Автореферат (Математическое моделирование аномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных уравнений и дискретно-элементных моделей), страница 3

4. Распределение концентрации диффундирующихдляпрострельногочастиц для q = 3 (сплошная кривая) и решение уравнениядвижения частиц (α < 2), (выделено маркерами) в моменты времени t = 0.4T, t = 0.7Tтак и для попадания и t = T (пунктирная кривая отражает распределение Гаусса)частиц в ловушки (γ < 1),однако преобладающей оказывается первая тенденция.Таким образом, представленные в главе результаты вычислительныхэкспериментов демонстрируют, что характеристики установившегосядиффузионного режима существенно зависят от структуры препятствий вканале. С целью установления взаимосвязи микроскопического имакроскопического описания аномальной диффузии проведён подборпараметров соответствующего дробно-дифференциального уравнения иустановлен характер возникающих аномалий.В третьей главе исследуются процессы аномальной диффузии в средах снеоднородной структурой.Какпоказывают физическиеэкспериментыпо наблюдениюдиффузионных процессов в твёрдых телах, у различных классов материаловнаблюдаются каналы ускоренной диффузии (по границам зёрен идислокациям).

Действительно, в отличие от жидкостей и газов, вкристаллических твёрдых телах реализуется несколько структурно различныхканалов, по которым может проходить диффузия атомов. Помимо объёмнойдиффузии по решётке, возможна диффузия по поверхности, контролируемаяразличными атомными дефектами, и частоты атомных скачков вдольдислокаций, границ зёрен и на свободных поверхностях много выше, чем врешётке, что приводит к возникновению супердиффузии.

Эти соображения14легли в основу для следующего подхода.Будем использовать модель диффузионного переноса, согласно которойперемещениедиффундирующихчастицосуществляетсявследствиевзаимодействия с окружающей средой и с границами области. Диффузия попрежнему рассматривается в узкой, бесконечной в продольном направлениидвумерной области (x, y), ограниченной по ширине зеркально отражающимистенками (канал с шириной H).

Окружающая среда описываетсярасположением и динамикой её структурных элементов (СЭ), т.е. частиц среды.Предполагается, что частицы среды создают потенциальное силовое поле.В исследуемой модели используется потенциал Леннарда-Джонса: d 12  d  6 Ф(r )  4 E        , r   r (20)где r – расстояние от диффундирующей частицы до структурного элементасреды, E и d – параметры потенциала (глубина потенциальной ямы и точканулевого потенциала).Также предполагается, что движение СЭ независимо, т.е. их масса многобольше массы диффундирующих частиц, что позволяет считать их неподверженными заметному обратному взаимодействию, т.е. неподвижными.Потенциальное силовое поле используется только с целью определениянаправления движения частицы, а её кинетическая энергия поддерживаетсяпостоянной и равной стартовой. Вследствие такой нормировки скоростьдиффузии сохраняется постоянной, а конкретные значения массы частицы m ипараметра потенциала E не влияют принципиально на итоговую диффузионнуюкартину и могут быть приняты некими константами.Все частицы ансамбля изначально располагаются в центре канала x = 0 сравномерным распределением по его ширине HH y  .

Модуль скорости22движения всех диффундирующих частиц одинаков и постоянен. Стартовоенаправление движения частицы случайно, все направления равновероятны.В качестве примера рассмотрим регулярное начальное расположениеструктурных элементов среды, т.е. с постоянными заданными интервалами попространству (по длине hx и ширине hy), когда расположение СЭ зафиксированои симметрично относительно оси x в канале. Пусть hx  hy  d ,   0 .Ширина канала H задана в единицах hy дискретным параметром числарядов СЭ в канале B: H  Bh y  Bd , B  1 .Исследуется диффузия в канале с несколькими рядами СЭ (B) принебольших значениях λ (при которых наблюдается нормальная диффузия), но15при этом в нём сделаны вырезы, т.е.

несколько рядов (A < B) убраны из центраканала. Отсутствие центральных рядов СЭ приводит к супердиффузии,пространственную аномалию можно наблюдать, например, при B = 5, A = 3, гдепрямое моделирование дает p ≈ 1.13. Этот процесс можно описать уравнением(1) с дробной производной по пространству порядка α = 1.84.На этом примере также можно отдельно отметить наличие «тяжёлых»степенных хвостов, характерных именно для супердиффузии (рис.

5).Рис. 5. Распределение концентрации диффундирующих частиц для B = 5, A = 3 (синяя кривая)и решение уравнения (красная кривая) в моменты времени t = 0.6T, t = 0.8T и t = T(пунктирная кривая отражает распределение Гаусса)Таким образом, в третьей главе установлено значительное влияниемикромасштабных параметров модели на характер наблюдаемой диффузии, поданным дискретно-элементного моделирования определены параметры дробнодифференциального уравнения, что даёт связь между различными масштабамив описании аномальной диффузии.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ1.Разработаны методы математического моделирования процессованомальной диффузии в сложно структурированных средах. Реализованы дваподхода к описанию аномальной диффузии – макроскопический, основанныйна использовании дробно-дифференциальных уравнений, и микроскопический,предполагающий прямое моделирование динамики частиц и столкновительныхпроцессов в системе.

Предложен алгоритм идентификации параметров дробнодифференциального уравнения по данным, поступающим с микроскопическогоуровня, что позволяет связать микроскопический и макроскопический подходы.162.Построено семейство конечно-разностных схем повышенногопорядка точности для решения дробно-дифференциальных уравнений. Наоснове анализа эффективности методов повышенного порядка точности спозиций критерия «точность – вычислительные затраты» установлено, чтопредложенное семейство алгоритмов превосходит конечно-разностные схемыпервого порядка.3.Предложена модификация метода случайного блужданияприменительно к решению дифференциальных уравнений, содержащихдробные производные по пространственной и временной координатам.Показано, что при наличии временной аномалии с увеличением числарассчитываемых слоёв метод случайного блуждания при той же точностиначинает превосходить по скорости конечно-разностные методы.4.Создан комплекс программ для моделирования процессованомальной диффузии на микро- и макроуровнях.

Осуществлена программнаяреализация дискретно-элементных моделей с различным характероммежчастичного взаимодействия и алгоритмов численного решения дробнодифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных схемповышенного порядка точности и метода случайного блуждания.Разработанноепрограммноеобеспечениепозволяетмоделироватьпространственно-временную эволюцию частиц в сложно структурированныхсредах и осуществлять подбор параметров соответствующего дробнодифференциальногоуравненияпорезультатаммикромасштабногомоделирования.Программныйкомплексоснащёнсредствамираспараллеливания вычислений и визуализации результатов расчётов.5.На основе разработанных средств математического моделированияпроведено исследование аномальной диффузии частиц в полигональныхканалах и неоднородных средах. Выявлены основные закономерности влиянияхарактерных параметров среды на возникновение режимов супердиффузии исубдиффузии.

Проведено разделение вкладов баллистического (прыжкового) иловушечного механизмов в итоговый характер диффузии, определены условияпроявления пространственной, временной и комбинированной аномалий.Показана эквивалентность микроскопического и макроскопического подходовк моделированию аномальной диффузии.17ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИСтатьи в научных журналах из перечня ВАК РФ1.Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Применение дробнодифференциального исчисления для описания аномальной диффузии.

// ВестникМосковского авиационного института, т. 18, № 4, 2011 г. – М.: Изд-во МАИ,2011. – 136 с., стр. 76–82.2.Сластушенский Ю.В. Модель случайного блуждания дляуравнения аномальной диффузии. // Научно-технический вестник Поволжья,№ 5, 2011 г. – Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2011. – 285 с.,стр. 242–246.3.Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Численное моделированиеаномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале.

//Математическое моделирование, № 5, 2013 г., стр. 3–14. (статья принята кпубликации).Материалы статей и научных конференций4.СластушенскийЮ.В.Алгоритмычисленногорешениядифференциальных уравнений с дробными производными. // ТехнологииMicrosoft в теории и практике программирования: Тр.

VI Всерос. конф.студентов, аспирантов и молодых учёных. – М.: Вузовская книга, 2009. – 200 с.,стр. 179–180.5.РевизниковД.Л.,СластушенскийЮ.В.Подходыкмоделированию аномальной диффузии на микро- и макроуровне. // МатериалыVIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах иструях (NPNJ`2010). – М.: МАИ-ПРИНТ, 2010, – 624 с., стр. 142–145.6.Ревизников Д.Л., Петухов А.А., Сластушенский Ю.В. Описаниеаномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных уравненийи метода дискретных элементов.

// Материалы XVII Международнойконференции по вычислительной механике и современным прикладнымпрограммным системам (ВМСПСС`2011). – М.: МАИ-ПРИНТ, 2011, – 832 с.,стр. 601–602.7.Сластушенский Ю.В. Подходы к моделированию процессованомальной диффузии. // Инновации в авиации и космонавтике – 2012. Сборниктезисов докладов. – М.: ООО «Принт-салон», 2012. – 334 с., стр. 250–251.8.Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Моделированиеаномальной диффузии на примере модели бильярдного газа в канале. //Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам всоплах и струях (NPNJ`2012).

– М.: Изд-во МАИ, 2012. – 656 с., стр. 512–515.18.