Автореферат (Обратные задачи динамики подводных и летательных аппаратов), страница 3

Между тем, это понятие оказалось полезным и при изучении системобыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, так как позволяетсводить задачу описания финальной динамики системы с n степенями свободы ксоответствующей задаче для индуцированной системы с m степенями свободы (m < n , где m − размерность ИМ). Долгое время единственной работой, в которойрассматривался подобный подход, была статья Р. Смита3. В данной работе теорияинерциальных многообразий была использована для сведения изучаемой тамтрёхмерной динамической системы на двумерное инерциальное многообразие, чтодало возможность использовать теорию Пуанкаре − Бендиксона для обнаруженияустойчивых предельных циклов.

Технику инерциальных многообразий вконечномерных задачах динамики можно рассматривать как плодотворное развитиехорошо известных методов теории интегральных многообразий4.Для класса рассматриваемых в данном разделе систем ОДУ в случае нечётноговекторного поля доказана центральная симметричность периодических орбит(лемма 2.1).В разделе 2.3 принимаются следующие исходные предпосылки относительнорассматриваемой динамической системы спутник − центр обращения.1. Согласно интегралу кинетического момента материальная точка в центральном (втом числе, гравитационном) поле движется по плоской кривой.Smith R.A.

Poincare index theorem concerning periodic orbits of differential equations // Proc. London Math. Soc., (3).1984. V.48, №2. P.341-362.4Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.3102. Спутник массы m моделируется материальной точкой, на которую действуютуправляющие силы с радиальной Fr и трансверсальной Fϕ компонентами.3. Объект исследования имеет пренебрежимо малую массу: это может быть другойлетательный аппарат, или небесное тело небольших размеров, или просто точка впространстве.4. Относительное движение объекта исследования либо криволинейное с малойскоростью и малой кривизной траектории, либо прямолинейно (с постояннойскоростью), так что можно пренебречь переносной и кориолисовой силамиинерции.В предположениях 1-4 динамика летательного аппарата описываетсяуравнениямиm ( r&& − r ϕ& 2 ) = Fr ,m ( rϕ&& + 2r&ϕ& )= F ϕ .(2.1)При этом ставится обратная задача выбора радиальной и трансверсальнойуправляющих сил, обеспечивающих устойчивое периодическое движение спутникав фазовых переменных (r , r& ,ϕ& ) , где (r ,ϕ ) − полярная система координат вплоскости его обращения.Пусть управляющие силы Fr ( r , r& ,ϕ& ) и Fϕ ( r , r& ,ϕ& ) определены соотношениямиFr = m  µ 22 r 2 − rϕ& 2 − ( µ1 + µ 2 ) ( r& + µ 2r ) + g ( ϕ& )  ,Fϕ = m (2r& − µ3r )ϕ& + r 2 с постоянными µ1, µ 2 , µ3 > 0 и некоторой гладкой функцией g (ϕ& ) .

Тогда, произведялинейную замену переменныхx1 = r& + µ2 r , x2 = r , x3 = ϕ& ,(2.2)исходные уравнения движения спутника (2.1) можно записать в виде трёхмернойсистемы x&1 = − µ1 x1 + g ( x3 ),(2.3) x& 2 = − µ2 x2 + x1 ,&x=−µx+x, 33 32которая является основным объектом исследования во второй и третьей главахработы.Каждому выбору управляющих параметров µ1 , µ 2 , µ3 и допустимойуправляющей функции g (ϕ& ) соответствует вариант управления спутником.В разделе 2.4 сформулирована основная теорема данной главы. В нейполучены аналитические условия на управляющую функцию g ( x3 ) и управляющиепараметры µ1, µ2 , µ3 , при которых для системы (2.3) существует устойчивыйпредельный цикл.

Тем самым установлена возможность устойчивогопериодического движения спутника в координатах (r , r& ,ϕ& ) .ТЕОРЕМА 2.2. Пусть гладкая управляющая функция g ( x3 ) в системеуравнений (2.3) удовлетворяет условиям:11g x′( 3 ) ≤ 1для x 3 ∈ (−∞, +∞);g (ν )∃ ν > 0 : g ′(ν ) = −hи< 0= µ1µ 2 µ3 .νТогда, если для упорядочения λ1 ≤ λ2 < λ3 управляющих параметров µ1 , µ 2 , µ3справедливы оценкиh + λ1λ2 λ3 > ( λ1 + λ2 + λ3) ( λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3) , λ3 − λ2 > 2 ,(2.4)то система (2.3) обладает устойчивым предельным циклом. Таким образом,соответствующие радиальная и трансверсальная управляющие силыFr = m  µ 22r 2 − rϕ& 2 − ( µ1 + µ2 ) (r& + µ2r ) + g (ϕ& ) ,0 < g ( x3 ) ≤ mиFϕ = m (2r& − µ3r )ϕ& + r 2 обеспечивают для спутника с массой m существование устойчивой замкнутойорбиты в фазовом пространстве (r , r& ,ϕ& ) .При этом последовательно доказывается: g (v ) , g (v ) , v а) единственность точки покоя x* =  системы (2.3); µ1 µ1 µ2 б) её неустойчивость (критерий Рауса − Гурвица);в) существование двумерного инерциального многообразия в R 3с последующим применением теории Пуанкаре − Бендиксона.На рис.2,3 представлены изображения двух различных приближающихся кустойчивому предельному циклу траекторий движения спутника в центрированныхРис.2фазовых переменныхРис.3x1 = r& + µ 2r −πππ, x2 = r −, x3 = ϕ& −2µ12µ1µ 22µ1µ2 µ3с управляющей функциейg (ϕ& ) = arcctg (ϕ& −ν ) , ν =единственной стационарной точкойпараметров µ1, µ2 = 0.05 , µ2 = 2.1 .x∗ = (0,0,0)12π,2 µ1 µ2 µ3(2.5)(2.6)и значениями управляющихПеречислены также возможные альтернативные по сравнению с (2.6) вариантывыбора управляющей функции g ( x3 ) в системе уравнений (2.3).Движение спутника рассмотрено в трёх различных системах координат, аименно: в физически значимых координатах (r , r& ,ϕ& ) , обобщённых координатах (2.2)и (для случая управляющей функции (2.6)) в центрированных координатах (2.5).Данные системы переменных связаны между собой линейными преобразованиями,не нарушающими топологию фазового портрета и свойства устойчивоститраекторий, а значит, условия теоремы 2.2 обеспечивают существование замкнутойустойчивой орбиты летательного аппарата в каждом из соответствующих фазовыхпространств.В разделе 2.5 рассматривается вопрос о том как выглядит (r , r& ,ϕ& ) -устойчивоеT -периодическое движение летательного объекта в реальных полярныхкоординатах (r , ϕ ) , действующих в его плоскости обращения.

Поскольку x2 (t ) = r (t )в системе уравнений (2.3), то соответствующая радиальная компонента данногодвижения T -периодична.ТЕОРЕМА 2.4. Пусть движение спутника в координатах (r , ϕ ) отвечает его2πустойчивому T -периодическому (с частотой ω =) движению в переменныхT(r , r& ,ϕ& ) , существующему при условиях теоремы 2.2 на управляющие силыFr = m  µ 22 r 2 − rϕ& 2 − ( µ1 + µ 2 ) ( r& + µ 2r ) + g ( ϕ& )  ,Fϕ = m (2r& − µ3r )ϕ& + r 2  .T1ωЕсли число θ = , где ω = ∫ϕ& (t ) dt − средняя за период угловая скоростьT 0ωдвижения спутника, иррационально, то его плоское движение будет условнопериодическим.

В случае рационального числа θ данное движение будетkпериодическим. Если при этом θ = , где k , l − целые положительные взаимноlпростые числа, то за время lT космический аппарат совершит k оборотов вокругцентра обращения и его плоское движение будет периодическим с периодом lT .В разделе 2.6 безотносительно к задаче о движении спутника полученыпредставляющие самостоятельный интерес результаты о существованиипериодическихрешенийдлявекторныхискалярныхнелинейныхдифференциальных уравнений определённого типа.Условия g ( x3 ) > 0 , ν > 0 в условиях основной теоремы 2.2 нужны лишь для того,чтобы обеспечить (необходимое в данной физической задаче, связанной свращением спутника) сохранение положительности переменных r (t ) , ϕ& (t ) привозрастании времени.

Если же абстрагироваться от этой ситуации и ставить вопросо существовании устойчивого периодического движения у произвольной трёхмернойсистемы уравнений вида (2.3), то можно сформулировать следующий результат.ТЕОРЕМА 2.5. Предположим, что гладкая функция g ( x3 ) в системедифференциальных уравнений (2.3) удовлетворяет условиям:13g ( x3 ) ≤ m и g ′( x3 ) ≤ 1 на R ;∃ ν ∈ R : g ′(ν ) = −h < 0 и µ1µ2 µ3ν = g (ν ) .Тогда, если для упорядочения λ1 ≤ λ2 < λ3 величин µ1 , µ 2 , µ3 справедливы оценки (2.4),то система (2.3) обладает устойчивым предельным циклом.Система уравнений (2.3) сводится к скалярному уравнению третьего порядкаy′′′ + (λ1 + λ2 + λ3 ) y ′′ +( λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 3λ) y ′ +1λ 2λ 3λy =g( y)(2.7)относительно неизвестной y ( t ) = x3 ( t ) с параметрами λ1 , λ2 , λ3 > 0.ТЕОРЕМА 2.6. В условиях теоремы 2.5 на положительные параметрыλ1 ≤ λ2 < λ3 и гладкую функцию g ( x3 ) уравнение вида (2.7) обладает периодическимрешением y (t ) .В главе 3 для описанной выше математической модели движения спутника суправляющей функцией вида (2.6) решена задача аналитической аппроксимации егоустойчивой замкнутой орбиты в фазовых координатах (r , r& ,ϕ& ) и оценки периодаобращения.

С этой целью использован метод5 , 6 аналитической локализациипериодических решений дифференциальных уравнений с полиномиальныминелинейностями, а также систем таких уравнений. Суть метода состоит в заменеискомого периодического решения начальным отрезком ряда Фурье снеопределёнными коэффициентами, а также значением периода, и последующимнахождением указанных параметров из соответствующих систем нелинейныхалгебраических уравнений.

Данная процедура соответствует общей идеологииметода гармонического баланса и даёт хорошие результаты в случаях, когда удаётсясравнить приближённые и точные периодические решения.Соответствующий подход обладает рядом преимуществ по сравнению сдругимивозможными:например,cметодомКрылова–Боголюбова–Митропольского, вариационными методами, а также различными методами теориивозмущений и теории бифуркаций. Во-первых, метод гармонического баланса несвязан с наличием в системе малого параметра и позволяет находить периодическиерешения с большой амплитудой, а во-вторых, оказывается весьма простым вприменении, хотя при его реализации возникают достаточно сложные системынелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье ипериода приближённого периодического решения.Показано, что для рассматриваемой модели движения уже на третьем (а в рядеслучаев даже на первом) шаге метода удаётся получить (с приемлемой точностью)аналитические приближения для искомого устойчивого периодического решения, атакже оценить его период.