Диссертация (Структура сжимаемых вихревых течений Куэтта-Тэйлора), страница 11

Эти режимы соответствуют различнымдлинам волн вихрей.В настоящей работе рассмотрен один возможный режим развитиявозмущений, который характеризуется развитием вихрей с длиной волнысравнимой с расстоянием между цилиндрами. Анализ уравнений НавьеСтокса показывает, что при больших числах Рейнольдса влияние вязкостиоказывается несущественным в первом приближении.

Влияние вязкостиоказывается существенным в тонких слоях, расположенных вблизи стенок.Оказывается, что при малых амплитудах возмущений влияние этихпограничных слоев на основную часть течения несущественно. Нелинейныережимы развития вихрей могут приводить к возникновению отрывапристеночных пограничных слоев и к соответствующему сильному влияниюна основное течение.Решение для линейно возмущенного осесимметричного течения можнопредставить в видеu( x, r ,)  Au1 ( x, r )  ...v( x, r ,)  Av1 ( x, r )  ...w( x, r ,)  w0 (r )  Aw1 ( x, r )  ...(2.48)p( x, r,)  p0 (r )  Ap1 ( x, r )  ... ( x, r,)  0 (r )  A1 ( x, r )  ...H ( x, r ,)  H 0 (r )  AH1 ( x, r )  ...Линейная система уравнений имеет вид0u1 p10t x61(2.49)0v1 2 0 w0 w1 p10trr(2.50)0w1 0 w0v10tr(2.51)1uv  v 0 1  0 1  0 1  0txrr0H1dH 0 p1 0v1tdrt(2.52)(2.53)Коэффициенты в этой линейной системе уравнений являются функциямирадиальной координаты.

Тогда решение можно представить следующимобразомu1  U (r )exp( t )sin( x)v1  V (r )exp( t )sin( x)w1  W (r )exp( t )cos( x)1  R(r )exp( t )sin( x)H1  (r )exp( t )sin( x)p1  P(r )exp( t )sin( x)(2.54)Подстановка этих выражений в линейную систему уравнений приводит ксистеме обыкновенных дифференциальных уравнений0U   P  02 w W0V  0 0  P  0r0W  0Vw0 0 w0Vr(2.55)(2.56)0(2.57)62r R  0rU  0V  0rV   0(2.58)0  0VH 0   P(2.59)Эта система может быть сведена к одному дифференциальномууравнению второго порядка для радиального возмущенного компонентаскорости. Решение должно удовлетворять двум однородным граничнымусловиям, задаваемым на поверхности цилиндров.Для численного анализа более удобно привести это уравнение к двумуравнениям первого порядка следующего видаVa02w0P 2 a02V   2 [(  1) H 0   w0 (  1)( w0  )] [1  2 ]ra0r0 ra02P  V [ 0 2 0 w0w( w0  0 )]rr(2.60)(2.61)Задача состоит в нахождении собственных решений системыуравнений с однородными граничными условиями.

Дисперсионноесоотношение, которому должны удовлетворять параметры, при которыхсуществуют нетривиальные решения, имеет вид  F ( R2 / R1 , b2 , H w1 , H w2 ,  , ,  )(2.62)и может быть получено в результате численного решения уравнений дляневозмущенного и возмущенного течений.Ниже представлены некоторые численные решения. Решения полученыдляследующихзначенийпараметровb2  0.5, H w1  1., H w2  1.,   0.74,   0.7 для которых часть течениямежду цилиндрами сверхзвуковая, а часть дозвуковая.

На фигурахпредставлены решения для первой моды (Рис. 2.3) и для второй молы (Рис.2.4) при   1. Этот вариант соответствует сверхзвуковому течению околовнутреннего цилиндра (M=5.) и дозвуковому течению около внешнегоцилиндра (M=0.71).630.400.50VV0.400.200.300.000.20-0.200.100.00-0.400.801.001.201.40r1.60Рис. 2.3. Первая мода   0.05050.801.001.201.40r1.60Рис. 2.4. Вторая мода   0.0252Следующая серия расчетов соответствует параметрам, при которыхтечениемеждуцилиндрамиполностьюсверхзвуковое,b2  0.5, H w1  1., H w2  0.5,   0.74,   0.7 .

На фигурах решения дляпервой моды (Рис. 2.5.) и для второй моды (Рис. 2.6.) представлены для   1.Этот вариант соответствует сверхзвуковой скорости около внутреннегоцилиндра (M=5.) и сверхзвуковой скорости около внешнего цилиндра(M=1.67). Можно заключить, что увеличение числа Маха внешнего цилиндраприводит к уменьшению инкремента роста возмущений первой и второй мод.Расчеты показали также, что инкремент роста возмущений сильнозависит от температуры цилиндров.0.500.40vv0.400.200.300.200.000.100.00-0.200.801.001.201.40r1.60Рис. 2.5. Первая мода   0.04380.801.001.201.40r1.60Рис.

2.6. Вторая мода   0.022564ГЛАВА 3: ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ПАРАМЕТРОВ НАСТРУКТУРУ ВИХРЕЙ В ТЕЧЕНИИ КУЭТТА-ТЭЙЛОРАСЖИМАЕМОГО ГАЗА3.1 Физическая модель IРис. 3.1. Коаксиальные цилиндры (а), рассматриваемый сектор из цилиндра(б)При аналитическом решении задачи рассматривается бесконечныйцилиндр. Однако, при численном моделировании необходимо ограничиватьдлинуцилиндров,соблюдаяусловие:h    R2  R1( h  0.01м , R1  0.01м и R2  0.011м ) (рис. 3.1а).При достаточно малых угловых скоростях цилиндров, вихри имеетравномерное распределение, постоянное вдоль оси O . Поэтому достаточнорассмотреть двухмерную задачу. В расчѐте для этой первой модели мырассматривали круговой секторс углом 10 (рис.

3.1б). При R1 ?  , данныйкруговой сектор можно приближенно рассматривать как прямоугольныйпараллелепипед с размерами 0.001м  0.01м  0.01м65Рис. 3.2: Физическая модель области постоенной сеткиСетка была построена с помощью программы ANSYS ICEM CFD. Сеткаявляется структурированной, содержит более 2 миллионов ячеек (рис. 3.2).В задаче проводятся расчеты с применением коммерческой программыANSYS CFX (лицензия МФТИ). Рассматриваемые течения моделируются спомощью уравнений Навье-Стокса, записанных в цилиндрическихкоординатах. Для расчета использовалась модель турбулентности SST (ShearStress Transport), и предполагалось, что газ является идеальным.Физические характеристики этой модели и сетки разлагаются вприложении 1Ниже разлагаются результаты расчетов для разных угловых скоростей.3.1.1 Расчеты для физической модели 1 при 1  300 рад.

/ сек. и  2  0Граничные условия: условие прилипания на адиабатических стенкахцилиндров, условия вращательной и поступательной периодичности наостальных границахСетка была построена с помощью программы ANSYS ICEM CFD. Сеткаявляется структурированной, содержит более 2 миллионов ячеек (рис. 3).В задаче проводятся расчеты с применением коммерческой программыANSYS CFX (лицензия МФТИ). Рассматриваемые течения моделируются спомощью уравнений Навье-Стокса, записанных в цилиндрических66координатах. Для расчета использовалась модель турбулентности SST (ShearStress Transport), и предполагалось, что газ является идеальным.Рис.3.3: Pаспределение скорости Vr при 1  300 рад. / сек.

и 2  067Рис.3.4: Pаспределение скорости Vz при 1  300 рад. / сек. и 2  03.1.2 Расчеты для физической модели 1 при 1  38000 рад. / сек. и  2  0Граничные условия: условие прилипания на адиабатических стенкахцилиндров, условия вращательной и поступательной периодичности наостальных границах68Рис.3.5: Pаспределение скорости Vr при 1  38000 рад. / сек. и 2  069Рис.3.6: Pаспределение скорости Vz при 1  38000 рад.

/ сек. и 2  03.2 Физическая модель IIРассмотриманалогичнуюмодельстакимипараметрами:( h  0.1м , R1  0.100 м и R2  0.101м )иновыйпрямоугольныйпараллелепипед с размерами 0.000175 м  0.001м  0.1м .Характерная длина: радиус внутреннего цилиндра R1  0.100 м .70Рис. 3.7. Сетка в рассматриваемой зонеФизические характеристики этой модели и сетки разлагаются вприложении 23.2.1 Расчеты для случая  2  0 , 1  20об . / сек.

и T1  T2  Tгаз  293o KРезультат: Появилась 61 пара одинаковых вихрей, имеющих равномерноераспределение. Одна пара состоится из двух осесимметричных вихрей. Всечениикаждоговихря=  d гдеOxz размер  R2  R1 d  h / (61 2)  0.8196721мм (см. рис. 14).Рис. 3.8 Пара оси симметричного вихряРаспределения компонентов вектора скорости представлены на рис. 16.71Рис. 3.9. Распределения поля скорости вихря3.2.2 Влияние температуры на структуру вихрей: фиксированное числоРейнольдса Re=8*104 (т.е. 1  20 об .

/ сек ,  2  0 ), T1  Tгаз  293o K ,T2  400, 800, 1200, 1600, 2000, 2400o КV12Температура торможения: C pT0  C pT1 ,27V1  6,2832 м / c;T1  293K ; C p  R  3,5.287  1004,5 Дж / (Кг.К) ,где222V6,2832поэтому T0  T1  1  293  293,0786(К)2C p2.1,004,5T2:T080012002.7296 4.0944Характерная температура T T2T4001.364816005.459220006.824124008.1889Таблица 1.72Результат: При изменении температуры внешнего цилиндра, полескоростей ещѐ является стационарным. Пары вихрей образуютпериодическую структуру.

Плотность пар вихрей (количество пар вихрей вразмере одного метра цилиндра) незначительно изменяется (см. рис. 17).Сначала, при T  4 или T2  12000 K количество пар монотонноувеличивается с повышением температуры. После этого оно уменьшается и,наконец, стабилизируется при T  7 или T2  20000 K .Рис. 3.10.

Зависимость плотности пар вихрей от температуры внешнегоцилиндра3.2.3 Влияние числа Рейнольдса на структуру теченияТемпературы цилиндров T1  T2  Tгаз  2930 К и 2  0 . ИзменениеRe от 4*104 до 4*105 ( 1 от10 об. / сек до 100 об. / сек )Характерная угловая скорость: Линейная скорость внутреннего цилиндрапри угловой скорости 1*  20 об / c : V1*  21* R1  6,2832 м / c .V21R1 1Безразмерная скорость V1  1* V1 21* R1 1*731100,5V1201,0301,5402,0502,5603,0703,5804,0904,51005,0Таблица 2.ЧислоRe РейнольдсаVD,D  R1  0,100 м;V  21R1;  15,11.10 м / с , поэтому Re 51 (об/ c)Re1 (об/ c)Re2где21R12.102030405041583,05 83166,11 124749,17 166332,23 207915,2960708090100249498,25 291081,40 332664,46 374427,52 415830,58Таблица 3.Анализ полученных результатов показывает, что при изменении числаРейнольдса от 4*104 до 4*105 (угловой скорости 1 от 10обо./сек до100обо./сек) количество пар вихрей изменяется в соответствии с кривой,показанной на рис.