Автореферат (Качественный и асимптотический анализ динамики неконсервативных систем с квадратичным трением), страница 2

Результаты исследования эффекта Циглера для трехзвенной стреж­невой системы при наличии малых сил трения позволяют оценить областиустойчивости, области нарастающих поперечных колебаний в зонах неустой­чивости для дискретных моделей ракеты-носителя и заправочного шлангалетательного аппарата.3. Полученные достаточные условия существования инвариантного то­ра в фазовом пространстве систем с двумя степенями свободы, подверженныхдействию линейных и квадратичных диссипативных сил, вносят новый вкладв исследования, посвященные анализу аттракторов механических систем, ирасширяет теоретические знания в предметной области, посвященной малымколебаниям.4.

Результаты линейного анализа устойчивости и построения зон Циг­лера для стационарных режимов движения винта в плоскости тяги можноиспользовать при конструировании безопасных режимов движений лопастивертолета.Достоверность полученных результатов обеспечивается: 1) строгимиспользованием классических механических концепций и адекватного мате­матического аппарата, 2) применением классических аналитических и при­ближенно-аналитических методов исследования, 3) использованием матема­тического пакета Maple версии 13.0 (Maple build ID 397624).Апробация работы. Основные результаты диссертационной рабо­ты докладывались и обсуждались на следующих научных конференци­ях и научных семинарах: 1) Семинар "Динамические системы и механи­ка"кафедр 803 и 802 (Москва, 2014), 2) Международной конференции "Ломо­носов-2015"(Москва, 2015), 3) 16-ой международной конференции "Авиацияи космонавтика"(Москва, 2016).Личный вклад.

Автору принадлежат формулировки и доказатель­ства основных теоретических результатов, представленных в диссертацион­ной работе. Также автором реализованы используемые аналитические мето­ды компьютерной алгебры в среде Maple. Выбор методов анализа, круга рас­сматриваемых задач и разработка модели, приближенно описывающей дви­6жение лопасти винта в плоскости тяги, проводились под руководством П.

С.Красильникова.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложеныв 10 работах, среди которых 3 статьи в журналах из перечня ВАК [1-3] и 7публикаций в иных изданиях, основные из которых [4-7].Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трехглав и заключения. Полный объём диссертации составляет 75 страниц с 20рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 62 наименования.Диссертационная работа выполнена в Московском авиационном инсти­туте (Национальный исследовательский университет) за счет гранта РНФ №14-21-00068 (2014-2016).Содержание работыВо введении обосновывается актуальность проводимых исследова­ний, приводится краткий обзор научной литературы по изучаемой проблеме,ставятся цель и задачи работы, формулируются научная новизна и практи­ческая значимость представляемой работы.В первой главе исследуется устойчивость положения равновесия го­лономной неконсервативной механической системы с идеальными стационар­ными связями, находящейся на гладкой горизонтальной плоскости и состо­ящей из трех стержней, соединенных друг с другом с помощью спираль­ных пружин.

Спиральные пружины помимо упругих свойств создают моментдемпфирования, противоположный относительной угловой скорости. На сво­бодный конец стержня действует следящая сила , составляющая фиксиро­ванный угол с осью стержня (рис. 1).Рис. 1. Исследуемая механическая модель7Для рассматриваемой системы составлены уравнения Лагранжа 2-города, найдено единственное положение равновесия, получены уравнения воз­мущенного движения. Для обезразмеренных уравнений возмущенного движе­ния получены уравнения первого приближения¨ + ˙ + = 0,(1)С помощью алгоритма Леверье 3 получены явные выражения для ко­эффициентов характеристического полинома (; ) системы (1).В первой части первой главы рассматривается задача устойчивостив отсутствие сил трения (когда = 0).

В такой постановке условия устой­чивости положения равновесия системы (1) эквивалентны положительностидискриминанта и коэффициентов характеристического полинома (). Дляслучая = 0 получены явные условия устойчивости положения равновесияв виде системы неравенств, графическое изображение которых представленона рисунке 2.Рис. 2. График коэффициентов 1 (), 2 () и дискриминанта ()характеристического полинома при = 0. Здесь = cos , = sin –новые параметры, и = Условие устойчивости механической системы в отсутствие сил трениявозможно при значении параметра 6 * = 1.483549109.

Аналогичный ре­зультат получен при изучении устойчивости двухзвенной стержневой систе­мы 4 .3Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. – М.: мир, 1977. – 650 с.Байков А. Е., Красильников П. С. Об эффекте Циглера в неконсервативной механической системе //ПММ, 2010. Т. 74, Вып.

1. с. 74 – 88.48Так же в диссертации рассмотрен случай, когда || ̸= 0, но мало( → 0). Графики коэффициентов и дискриминанта изображены на рисун­ке 3. Как видно из графика, при отрицательных значениях следящей силы , наблюдается чередование областей устойчивости и неустойчивости прификсированном значении .Рис.

3. График коэффициентов 1 (), 2 () и дискриминанта ()характеристического полинома при = 0.001.Во второй части рассматривается устойчивость при малых силах тре­ния (коэффициент трения много меньше единицы). Используя теорему онеявной функции, были получены необходимые и достаточные условия асимп­тотической устойчивости по первому приближению в виде достаточно про­стых неравенств, накладываемых на параметры задачи для всех механиче­ских систем вида:˜ ˙ + ˜ = 0,˜¨ + (2)˜ – положи­где ˜ – симметричная, положительно-определенная матрица, тельно-определенная матрица, ˜ – произвольная матрица.

Предполагается,что система (2) имеет изолированное положение равновесия = ˙ = 0.Теорема 1. Пусть положение равновесия ˙ = = 0 системы (2)устойчиво при = 0. Тогда при малых силах трения в невырожденномслучае (отсутствуют кратные положительные и нулевые корни полинома∆()) тривиальное равновесие системы (2) асимптотически устойчиво то­гда и только тогда, когда выполняется следующая цепочка неравенств:1 < * < 2 < * < 3(3)˜где 2 = – корни полинома частот ∆(),который получается из ха­рактеристического полинома () системы (2) с помощью замены = ,* , * – корни квадратного уравнения 5 2 − 3 + 1 = 0, 5 , 3 , 1 – произ­водные по малому параметру в нуле от соответствующих коэффициентовхарактеристического уравнения ().9Из этих условий явствует критерий существования эффекта Циглерадля трехзвенной стержневой механической системы.Для частного случая, когда следящая сила действует вдоль стерж­ня, то есть = 0, в работе получены явные выражения для условий асимпто­тической устойчивости из Теоремы 1 и условия эффекта Циглера для иссле­дуемой стержневой системы.

Графические изображения этих условий пред­ставлены на рисунке 4.Рис. 4. Совместные графики , * и * .Вторая глава диссертации посвящена исследованию некоторых коле­баний неконсервативных механических систем. Как известно 5 , малые силытрения вызывают "слабую"неустойчивость равновесия. В частности, в зонахЦиглера существует асимптотически устойчивый предельный цикл6 . Поэтомуосновное внимание во второй главе уделяется получению условий существова­ния аттрактора в фазовом пространстве системы, отличного от предельногоцикла.Рассмотрена система с двумя степенями свободы, находящаяся поддействием потенциальных, неконсервативных позиционных сил, линейных иквадратичных диссипативных сил.

Уравнения Лагранжа второго рода, опи­сывающие движения таких систем, имеют вид(︂ )︂ Φ Ψ(4)−= −∇П −−+ ˙ ˙ ˙Здесь = (1 , 2 ) – вектор обобщенных координат, = 12 ((),˙ )˙ – ки­2нетическая энергия системы, () = ( ()),=1 – матрица кинетической5Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.:Физматгиз,1961.– 339с.Байков А.

Е. Предельный цикл в неконсервативной системе при резонансе 1:2 // ПММ, 2011, Т. 75,№ 3, С. 384–395.610энергии, П = П() – потенциальная энергия консервативных сил, =(1 , 2 ) , = () ( = 1, 2) – вектор неконсервативных позицион­ных обобщенных сил, Φ, Ψ – диссипативные функции Рэлея, квадратическиеи кубические по обобщенным скоростям соответственно. Выражения для дис­сипативных функций для систем с двумя степенями свободы имеют вид ¯Φ = (,˙ )˙2(5))︀ (︀3223˙ = 30 |˙1 | + 21 |˙1 | |˙2 | + 12 |˙1 ||˙2 | + 03 |˙2 |Ψ = (||)33¯ – симметрическая положитель­где , – положительные малые параметры, но определенная матрица, , ( + = 3) – положительные параметры.Уравнения (4) приведены к виду, разрешенному относительно вторыхпроизводных. Далее вводится масштабирующая замена переменных, такая,что приведенные уравнения описывают колебания в малой окрестности рав­новесия (∼ ).