Автореферат (Обратные задачи динамики подводных и летательных аппаратов), страница 4

Точность приближений оценивается величинойотносительной невязки. Оказывается, что в центрированных фазовых координатах(2.5) полученные замкнутые орбиты близки к эллиптическим, причём уравненияэллипсов выписываются в явном виде через управляющие параметрырассматриваемой механической системы.5Delamotte B. Nonperturbative (but approximate) method for solving differential equations and finding limit cycles // PhysicalReview Letters.

1993. V.70, №22. P.3361-3364.6Poland D. Loci of limit cycles // Physical Review E. 1994. V.49, №1. P.157-165.14Ранее метод гармонического баланса обычно применялся к нелинейнымдифференциальным уравнениям второго порядка. В данной работе исходнаясистема уравнений (2.3) сводится к одному уравнению третьего порядка, котороепосле дифференцирования превращается в уравнение четвёртого порядка сквадратичной нелинейностью. Такое повышение порядка приводит ксущественному усложнению возникающих систем алгебраических уравненийотносительно коэффициентов Фурье и периода искомого приближения. С другойстороны показано, что в аппроксимативных отрезках ряда Фурье достаточноучитывать лишь нечётные гармоники и, тем самым, ускорить сходимостьсоответствующей вычислительной процедуры. На третьем шаге метода возникаетсистема из семи алгебраических уравнений шестой степени и полученнаяаппроксимация при выбранных значениях управляющих параметров движенияспутника даёт удовлетворительную точность 3.6%.Установлено, что для двух альтернативных по сравнению с (2.6) вариантовуправления спутником его устойчивая замкнутая орбита также может бытьприближённо найдена с помощью метода гармонического баланса.В разделе 3.3 после перехода к центрированным координатам (2.5) уравнениядвижения спутника (2.3) с управляющей функцией (2.6) приобретают вид x&1 = − µ1 x1 − arctg x3 ,(3.1) x& 2 = − µ2 x2 + x1 , x& = − µ x + x .3 32 3Данная система сводится к скалярному дифференциальному уравнению третьегопорядка, которое после дифференцирования превращается в уравнение четвёртогопорядка1 + y 2 y (4) + α1 y ′′′ + α 2 y′′ + α 3 y′ + y′ = 0(3.2)()()относительно y (t ) = x3 (t ) с коэффициентамиα1 = µ1 + µ 2 + µ 3 , α 2 = µ1µ 2 + µ1µ 3 + µ 2µ 3 , α 3 = µ1µ 2µ 3(3.3)и квадратичной нелинейностью.В разделе 3.4 описывается применение метода гармонического баланса куравнению (3.2).

Показано, что в данной ситуации можно ограничиться начальнымиотрезками ряда Фурье с нечётными гармониками. На шаге N приближённоепериодическое решение уравнения (3.2) ищется в видеNy (t ) = ∑ ( bk sin (2 k − 1)ωt + ck cos(2k − 1)ωt ) .k =1Компоненты x1 (t ), x2 (t ) приближённого периодического решения X ( N ) (t ) системы(3.1) легко восстанавливаются по третьей компоненте x3 (t ) = y (t ) . В качестве мерыправдоподобия данного решения предлагается относительная невязка15δ (t )δ (t ) − невязка X ( N ) (t ) относительно (3.1) и ⋅ − равномернаяy (t ) , гденорма периодических функций. Фактически, δ (t ) − это невязка первого изуравнений (3.1), тогда как два других уравнения удовлетворяются точно.δo =В разделе 3.5 процедура аналитической аппроксимации искомогопериодического движения спутника численно реализована при значенияхуправляющих параметров µ1, µ2 = 0.05 , µ2 = 2.1 , обеспечивающих согласно теореме2.2 существование устойчивого предельного цикла для системы уравнений (2.3), азначит и для индуцированной системы (3.1).

В качестве пороговой точностипринимаем δ o = 0.05 . В результате трёх шагов метода ( N = 1,2,3 ) получаемпоследовательные приближения X (1) (t ) , X (2) (t ) , X (3) (t ) . Заданная точность δ oудовлетворяется лишь на третьем шаге, а именно: δ o(1) = 0.150 , δ o(2) = 0.068 ,δ o(3) = 0.036 . Приближённое T -периодическое решение X (3) (t ) системы уравнений(3.1) имеет вид x1 ( t ) = −0.352sinω t +3.029cos ω t −0.006sin 3ω t + 0.176cos3ω t − 0. 0005sin 5ωt + 0.027 cos5ωt x2 ( t ) = 6.471sinω t +1.480cos ω t + 0.129sin 3ω t + 0.009cos3ω t + 0.

012sin 5ωt + 0.0005cos 5ωt x3 ( t ) = 3.089sinω t + 0.033cos ω t + 0.045sin 3ω t − 0.025cos3ω t + 0 .003sin 5ωt − 0.003cos5ωtс ω = 0.457 и T = 2ωπ = 13.760 . Периоды приближений X (1) (t ) , X (2) (t ) , X (3) (t )практически не зависят от номера шага. Именно: T1 = 13.630 , T2 = 13.688 , T3 =13.760, так что значение T3 можно принять за удовлетворительную оценку периодаточного периодического решения X (t ) системы (3.1).(3)На рис.4 приведен график невязки δ (t ) приближённого решения X ( t ) .Рис.4На рис.5 представлены три последовательные аналитические приближенияX (1) (t ) , X (2) (t ) , X (3) (t ) , а также предельный цикл X (t ) , построенный численными16методами в пакете MAPLE 11. Видно, что амплитуда аппроксимирующих орбитувеличивается с ростом номера шага.Рис.5.

Решения X (1) (t ) , X (2) (t ) , X (3) (t ) и предельный цикл X (t ) .В реальных полярных координатах (r , ϕ ) приближённому решению X (3) (t )системы (3.1) соответствует аппроксимативная траектория летательного аппарата:r (t ) = 628.32 + 6.471sinω t + 1.480cos ω t + 0.129sin 3ω t + 0.00 9cos3ωt ++ 0.012sin 5ωt + 0.0005cos5ωt ,ϕ (t ) = 6.793 + 299.2 t − 6.759cos ωt + 0.072sin ωt − 0.0328cos3 ωt −− 0.0182sin 3ωt − 0.0013cos5ωt − 0.0013sin 5ωtсо значением частоты ω = 0.457 и ϕ (0) = 0 .В разделе 3.6 полагаем λ1 = λ2 = ε , λ3 = 2 + 2ε , 0 < ε < ε = 0.095 , дляупорядочения λ1 ≤ λ2 < λ3 управляющих параметров µ1, µ2 , µ3 .

В этих условияхтеорема 2.2 гарантирует существование устойчивого предельного цикла длясистемы уравнений (3.1). Первый шаг ( N = 1) метода гармонического баланса для(3.1) приводит к приближённому периодическому решению X (1) (t ) вида x1 (t ) = −bµ1 ( µ2 + µ3 )sinω t + bω( µ2 + µ3 )cos ω t x2 (t ) = bµ3 sinω t + bωcos ω t x (t ) = b sinω t 3(3.4)с ω = α 2 и b = 2 γ −1 − 1 , где γ = α1α 2 − α 3 , коэффициенты α1,α 2 ,α 3 определенысоотношениями (3.3) и 0 < γ < 1 .

Кривая (3.4) представляет собой эллипс в17центрированных координатах (2.5). При этом оказывается, что для X (1) (t )относительная невязка δ o → 0 как при ε → 0 так и при ε → ε . Итак, в данныхпредположениях на поведение величины ε (а значит, и на параметры µ1, µ2 , µ3 ) ужена первом шаге метода получаем хорошее (эллиптическое) приближение искомогопредельного цикла.В разделе 3.8 показано, что метод гармонического баланса для приближённогоаналитического определения устойчивого периодического движения спутникаможно применить в случае двух альтернативных по сравнению с (2.6) вариантоввыбора управляющей функции g ( x3 ) в системе уравнений (2.3):c1) g ( x3 ) = c − sin( x3 − ν) с c > 1 , ν =;µ1µ 2µ 38212) g ( x3 ) =с ν=, σ =.23 3(1 + ( x3 − ν + σ ) )3µ1µ 2µ 33В случае 1) функция g ( x3 ) эффективно приближается многочленами Маклорена, а вслучае 2) производная g ′( x3 ) рациональна.

Таким образом, в обеих ситуацияхсистему (2.3) можно свести к скалярному дифференциальному уравнению сполиномиальной нелинейностью. При выбранных значениях ν , σ устойчивыйпредельный цикл системы (2.3) существует для наиболее широкого диапазонауправляющих параметров µ1, µ2 , µ3 > 0 .В четвёртой главе решена обратная задача определении динамическиххарактеристик прямоугольного крыла летательного аппарата при сверхзвуковомобтекании по исходной кинематической характеристике, а именно, потенциалускоростей. Представлена методика расчета процесса обтекания тонкой несущейповерхности стационарным сверхзвуковым потоком сжимаемой идеальнойжидкости.

В качестве аппарата численного решения данной задачи применяетсятеория сплайнов. По сравнению с классическим аппаратом приближениямногочленами сплайн-функции обладают важными преимуществами: лучшимиаппроксимативными свойствами и удобством компьютерной реализациипостроенных на их основе вычислительных процедур.В разделе 4.2 рассматривается обратная задача определения значенийинтенсивности слоя диполей на поверхности крыла ∆ϕ по заданной нормальнойкомпоненте результирующей скорости потока на данной поверхности (условиенепротекания). Граничное условие на несущей поверхности для потенциалавозмущённых скоростей ϕ ( x, y, z ) с учетом постоянной скорости набегающегопотока V∞ имеет вид:∂ϕ+ V∞ sin α = 0 или, для крыла расположенного в плоскости O x y :∂n18z ( x − x1 ) ∆ϕ ( x1, y1 ) dx1 dy11 ∂ ∂(4.1)222222 2 ,2π ∂n ∂x ∫∫Ω ( y − y ) + z  ( x − x ) − β ( y − y )−βz111где Ω − часть поверхности крыла (рис.6) лежащая внутри обратного конуса Маха свершиной в точке ( x, y, z ) , β 2 = M 2 − 1 , M − число Маха набегающего потока.Таким образом, задача сводится к решению интегро-дифференциальногоуравнения7 (4.1) относительно функции ∆ϕ распределения интенсивности слоядиполей на поверхности крыла.Градиент ∇ϕ потенциала возмущенных скоростейz ( x − x1 ) ∆ϕ ( x1, y1 ) dx1 dy11 ∂ϕ ( x, y , z ) =2π ∂x Ω ( y − y ) 2 + z 2  ( x − x ) 2 − β 2 ( y − y ) 2 − β 2 z 2 ,111если найдена функция ∆ϕ , определяет скорость течения газа в каждой точкеобласти возмущенного потока внутри конуса Маха (рис.6), а также на поверхностикрыла.−V∞ sin α =∫∫Рис.6Окончательный шаг в решении обратной задачи состоит в определениираспределения давления p ( x, y, z ) по формуле Бернулли22∂ϕ ρ  ∂ϕ∂ϕ p − p∞ = −ρ V∞−+∂x 2  ∂y∂z ,где ρ − плотность газа, p∞ − давление в бесконечно удалённой точке.Величина коэффициента давления на крыле определяется из линеаризованного∂ϕуравнения Бернулли C p = − 2β ∂x .В разделе 4.3 интегро-дифференциальное уравнение (4.1) решается методомсплайн-коллокации, т.е.