Автореферат (Качественный и асимптотический анализ динамики неконсервативных систем с квадратичным трением)

На правах рукописиМайоров Андрей ЮрьевичКАЧЕСТВЕННЫЙ И АСИМПТОТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ ДИНАМИКИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХСИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМ ТРЕНИЕМСпециальность 01.02.01 —«Теоретическая механика»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2017Работа выполнена на кафедре «Моделирование динамических систем»Федерального государственного бюджетного образовательного учреждениявысшего образования «Московский авиационный институт (национальныйисследовательский университет)» (МАИ).Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессор,заведующий кафедры «Моделирование динамиче­ских систем» ФГБОУ ВО «Московский авиацион­ный институт (национальный исследовательскийуниверситет)» (МАИ)Красильников Павел СергеевичОфициальные оппоненты: Шатина Альбина Викторовна,доктор физико-математических наук, доцент,профессор кафедры «Высшая математика»ФГБОУ ВО «Московский технологический уни­верситет» (МИРЭА)Зленко Александр Афанасьевич,кандитат физико-математических наук, доцент,профессор кафедры «Высшая математика»ФГБОУ ВО «Московский автомобильно-дорож­ный государственный технический университет»(МАДИ)Ведущая организация:Федеральное государственное автономное образо­вательное учреждение высшего образования «Рос­сийский университет дружбы народов» (РУДН)Защита состоится 15 декабря 2017 года в 12 ч.

00 мин. на заседании дис­сертационного совета Д 212.125.14 в Московском авиационном институте поадресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационногоинститута по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, ВОлоколамское шоссе, 4или на сайте МАИ по ссылке:Автореферат разослан «»2017 г.Отзывы на автореферат просим отправлять в 2-х экземплярах, заверенныхгербовой печатью, по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамскоешоссе, 4, Ученый совет МАИ.Ученый секретарь диссертационногосовета Д 212.125.14, кандидатфизико-математических наук, доцентГидаспов В.Ю.Общая характеристика работыВ настоящей диссертационной работе изучается задача устойчивостиравновесия механических систем с двумя и тремя степенями свободы, нахо­дящихся под действием как потенциальных, так и не потенциальных (некон­сервативных) сил.

Под неконсервативными силами подразумеваются дисси­пативные силы, а так же позиционные силы, не допускающие потенциала.Последние силы так же называются следящими, циркуляционными или си­лами радиальной коррекции.Актуальность темы. Механические системы, в которых действуютнеконсервативные силы, нашли свое применение в различных областях наукии техники. Можно указать целые области, где при моделировании возникаютнеконсервативные системы. Это проектирование конструкций в машиностро­ении, авиации, ракетной техники. Поэтому исследование устойчивости и коле­баний неконсервативных механических систем, находящихся под действиемпотенциальных и неконсервативных сил, в том числе линейных и квадратич­ных диссипативных сил, является актуальной.Изучению устойчивости циркуляционных систем посвящено большоеколичество задач, среди которых можно выделить работы таких ученых какВ.

В. Болотин, Дж. Херманн, Г. Циглер, Д. Р. Меркин, С. А. Агафонов, A. B.Карапетян, В. В. Белецкий, П. С. Красильников, А. Е. Байков, О. Н. Кирил­лов, и др.Впервые вопрос о решении неконсервативных задач со следящими си­лами ставиться после работ Эйлера, в которых он исследовал устойчивостьформ равновесия упругой балки. Изучение области применимости метода Эй­лера в задачах устойчивости упругих систем показало, что если силы некон­сервативные, то метод Эйлера становиться непригодным.

Основным методомисследования неконсервативных задач теории упругости является метод, ос­нованный на рассмотрении колебаний системы вблизи положения равновесия,что сближает его с теорией устойчивости и классической механикой.Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил па­радокс дестабилизации, называемый так же эффект Циглера 1 , когда скольугодно малые по модулю линейные диссипативные силы дестабилизируютравновесие системы, устойчивое в отсутствие сил трения. Это явление изу­чалось в работах В. В.Болотина, Я.

Г Пановко, Г. Циглера, С. А. Агафонова,А. П Сейраняна, О. Н. Кириллова, П. С. Красильникова, А. Е. Байкова и дру­гих ученых. Сложность в изучении данного эффекта заключается в том, чтохарактеристический полином системы содержит все коэффициенты при сте­пенях неизвестных, поэтому неравенства в критерии Раусса-Гурвица имеютвесьма сложный вид и их сложно исследовать на совместность.

В настоящиймомент одним из наиболее эффективных подходов к изучению эффекта Циг­лера является использование критерия дестабилизации, сформулированного1Ziegler H. Die Stabilitӓtskriteriien der Elastomechanik // lng. Arch. 1952. Bd. 20.H.1.s. 49 – 56.3и доказанного для систем с двумя степенями свободы в работе П. С. Красиль­никова и А. Е.

Байкова 2 .Как один из частных случаев неконсервативных механических систем,задача исследования движения механических систем, в частности, твердыхтел, в сопротивляющейся среде также давно заинтересовала специалистов. Сразвитием авиации вопрос о влиянии сил сопротивления на движение тел всреде стал особенно актуальным. Пионерские работы в этой области принад­лежат Ньютону И., Стоксу Дж. Г., Циолковскому К. Э., Жуковскому Н.

Е. идругим классикам.Современная постановка задачи о движении тел в среде с сопротивле­нием предполагает учет динамики самой среды, т.е. рассмотрения уравненийНавье-Стокса. Однако данный подход сопряжен с большими теоретическимии вычислительными сложностями. Поэтому большинство авторов рассматри­вают упрощенную постановку, например, учитывают только эффект присо­единенных масс и вязкое сопротивление.В диссертационной работе исследуется устойчивость механических си­стем с двумя и тремя степенями свободы при наличии позиционных и дисси­пативных сил.

Изучаются области устойчивости и неустойчивости равновес­ной конфигурации трёхзвенного стержневого механизма, находящегося поддействием сосредоточенной следящей силы. В простейшем случае эта модельописывает динамику заправочного шланга, находящегося под действием ре­активной силы равномерного истечения жидкости.Так же в работе исследуются малые колебания неконсервативных меха­нических систем с двумя степенями свободы, которые находятся под действи­ем потенциальных, неконсервативных позиционных сил, линейных и квадра­тичных диссипативных сил, моделирующих движение систем в сопротивляю­щейся среде с квадратичными законами сопротивления. В качестве примератакой механической системы с двумя степенями свободы, разработана спе­циальная стержневая модель.

Проводится её линейный анализ устойчивостиположения равновесия. Такая система может служить упрощенной модельюдвижения лопасти на упругой втулке несущего или рулевого винта вертолетав плоскости тяги.Целью диссертационной работы является изучение влияния совмест­ного действия неконсервативных позиционных сил, потенциальных, линей­ных и квадратичных диссипативных сил на устойчивость механических си­стем с двумя и тремя степенями свободы.Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:1. Получение необходимых условий устойчивости положения равнове­сия трехзвенной стержневой системы в отсутствие диссипативных сил.2Байков А. Е., Красильников П. С.

Об эффекте Циглера в неконсервативной механической системе //ПММ, 2010. Т. 74, Вып. 1. с. 74 – 88.42. Формулировка и доказательство критерия асимптотической устой­чивости положения равновесия систем с тремя степенями свободы при нали­чии малых линейных диссипативных сил.3. Построение областей устойчивости и зоны дестабилизации положе­ния равновесия малыми диссипативными силами (зоны Циглера) трехзвеннойстержневой системы.4. Получение достаточных условий существования предельного инва­риантного тора для систем с двумя степенями свободы, находящихся поддействием потенциальных, неконсервативных позиционных сил, линейных иквадратичных диссипативных сил.5.

Исследование устойчивости положения равновесия и зон Циглера вмеханической системе, моделирующей движение лопасти винта в плоскоститяги.Методы исследования. Для составления дифференциальных урав­нений движения рассматриваемых в диссертационной работе механическихсистем использовались уравнения Лагранжа 2-го рода. Все аналитическиевычисления проводились применением методов компьютерной алгебры. Дляисследования влияния линейных диссипативных сил на устойчивость положе­ния равновесия стержневых систем использовался метод малого параметратеории возмущений. Анализ малых колебаний неконсервативных механиче­ских систем проводился с помощью метода нормализации Хори-Кэмила иметода усреднения.Научная новизна.

В диссертационной работе получены следующиеновые результаты:1. Результаты исследования трехзвенной стержневой системы, находя­щейся под действием неконсервативной позиционной силы и линейных дисси­пативных сил являются новыми. Ранее в исследованиях неконсервативныхсистем не рассматривались трехзвенные стержневые механизмы. Так же,по сравнению с результатами, полученными при исследовании аналогичнойдвухзвенной стержневой системы, при анализе устойчивости трехзвенногомеханизма были обнаружены новые эффекты, возникающие при изменениинаправления действия следящей силы.

В работе также сформулирован и дока­зан критерий существования эффекта Циглера для трехзвенной стержневойсистемы с малыми силами трения, что также является новым результатом висследовании механических систем с тремя степенями свободы.2. Использование кубической диссипативной функции Рэлея для ис­следования совместного влияния потенциальных, неконсервативных позици­онных, линейных и квадратичных диссипативных сил на устойчивость и ко­лебания механических систем рассматривается впервые. Для систем с однойи двумя степенями свободы получены новые результаты: проведена норма­лизация уравнений на основе метода Хори-Kэмила, выведены усредненныеуравнения по медленным переменным, получены достаточные условия суще­5ствования предельного инвариантного тора усредненной системы с двумя сте­пенями свободы в случае функции Рэлея, не содержащей смешанных членов.3.

Описана новая модель движения лопасти винта на упругой втулкев плоскости тяги. Впервые получены условия устойчивости стационарныхрежимов при наличии малых линейных вязких сил трения, построены зоныЦиглера в плоскости параметров.Научная и практическая значимость полученных в диссертаци­онной работе результатов состоит в следующем:1. Полученный при исследовании устойчивости трехзвенной стержне­вой системы эффект, не имеющий аналога в системе с двумя степенями сво­боды, указывает на необходимость исследования колебаний механических си­стем со многими степенями свободы.2.