взвешеннаякомбинациялевосторонней и правосторонней):  c( x, t )  c( x, t )  c( x, t )CC,x x x (2)где С+ ≥ 0, С– ≥ 0 и С+ + С– = 1.Необходимые односторонние дробные производные произвольныхпорядков α и γ определяются формулами Римана-Лиувилля для дробнойпроизводной Лиувилля и Вейля:6  c( x, t )   c( x, t )1d [ ]1Г ([ ]  1   ) dt [ ]1t t   c( x, t )1d [ ]1Г ([ ]  1   ) dx [ ]1x   c( x, t )(1)[ ]1d [ ]1Г ([ ]  1   ) dx [ ]1x x (x  )t (t   )[ ]c( x, )d ,(3)[ ]c( , t )d ,(4)[ ]c( , t )d ,(5) (  x)xДиффузия рассматривается на всём одномерном пространстве (решаетсязадача Коши).

В качестве начального условия может быть задана любаянеотрицательная функция из пространства L1 (;) , т.е. c(x,0) = f(x) ≥ 0, f ( x)dx  C0  , в том числе возможно и c(x,0) = C0∙δ(x). В последнем случаечасто полагают C0 = 1.Параметр γ в уравнении (1) отвечает за появление субдиффузии – при  2 уравнение (1) описывает аномальную диффузию с зависимостью r 2 ~ t  .Параметр α отвечает за появление супердиффузии – при   1 уравнение (1)описывает аномальную диффузию с зависимостьюr 2 ~ t 2 /  .

Комбинацияобоих параметров в уравнении (1) может описывать аномальную диффузию какв режиме субдиффузии, так и в режиме супердиффузии r 2 ~ t p 2 /  (0<p<2) – взависимости от того, какой механизм является преобладающим. Очевидно, чтов предельном случае α = 2, γ = 1 уравнение (1) описывает классическуюдиффузию.В силу сложности дробно-дифференциальных уравнений нахождениеаналитических решений рассматриваемого класса задач затруднительно.Поэтому в работе применялись численные методы решения задачи.Использовались два сорта методов: метод конечных разностей и методслучайного блуждания.Конечно-разностные методы решения дробно-дифференциальныхуравнений типа (1) основаны на аппроксимации дробных производных накоординатных сетках с шагами h и τ по пространству и времени соответственнос использованием формул Грюнвальда-Летникова:  c( x, t )11lim Г ( )  0 tГ (k   ) Г (k  1) c( x, t  k ) ,(6)k 0для дробной производной по времени,  c( x, t )11lim h0Г ( )xhГ (k   ) Г (k  1) c( x  kh, t ) ,k 0для левосторонней дробной производной по пространству, и7(7)  c( x, t )11lim Г ( ) h0 hxГ (k   ) Г (k  1) c( x  kh, t ) ,(8)k 0для правосторонней дробной производной по пространству.Пусть пространство L  x  R и время 0  t  T разбиты пространственновременной сеткой xi  L  ih, h  0 , i  0,1,2,..., K и t n  n ,  0 , n  0,1,2,..., N .Тогда, как следствие формул (6) – (8), дробные производные уравнения(1) будут аппроксимированы в узлах сетки (xi, tn) следующим образом:  c( x i , t n )t   c( xi , t n )x   c( xi , t n )x   c( x i , t n )x где g  ,k   c( xi , t n )t i 11h g1hK i 1k 0 C ,k gk 01 gk 0,kc( xi , t n  k )  O( ) ,(9)c( xi  k 1 , t n )  O(h) ,(10)c( xi  k 1 , t n )  O(h) ,(11),k  c( xi , t n )x  C   c( xi , t n )x .(12)Г (k   )– нормированные веса Грюнвальда–Летникова.Г ( ) Г (k  1)Изложенный подход позволяет строить явные и неявные конечноразностные схемы для дробно-дифференциальных уравнений.