Диссертация (Масштабозависимые модели стержней и пластин), страница 2

Разработкавариационного метода построения теории масштабозависимых стержней ипластин для нелокальной градиентной теории упругости.Научная новизна работы заключается в следующем:- Построена уточненная корректная градиентная теория, установленыкритерии корректности прикладных нелокальных теорий.- Приводится модель поверхностных эффектов, являющаяся обобщениеммодели Гуртина-Мурдоха.- Устанавливается структура адгезионных модулей, дается их трактовка.5- Построена градиентная теория упругости тонких стержней и пластин сучетом поверхностных эффектов.- Проведен анализ влияния дополнительных физических параметров,связанных со свойствами поверхности, на изгибную жесткость и надинамическую изгибную жесткость стержней и пластин.Практическое значение работы.

Уточненные модели деформированияпозволяют более полно и достоверно прогнозировать поведение сверхтонкихструктур, которыми являются тонкие элементы конструкций, резонаторы,сенсорные устройства, устройства микроэлектроники и элементы измерительныхсистем (иглы атомных микроскопов), биологические системы и др. Полученные вработе результаты позволяют пересмотреть систему экспериментов и болееправильно отнестись к исследованию тонких структур. Уточнение динамическихсвойств сверхтонких систем и тонкостенных структур может представлятьинтерес, например, для задач тестирования механических свойств (деградациимеханический свойств) с помощью метода акустической эмиссии, для повышенияточности измерительных устройств.Реализация результатов работы.

Результаты, полученные в диссертации,используются в Учреждении Российской Академии Наук Институте Прикладноймеханики РАН.Достоверность результатов обеспечивается применением классических,хорошо апробированных математических методов, методов механики сплошныхсред, прикладной теории упругости: вариационного метода построения моделей,применения прямых вариационных методов и методов уравнений математическойфизики при решении тестовых задач; сопоставлением полученных в диссертациитеоретических результатов с тестовыми аналитическими решениями частныхзадач;известнымиполученныхэкспериментальнымирезультатовфизическомуданными;смыслунепротиворечивостьюявлений,связанныхсдеформированием сред.Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на 2-ойВсероссийскойнаучнойконференции«Механикананоструктурированных6материалов и систем», ИПРИМ РАН, 17-19 декабря 2013; Московскоймолодежной научно-практической конференции «Инновации в авиации икосмонавтике», Москва, МАИ, 16-18 апреля 2013; 5-ой Всероссийской научнойконференциисмеждународнымучастием «Механикакомпозиционныхматериалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред», посвященная 95летию со дня рождения академика И.Ф.

Образцова, ИПРИМ РАН, Москва, 2015г.;1-оймеждународнойконференции«Деформированиеиразрушениекомпозиционных материалов и конструкций», ИМАШ РАН, Москва, 2014 г.Публикации. Всего по теме диссертационной работы было выпущено 9публикаций, 3 из которых выходили в журналах и сборниках, определенных ВАК.Перечень публикаций приведен в конце диссертации.На защиту выносятся:-Формулировкавариационнойградиентнойтеорииупругости,учитывающей масштабные эффекты и анализ условий симметрииградиентных модулей упругости шестого ранга, вывод условийкорректности, как дополнительных необходимых условий симметрии.-Формулировкавариантовудовлетворяющихусловиюприкладныхкорректности,градиентныхтеорий,критическийанализградиентнойтеорииизвестных прикладных градиентных теорий.-Вариационнаяформулировкакорректноймасштабозависимых стержней, метод редукции функционала Лагранжапри построении уточненной теории масштабозависимых стержней,ревизиясоотношенийдляэффективнойизгибнойжесткостимасштабозависимых стержней, полученных ранее Yang, Reddy, Ma и др.-Анализ континуальной теории адгезии (поверхностных взаимодействий),обобщающей теорию Гуртина-Мурдоха, и вариационная формулировкатеории пластин с адгезионно активными лицевыми поверхностями,вывод теории масштабозависимых стержней, учитывающих градиентныеэффекты и масштабные эффекты поверхностных взаимодействий.7-Анализ решений тестовых статических задач уточненной теории тонкихстержней и качественные выводы о поправках, вносимых за счетиспользования корректных градиентных теорий по сравнению снекорректными, а также принципиальный вывод о незначительнойстепени влияния градиентных эффектов на эффективную жесткость посравнению с масштабными эффектами поверхностных взаимодействий.-Формулировка корректной градиентной теории колебаний стержней смодифицированнойкинетическойэнергией.Анализзависимостейдинамических жесткостей и собственных частот масштабозависимыхстержней от градиентных эффектов и от масштабных поверхностныхэффектов, прикладные задачи масштабозависимых пластин (задачаЛэмба) и оценка степени влияния поверхностных эффектов нарезультаты решения.-Анализсоответствиярешенийуточненнойтеориистержнейэкспериментальным данным и идентификация параметров моделей,ответственных за масштабные эффекты.Объём и структура работы.

Диссертационная работа состоит из введения,четырех глав, выводов и списка используемой литературы. Она содержит 143страницы, из них 10 занимает список использованных источников. Списокиспользуемой литературы включает 118 наименований (из них 85 на иностранномязыке).8ОБЗОР РАБОТ ПО ПРОБЛЕМЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ МАСШТАБНЫХ ИАДГЕЗИОННЫХ ЭФФЕКТОВМасштабныеэффектыфизическихсвойствдеформируемыхтелпроявляются экспериментально при изменении размеров этих тел, при ихуменьшениидонанометровогодиапазона.Например,теплопроводностьдиэлектриков связана на малых масштабах с размером структурного элемента изависит от длины свободного пробега фонона. Определение данной зависимостипри низких температурах зависит от размера структуры или расстояния междудефектами [1].В соответствии с законом Холла-Петча [2], [3], прочностные свойствапластических материалов зависят от размера зерна и при его уменьшенииизменяются в соответствии с длиной движения дислокации.

А по теорииразрушения,основоположникомкоторойбылАланГриффитс[4],приуменьшении размера начального дефекта при хрупком разрушении происходитвозрастание прочности материала. Но связь с размером структуры материалахарактерна только для определения его прочности и не подходит для определениядругих его свойств, например, упругости, так как для классической теорииупругости не существует характеристик среды с размерностью длины.Наблюдениезамеханическимповедениемнанообъектов(нанопроволок,нанотрубок, наноостровков, тонких плёнок и пр.) и описание масштабногоэффекта этих процессов приводит к обобщению теории упругости.Большое количество теоретических исследований атомной структурыматериалов нанообъектов при использовании молекулярного и квантовомеханического моделирования и экспериментальные работы доказывают наличиемасштабного эффекта при размерах нанообъектов от долей до десятка нанометров[5, 6].

Примером такого поведения являются модели обобщённой упругостинанотрубок, созданные на основе численного молекулярного моделирования [7],и упрощённые дискретные модели плёнок [8].9Масштабныйэффектдлякомпозитовсдисперснымичастицамизаключается в зависимости свойств от размеров включений, и его нельзя описатьв соответствии с классической теорией упругости. При размерах частиц порядканескольких десятков нанометров и менее в тонкодисперсных композитах [9]наблюдается зависимость характеристик от размера включений, объясняемаяналичием «промежуточной фазы» - промежуточного слоя между матрицей ивключениями, свойства которого отличаются и от матрицы, и от включений(например [10, 11]).Происхождение «промежуточной фазы» вызвано тем, что состояниемолекул в ней отличается от состояния молекул, которые находятся вдали отграницы.

При этом различие композитов на основе неорганических соединенийопределяется разностью параметров кристаллических решеток и различием силВан-дер-ваальсового взаимодействия фаз, а в композитах на основе органическихсоединений она вызвана особым состоянием макромолекул в пограничном слое.В работах [12, 13, 14] для описания тонких структур на наномасштабе былиразвиты подходы на основе адгезионного взаимодействия.Поверхностные свойства и энергия поверхностного взаимодействияявляются ключевыми факторами, которые определяют характеристики и свойствананоструктурированныхматериалов,используемыхвсовременноммашиностроении.

К ним относятся композиты с микро- и наноразмернымивключениями, тонкие плёнки, слоистые структуры, покрытия и др.В настоящее время важной задачей является построение моделей сред сучётом свойств свободных и внутренних межфазных поверхностей.

Для еёрешения используются различные подходы – это и теория упругости с учётомповерхностных взаимодействий, и термодинамическая теория поверхности, иградиентная теория упругости, и контактная теория упругости, физика и химияповерхности, трибология и др.10Впервые поверхностные явления были исследованы ещё в XVII - XVIIIвеках [15, 16], тогда и появилось понятие поверхностного натяжения для жидкихсред.Классическая термодинамика поверхности была сформулирована Гиббсом вработе 1876 года [17].В начале XIX века Томас Юнг [18], Лаплас [19] и Пуассон [20] развилитеориюповерхностногонатяжениянаоснованиипредставленийомежмолекулярных взаимодействиях.В 1830 году Гауссом впервые было введено понятие поверхностной энергии[21].Наиболее детально термодинамическая теория поверхностных явленийбыла разработана Гиббсом в 1876 году [17] и впоследствии получила развитие вработах Шатлворта [22], Херинга [23], Орована [24], Каммарата [25] и др.Модели, учитывающие поверхностные эффекты деформируемых сред, быливпервые показаны в работах Гуртина и Мурдоха [26, 27], которые использовализакон Лапласа-Юнга для учёта поверхностных свойств модифицированныхконтактируемых сред в рамках теории упругости.На контактной поверхности ставилось условие, которое связывало скачок внормальных напряжениях с дивергенцией поверхностных напряжений:[ ]  n   Sгде [ ]   2   1 - разность напряжений на границе в контактирующих фазах; n –внешняя нормаль к поверхности;  S - дивергенция тензора поверхностныхнапряжений.При этом использовался классический закон Гука в объёме среды, покоторому устанавливались основные соотношения между поверхностныминапряжениями и деформациями в виде линейных соотношений.

При этом вопределяющие соотношения добавляется параметр, который отвечает заповерхностное натяжение, благодаря чему следует, что существуют напряженияповерхностного натяжения и без деформаций.11 ij   0 ij  (s   0 ) kk ij  2(  s   0 ) ij ,Где  0 - поверхностное натяжение среды, действующее в отсутствиивнешних нагрузок, s ,  s - поверхностные аналоги коэффициентов Ламе,  ij ,  ij тензор деформаций и напряжений на поверхности среды,  ij - символ Кронекера.Деформации поверхности при этом определяются как деформации награнице среды. Эти деформации получаются при решении уравнения равновесияв объеме среды.