Диссертация (Термодинамический расчет параметров продуктов сгорания в камере жидкостного ракетного двигателя на основе вариационных принципов механики), страница 9

При этом принимается [3, 5]• для процесса горения в изобарной камере сгорания справедливыограничения, описанные во введении,• на выходе из камеры сгорания многокомпонентная смесь реагирующихвеществ находится в равновесном состоянии,• скорость потока - многокомпонентной смеси реагирующих веществчрезвычайно мала, и, как следствие в точке торможения на входе в соплоравна нулю.Обычно определяется, что давление p0 и температура T0 в точке торможения навходе в сопло равны, соответственно, давлению и температуре на выходе изкамеры сгорания, а для удельной энтальпии смеси h0 справедливо отношениеh0 = hT .

При этом во входном сечении сопла ЖРД многокомпонентная смесьреагирующих веществ находится в равновесном состоянииp0 , h0 = const ,математическая модель которого представляется экстремальной задачей (54)-(55),(21), (38).В качестве наиболее распространенного сопла камеры ЖРД выступаетосесимметричное сопло Лаваля, имеющее сужающуюся и расширяющуюся части,граница между которыми, характеризующаяся отношением w* = a* , именуетсякак минимальное или критическое сечение. Для процесса теченияопределяетсясправедливостьописанныхвовведениив соплеограничений,чтообусловливает справедливость для любого сечения сопла выражения sa = s0 и,как следствие, s* = s0 .

Для равновесного процесса течения многокомпонентнойсмесивеществвхарактеристики, каксоплекорректны,вчастности,такиеспециальные63• присутствие (реагирующая смесь) или отсутствие (замороженная смесь)химических реакций,• справедливость уравнения состояния идеального газа или уравнениясостояния реального газа.В большинстве случаев для любого сечения сопла камеры ЖРД определяется, чтомногокомпонентная смесь реагирующих веществ находится в равновесномсостоянииp a , s0 = const , математическая модель которого представляетсяэкстремальной задачей (56)-(57), (21), (38).НередкосечениесоплакамерыЖРДзадаетсягазодинамическимихарактеристиками, например, числом Маха M a , геометрической степеньюрасширенияF a .

Пусть для параметра ψ aсправедлива принадлежностьψ a ∈ {p a , Ta , ε a , M a , F a }. Тогда, если ψ a отличен от p a , ε a или Ta , тотермодинамический расчет параметров продуктов сгорания в сеченииaосновывается на решении системы уравненийψ ( pa , Ta ) = ψ (0) ,(100)s( pa , Ta ) = s0 ,(101)относительно p a или Ta .Известные значения термодинамических характеристик обеспечиваютопределенность энергетических и газодинамических параметров, описываемыхформальными выражениями• для сечения сопла, отличного от входного: степень расширения подавлению ε a (5), скорость потока wa (4), удельная площадь сечения f a(2), число Маха M a =wa, гдеaaMa =wa,aa(102)64lnкоэффициент изоэнтропы na =p0pap µ T ln 0 0 a  T0 µ a p a ,м• для минимального сечения сопла: расходный комплекс β* = p0 f* ,   ,c• для выходного сечения сопла: геометрическая степень расширения F a ,гдеFa =fa,f*удельный импульс в пустоте I уп a (1),K тп a =I уп aβ*(103)тяговый комплекс в пустоте.1.2.

Математические свойства множеств, функций и задачматематических моделейКак указано ранее, состав термодинамической системы при определенииN ( max ) = ∑ bi представляется точкой многомерного пространстваi∈ X{}ℵ = n | n = ( N ,..., x j ,...,nk ,...) ,где x j ∈ [0,1] , j ∈ B( g ) , nk ∈ [0, n ( max ) ] , k ∈ B(c ) , N ∈ [ε N , N ( max ) ] .Множество ℵ является ограниченным, замкнутым и в силу принадлежностиконечномерномуметрическомупространствуполным,тоестьлюбая(l )последовательность n является фундаментальной и сходится, причемl =1,2,...65однозначно, к некоторой точке n(0)∈ℵ [39, 64, 73, 80].Современные компьютерные технологии характеризуются дискретностью иограниченностью в смысле представления чисел и выполнения вычислений вразумные сроки. А потому очевидна справедливость определения с приемлемойдля термодинамики (то есть термодинамического расчета состояний и процессовмакромира) точностью условной эквивалентности интервалов [0,1] , [ε X ,1] , гдеε X - некоторая компьютерная структура, представляющая наименьшее число.Отсюда выводится, что для любой точки n множества ℵ и для любого веществаj ∈ B( g )•с одной стороны, с математической точки зрения всегда существуетln x j в силу положительности x j ∈ [ε X ,1] ,•с другой стороны, для математического определения x j = ε X спозиций компьютерных технологий справедливо отношение x j = 0 .Пусть каждой точке n ∈ℵ поставлена в соответствие точка q , гдеq = ( N ,..., v j ,..., nk ,...) , отличающаяся от точки n толькокоординатами длявеществ j ∈ B( g ) , формируемыми в виде v j = Nx j .

Тогда множество Q каксовокупность точек q и множество ℵ эквивалентны, то есть справедлива записьℵ − > Q , где θ есть взаимно-однозначное отображение и для любого n ∈ℵ :θq = θ (n) , а для любого q ∈ Q : n = θ −1 (q ) . Множеству Q присущи все свойствамножества ℵ и, более того, оба множества Q и ℵ выпуклы и компактны [39, 64,73, 80, 131].Пусть ℵ(0) есть множество решений системы уравнений (21), (38), амножество Q (0) - множество решений системы уравнений∑ vj − N = 0,j∈B( g )(104)66∑ aij v j + ∑ aij n j = bi , i ∈ X ,j ∈ B( g )(105)j ∈B( c )во множестве точек Q , то есть ℵ(0) ⊆ ℵ и Q (0) ⊆ Q . Очевидно, что системауравнений (21), (38) и система уравнений (104), (105) эквивалентны, а значит имножества ℵ(0) и Q (0) эквивалентны, и существует взаимно-однозначноеотображениеℵ(0) − > Q (0) .θЛинейностьсистемыуравнений(104),(105)обусловливает замкнутость и выпуклость множества Q (0) и, как следствие, егополноту и компактность.Далеепринимается,еслинеоговореноиное,чтогазоваяфазамногокомпонентной смеси удовлетворяет свойствам идеальности.Какследуетизописанияматематическихмоделей,длялюбогоиндивидуального вещества j ∈ B в стандартном состоянии при температуре[T ∈ T j ,T j]справедливыоценкиH ≤ H (j0) (T ) ≤ H ,S ≤ S (j0) (T ) ≤ S ,Cp ≤ Cp (j0) (T ) ≤ Cp , то есть в соответствии с (46)-(53) энтальпия, энтропия иэнергия Гиббса термодинамической системы - ограниченные функции.{}Пусть введено в рассмотрение множество K = ξ | ξ = ( p, T , n), n ∈ℵ , гдепараметры p и T принадлежат соответствующим линейно-связным, ограниченными замкнутым промежуткам существования, которые удовлетворяют условию: длякаждого веществаj ∈ B в любой точке интервала T ∈ [T , T ] определенытермодинамические свойства.

Очевидно, что множество К ограниченно изамкнуто и, как следствие, является полным и компактным пространством.Пусть для множества К определены отображения: K − > Χ H , K − > Χ S , гдеHSдля любого ξ ∈ K : H (ξ ) ∈ Χ H и S (ξ ) ∈ Χ S , причем отображения представленысоотношениямиH (ξ ) = N∑ x j H j (T ) + ∑ nk H k (T ) ,j∈ B( g )k ∈ B( c )67S (ξ ) = N∑ x j S j ( p,T , n) + ∑ nk S k (T ) .j∈ B( g )k ∈B( c )Определенность, конечность и однозначность N, x j и функций x j H j (T ) ,x j S j ( p, T , n) для любого j ∈ B( g ) , параметров nk и функций nk H k (T ) , nk S k (T )для любого k ∈ B(c ) , обусловливают справедливость положения: отображенияH (ξ ) , S (ξ ) есть функции [39, 64, 73, 80, 131, 146-147].Пусть во множестве K выделена некоторая сходящаяся последовательность(l )ξ (l ) , для которой справедливы отношения ξ ∈ K для любого l = 1,2,...l =1,2,...и lim ξ(l )l →∞ξ( 0)=ξ( 0), где ξ=  p (0) , T (0) , nlim n(l )l →∞=n(0)( 0)∈ K .

Тогда при представлениях ξ( 0) =  p (l ) , T (l ) , nlim p (l ) = p (0) ,получается(l )l →∞(l )  иlim T (l ) = T (0) ,l →∞[39, 64, 73, 80, 131, 146-147]. Из справедливости пределов:[])] = Nlim nk(l ) H k (T (l ) ) = nk(0) H k (T (0) ) ,l →∞[lim N (l ) x (jl ) H j (T (l )l →∞при k ∈ B(c ) и при( 0) ( 0)x j H j (T ( 0) )(l )( 0)j ∈ B(g ) следует lim H  ξ  = H  ξ  . Аналогично изl →∞ справедливости пределов:••[lim {N]lim nk(l ) S k (T (l ) ) = nk(0) S k (T (0) ) , где k ∈ B(c ) ,l →∞l →∞()}[)]((l ) ( l )x j S j p (l ) , T (l ) , x (jl ) = N (0) x (j0) S j p (0) , T (0) , x (j0) ,гдеj ∈ B(g ) ,выводится(l )(0)lim S  ξ  = S  ξ  .l →∞ Следовательно,функциинепрерывны на множестве К, то есть множества Χ H , Χ SH (ξ ) ,S (ξ )замкнуты иограниченны, а функции H (ξ ) , S (ξ ) на множестве К равномерно непрерывны и68достигают на этом множестве своих верхних и нижних границ [39, 64, 73, 80,131].{}Пусть введено в рассмотрение множество Z = ς | ς = ( p, T , q ), q ∈ Q , гдеинтервалы существования p ∈ [ p, p ] , T ∈ [T , T ] удовлетворяют ранее описаннымсвойствам, и определены отображения∑ v j H j (T ) + ∑ nk H k (T ) ,H (ς ) =j ∈B( g )S (ς ) =k ∈B( c )∑ v j S j ( p,T , q) + ∑ nk S k (T ) ,j∈ B( g )[k ∈B( c )]где S j ( p, T , q ) = S j ( p, T ) − R0 ln v j − ln N .