Диссертация (Масштабозависимые модели стержней и пластин), страница 3

Таким образом, выполняется условие полного контакта среды награнице по перемещениям. В соответствии с данным подходом граничныеусловия отличаются от классических тем, что содержат в себе поверхностныенапряжения. При этом упругие поверхностные постоянные не связаны собъемными характеристиками среды, а представляют из себя новые физическиепостоянные, зависящие по своему физическому смыслу только от характеристикмежатомных взаимодействий на поверхности среды.Обобщённый закон Лапласа-Юнга, учитывающий скачок и в нормальныхнапряжениях и в касательных напряжениях на границе сред, был предложен вработе [28].n  [ ]  n   : kP  [ ]  n   SP  I (2)  n  n - тензор проекции на поверхность контакта, I (2) - определяющийтензор второго порядка в трёхмерном пространстве, k – тензор кривизн.Вработах[29,30]вводятсяопределяющиесоотношениямеждунапряжениями и деформациями на поверхности в виде тензорных соотношений: ij   0  Sijnm nm [29] и  ij  Sijnm nm [30]Где S ijnm - тензор поверхностных модулей.Вслучаеизотропнойзаписываются в виде [29]: ij  2  S  ij  S  iiповерхностиопределяющиесоотношения12В соответствии с классической теорией упругости тензор упругихповерхностных модулей включает в себя два физических модуля, которыеотвечают за деформации сдвига и растяжения (соответственно,  S и S ).Из этого следует, что на поверхности могут присутствовать как деформациирастяжения (поверхностное натяжение), как было в термодинамической теорииповерхности, так и деформации сдвига.

В работе [31] предлагается более полныйвариант определяющих соотношений на поверхности. В данной работе тензорповерхностных модулей упругости для изотропной поверхности включает в себятри постоянные, которые отвечают за деформации изгиба, сдвига и растяженияповерхности.Существует и четвертый поверхностный параметр, который возникает всоответствии с несимметричной теорией упругости (среда Коссера), и отвечает заспиновые деформации. Поверхностные модули в соответствии со свойствамиконтактирующихповерхностеймогутбытьиположительными,иотрицательными [29].

Одной из важных задач в механической теорииповерхности является вычисление или экспериментальное получение значенийповерхностных модулей. Работы [29, 32] содержат в себе примеры вычисленияповерхностных упругих модулей для свободной поверхности алюминия на основемолекулярной динамики. В работах [33-36] показан иной подход к вычислениюповерхностных характеристик.

Он основывается на том, что при переходе черезповерхность контакта характеристики межфазного слоя конечной толщины искачок в напряжениях или перемещениях определяются как разность междузначениями напряжений или перемещений на границах межфазного слоя.Физическое моделирование адгезионных свойств и попытки определить этисвойства, учитывая межмолекулярные взаимодействия, предпринимались вработах Шоркина, например, [37].Вычисление поверхностных характеристик подробно рассмотрено в работах[27, 29, 38].В 90-е годы возникает потребность прогнозирования свойств микро- инаноструктурированных сред и композитов с наноразмерными включениями13(фуллеренами, наноразмерными порами, углеродными нанотрубками и проч.).

Вэто время для решения прикладных задач широко используется теория упругостис учетом поверхностных эффектов.Использованная в работе [28] формулировка основана на введении вкачестве модифицированных граничных условий обобщённого закона ЛапласаЮнга. В работе [30] к ней добавлены определяющие физические соотношения наповерхности. Данная модель позволяет учитывать масштабные эффекты, и онанашла широкое применение при моделировании наноструктурированных сред исред с нановключениями [29, 39-44].

Масштабными параметрами модели - этоповерхностные модули, отличающиеся от физических модулей в объёме намасштаб длины [42], и кривизны, которые входят в обобщённый закон ЛапласаЮнга.В работе [45] определение эффективного модуля упругости пористогоматериала показывает зависимость эффективного модуля от размера пор приучете свойств внутренних поверхностей пор.

В классической механикекомпозитов такой результат не может быть получен, так как влияние поручитывается только через их объёмное содержание в материале. В работе [42] примоделированиикомпозитаснановключениямипоказаназависимостьмеханических свойств от масштабных параметров. В статье [44] демонстрируетсятензор Эшелби в задаче удалённого включения, погруженного в матрицу. Онвключает в себя такие масштабные параметры, как кривизны контактнойповерхности.

В [44] показано, что в отличие от классической теории упругости,при учёте поверхностных свойств, однородное напряжённое состояние вовключении при однородном внешнем поле напряжений реализуется только вслучае включений с постоянной кривизной, а именно в сферических ицилиндрических включениях.В последнее время для описания механического поведения нанообъектовприменяется обобщенная теория упругости, использующая классическую теорию,в которой не только для границ раздела, но и для поверхностей вводятсянестандартные свойства [26, 39, 46, 47, 48, 49].

При этом для аномальной14поверхностной упругости используют поверхностные определяющие уравнения,которые дополняют обычный закон Гука для объема материала, а соотношенияравновесия дополняются поверхностным аналогом – уравнениями Лапласа-Юнга.Широкое распространение данная модель получила в работах В.В. Еремеева, Н.Ф.Морозова и соавторов [22, 50-55].

М.А. Грековым и соавторами был развитматематический аппарат, который позволил свести двумерные задачи теорииупругости с дополнительными условиями на границе указанного типа кгиперинтегральным уравнениям [56-59].При этом нужно отметить, что теория поверхностных явлений историческиразвивалась для жидкостей, в которых данные явления находят яркое проявлениедаже на макроуровне.основныеПри изучении поверхностных свойств твердых телположениятеорииповерхностныхэффектовпереносятсяавтоматически, но некоторые особенности твердого тела, однако, обсуждались вработе [47] и цитированных работах выше.При взаимодействии жидкости с твердым телом и в самой жидкости намолекулярном уровне контакт происходит за счет Ван-дер-ваальсовых сил,довольно слабых и дальнодействующих.

На основе этого, обладая минимальнымнабором опытных данных, объясняются явления поверхностного натяжения иконтактного взаимодействия жидкости с твердым телом (смачивание икапиллярные явления). Контакт между атомами твердого тела осуществляется засчет ковалентного, ионного, металлического типов взаимодействия, где Ван-дерваальсовыйтипвзаимодействиевзаимодействиямеждутеламинеявляетсяопределяетсяосновным.КонтактноеВан-дер-ваальсовымвзаимодействием, а проявление поверхностной энергии и поверхностнойупругости связано со всем разнообразием существующих взаимодействий(ситуация может осложняться наличием поверхностных зарядов). При этом нетвозможности описать все многообразие поверхностных явлений в твердых телах,исходя из такого малого количества данных и предположений. В связи с этим втвердых телах гораздо чаще реализуются метастабильные состояния за счет15высоких потенциальных барьеров.

Эти состояния не соответствуют глобальномуминимуму свободной энергии для данных условий.В работе [31] впервые представлена в рамках теории Кирхгоффа модельтонких пластин с учётом адгезионных эффектов. В работе [51] дан вариантмодели, в которой учтено только поверхностное натяжение без учёта изгибныхсвойств поверхностей. В данных работах впервые отмечался существенный вклададгезионных эффектов в упругие свойства тонких пластин. В этих статьяхуказано, что при учете адгезии видоизменяется общий вид уравнений равновесиямодели [31] и цилиндрическая жёсткость пластины [31] и [51]. Адгезионныеэффекты увеличиваются с уменьшением толщины пластины и становятсясущественными для наноразмерных пластинчатых тел.В работах [54, 60] даны исследования модели теории оболочек с учётомповерхностных напряжений.

Адгезионные модули имеют размерность, котораяотличается от размерности модулей упругости в объёме (Н/м), и позволяютучитывать масштабные эффекты. В работах [61, 62] сформулирован законмасштабирования в рамках модели поверхностного натяжения. В работе [63]данный закон применен к задаче о нановлючении.В работе [32] закон масштабирования использован для нелинейнойдеформации с учётом поверхностных эффектов. В работе [64] проанализировановлияние поверхностных напряжений на деформации вблизи эллиптической порыи дано аналитическое решение этой задачи. В работе [65] к общей потенциальнойэнергии среды добавлена потенциальная энергия поверхностных деформаций идан вариант метода конченых элементов с учетом поверхностных явлений. Вданной работе смоделировано поведение металлов как для упругой, так и дляпластической зон.Поверхностные эффекты учитываются так же в рамках механикиразрушений.

В работах [66, 67] в рамках модели поверхностного натяжения даныаналитические решения задач с трещиной. При этом видно, что напряжения ввершине трещины остаются конечными. В работе [67] дан обзор публикаций,посвященных моделям с учётом поверхностного натяжения.16В работах [68, 69] дана трактовка адгезионных параметров, список которыхрасширен до 6. В них включены параметры, которые определяют межфазныевзаимодействия на поверхности в направлении нормали. Эффекты адгезиивозникают как следствие выхода полей дефектов на поверхность среды. В работах[68, 69] показано также, что адгезионные эффекты являются следствиемградиентной постановки задачи.

При этом в работах [68, 69] в моделяхучитываютсяполядефектовразличноготипаиградиентныетеорииосновываются на их последовательной постановке. Авторы данных работиспользуют вариационный подход и кинематический вариационный принцип дляпостроения и исследования моделей с учетом адгезии.Исследование волновых процессов в твердых телах с микроструктуройпредложены в работах Ерофеева, например, [70-71].Прикладные градиентные теории были разработаны первоначально в началевосьмидесятых годов для градиента пластичности [72-73] и, соответственно, в 90годах для теории упругости [74-76].