Автореферат (Синтез оптимальных стратегий в двухшаговых задачах стохастического оптимального управления билинейной моделью с вероятностным критерием)

На правах рукописиИгнатов Алексей НиколаевичСИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ В ДВУХШАГОВЫХЗАДАЧАХ СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГОУПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛЬЮС ВЕРОЯТНОСТНЫМ КРИТЕРИЕМСпециальность 05.13.01Системный анализ, управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)Авторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2016 годРабота выполнена на кафедре «Теория вероятностей»федерального государственного бюджетного образовательного учреждениявысшего образования «Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)» (МАИ)Научный руководитель:Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор Кибзун Андрей ИвановичМиллер Борис Михайлович,доктор физико-математических наук, профессор,главный научный сотрудник Института проблемпередачи информации им.

А. А. Харкевича РАН;Кустов Аркадий Юрьевич,кандидат физико-математических наук,старший научный сотрудник Институтапроблем управления В. А. Трапезникова РАНВедущая организация:Институт математики и механикиим. Н. Н. Красовского Уральского отделенияРАНна заседании диссертационного совеЗащита состоитсята Д 212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва,А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4Сдиссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80,ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4 или на сайте МАИ по ссылке:http://www.mai.ru/events/defence/index.php?ELEMENT_ID=72672Автореферат разослан «»2016 г.Отзывы в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просим отправлять поадресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый советМАИУченый секретарь диссертационногосовета Д 212.125.04, кандидатфизико-математических наук, доцентСеверинаНаталья Сергеевна—3—Общая характеристика работыдиссертационной работы являются двухшаговые задачи стохастического оптимального управления билинейной системой свероятностным критерием.Актуальность работы.

В задачах стохастического оптимальногоуправления билинейной моделью функция эволюции системы при фиксированном значении состояния системы содержит скалярное произведение векторауправления и вектора случайных факторов. Такие модели возникают в экономике и технике, например задаче формирования портфеля ценных бумаг и взадаче управления космическим аппаратом.Задачи оптимального капиталовложения можно разделить по несколькимпризнакам: критерию оптимальности, возможности ребалансировки портфеляценных бумаг и количеству ребалансировок, выбираемому закону распределения доходностей финансовых инструментов.В одношаговых задачах формирования портфеля ценных бумаг, то естьтаких задачах, в которых не предполагается ребалансировка портфеля ценных бумаг в некоторый момент инвестиционного горизонта, встречается целыйспектр критериев оптимальности.

Логарифмический критерий, который обеспечивает максимальную среднюю скорость роста капитала, рассматривается вработах Р. Виксона, В. Зиембы, Дж. Л. Келли, Л. МакЛина, В. Некрасова, Э.Торпа, Й. Чжао. Вероятностный критерий, обеспечивающий превышение желаемого порога капитала при ликвидации инвестиционного портфеля с максимальной вероятностью, или вероятностное ограничение на портфель ценных бумагиспользовались в работах C. Ахмеда, C. Бенати, Х. Ишии, Ю. С. Кана, А. И. Кибзуна, Дж. Люэдтке, А. В. Наумова, Дж.

Немхаузера, В. И. Норкина, Р. Рицци,Т. Хасуике. VaR-критерий, обеспечивающий максимальный уровень капитала,гарантированный с заданным уровнем надежности, можно встретить в работах Э. Жондо, Ю. С. Кана, А. И. Кибзуна, М. Окса, C.-Х. Пуна, М. Рокингера,Ф. Устри, Л. Эль Гаоуи. CVaR-критерий, который обеспечивает максимальноесреднее значение капитала, если капитал инвестора окажется ниже некоторогогарантированного уровня, встречается в работах А. И.

Кибзуна, Р. Т. Рокафеллара, С. Урясева, А. И. Чернобровова. Для формирования портфеля ценныхбумаг могут использоваться и другие критерии, которые можно найти, например, в работах А. Адама, Ж.-П. Лорана, С. Т. Рачева, С. В. Стоянова, Ф. Дж.Фабоцци, М. Хоукари.Однако использование одношаговых моделей может привести к «биржевому парадоксу», когда при многократном использовании одношаговой стратегии в среднем капитал инвестора стремится к бесконечности, а вероятностьразорения стремится к единице.

Использование двухшаговой или многошаговой моделей может позволить избежать данного парадокса, поскольку при использовании таких моделей имеется возможность в некоторый момент времениинвестиционного горизонта ребалансировать портфель ценных бумаг и, такимобразом, учесть изменяющуюся ситуацию на рынке.Учет возможности ребалансировки портфеля ценных бумаг существенно усложняет процесс поиска решения. Поэтому исследователи, использующиеОбъектом исследования—4—в качестве критерия оптимальности вероятность достижения заданного порогакапитала или VaR-критерий, как правило, рассматривают только двухшаговыезадачи с одним рисковым активом на каждом шаге. Исследованию таких задач посвящены работы российских авторов: Б. В. Вишнякова, П.

В. Григорьева,Ю. С. Кана, А. И. Кибзуна, Е. А. Кузнецова.Если же использовать критерии, связанные с моментными характеристиками случайных величин, то удается получить результаты для многошаговыхзадач, в которых предполагается случай более чем одной коррекции инвестиционного портфеля на протяжении инвестиционного горизонта. Такие исследования проводятся большей частью на Западе различными авторами: Т. Боднаром,С. Бойдом, C.

Езекиджи, Дж. Калафьоре, Н. Паролей, Дж. Скафом, Э. Чанакоглу, В. Шмидом.В качестве распределения доходностей различными авторами, как правило, рассматривается нормальное распределение. Для оценки параметров распределения доходностей используют CAPM-теорию, разработанную Ф. Блэком,Дж. Линтнером, В. Ф. Шарпом. Однако, как показано Ю. Фамой и К. Френчем, она имеет ряд недостатков. К тому же на практике доходность в отличиеот реализации случайной величины, подчиняющейся нормальному закону, неможет оказаться меньше минус единицы. Поэтому в задаче оптимального капиталовложения логичным представляется использование распределения с ограниченным носителем, например, можно использовать равномерное распределение. Б.

Р. Бармишем, Ю. С. Каном, А. И. Кибзуном, К. М. Лагоа показано, чторавномерное распределение при минимальных предположениях о виде законараспределения оказывается наихудшим по значению критериальной функциидля лица, принимающего решения. Кроме того, равномерное распределение неявляется экзотическим в задаче оптимального капиталовложения и рассматривается, например, Г. Дж. Александером, А. М. Баптистой, А. Меуччи. Однакоравномерное распределение также имеет свои недостатки: оптимальное значение критерия может оказаться неоправданно невысоким.

Кроме того, плотностьравномерного распределения симметрична относительно математического ожидания, что не обязательно может соответствовать реальным задачам. С другойстороны, оптимальный портфель, полученный с использованием равномерногораспределения доходностей, можно считать гарантирующим. Отметим также,что в качестве распределения доходностей в работах А.

А. Лобанова, А. Меуччи, А. В. Чугунова, А. Н. Ширяева рассматриваются и другие распределения:логнормальное распределение, усеченное нормальное распределение, распределение Парето.Другая физическая задача, рассматриваемая в диссертации, задачауправления космическими аппаратами, также исследовалась во многих работах,например, В. М.

Азановым, В. Т Бобронниковым, Ю. С. Каном, А. И. Кибзуном,М. Н. Красильщиковым, В. В. Малышевым, О. П. Нестеренко, А. В. Федоровым.В монографии В. Т. Бобронникова, М. Н. Красильщикова, В. В. Малышева, О. П.Нестеренко, А. В. Федорова в качестве критерия оптимальности использовалосьматематическое ожидание от некоторой функции общего вида и предполагалсяслучай произвольного числа коррекций, в то время как в монографии А.

И. Ки-—5—бзуна, В. В. Малышева использовался квантильный критерий и предполагалсяслучай максимум двух коррекций. При этом в обеих монографиях ошибки исполнения корректирующего импульса полагались гауссовскими. В то же времяошибки исполнения коррекций могут носить не гауссов характер. В работе В.

М.Азанова, Ю. С. Кана была рассмотрена задача оптимальной двухимпульснойкоррекции спутника при помощи двигателя большой тяги с учетом ошибок исполнения импульса, распределенных по равномерному закону, с использованиемвероятностного критерия. Для поиска оптимального управления был примененметод динамического программирования.Рассматривая вопрос о выборе критерия оптимальности, стоит отметить,что, как правило, инвестору интересен некоторый уровень доходности, например 10% годовых, или порог капитала, который требуется достичь, поэтому актуальным является использование вероятности превышения заданного порогакапитала в качестве критерия.

Кроме того, как отмечено в монографии Л. И.Седова, в каждом конкретном полете необходимо осуществлять коррекцию космического аппарата с вероятностью близкой к единице, то есть лучше использовать вероятностный критерий и в задаче управления космическими аппаратами.Следовательно, для поиска оптимального управления динамикой системы лучше использовать вероятностный критерий, а не, например, среднее значение.Однако при решении задачи управления системой по вероятностному критериюприменение метода динамического программирования сопряжено с большимитрудностями.Поэтому актуальной задачей представляется поиск приближенного решения в двухшаговой задаче стохастического оптимального управления билинейной моделью с вероятностным критерием, которое бы оказывалось близким позначению критерия к оптимальному управлению и могло бы быть найдено длялюбого распределения случайных величин.Цель и задачи работы.

Целью диссертации является разработка алгоритмов решения двухшаговых задач стохастического оптимального управлениябилинейной моделью функционирования системы с вероятностным критерием.Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.1. Найти оптимальное решение двухшаговой задачи стохастического оптимального управления билинейной моделью функционирования системы с вероятностным критерием в некотором частном случае.2. Разработать алгоритмы поиска приближенного решения двухшаговойзадачи стохастического оптимального управления билинейной моделью.3. Исследовать степень близости приближенного решения и точного.4.