Диссертация (Термодинамический расчет параметров продуктов сгорания в камере жидкостного ракетного двигателя на основе вариационных принципов механики), страница 8

Но отсюда выводится,что для любой точки n(*)- решения системы дифференциальных уравнений,полученной любым из методов, справедливо отношение n(*)∈ℵ . Следовательно,решение системы дифференциальных уравнений есть точка множества ℵ ,которая есть одно из решений системы уравнений (21), (38).Классическиематематическиемоделиравновесныхсостоянийпредставляются следующими экстремальными задачами.1. Пусть термодинамическая система находится под давлением p0 иобладает энтальпией H 0 .

Тогда температура T (*) и точка n(*)∈ℵ ,соответствующие равновесному состоянию p0 , H 0 = const системы,выступают решением экстремальной задачиS ( p0 , T (*) , n(*))=max[ ]T ∈ T ,T , n∈ℵS ( p0 , T , n )(54)при справедливости для любых Т и n ∈ℵ системы уравнений (21),(38) и уравненияH ( p0 , T , n) = H 0 .(55)2. Пусть термодинамическая система находится под давлением p0 иобладает энтропией S 0 .

Тогда температура T (*) и точка n(*)∈ℵ ,соответствующие равновесному состоянию p0 , S 0 = const системы,выступают решением экстремальной задачи(*)H ( p0 , T (*) , n ) =min[ ]T ∈ T ,T , n∈ℵH ( p0 , T , n)(56)при справедливости для любых Т и n ∈ℵ системы уравнений (21),(38) и уравненияS ( p0 , T , n ) = S 0 .(57)543. Пусть термодинамическая система находится под давлением p0 ипри температуреT0 . Тогда точкаn(*)∈ℵ , соответствующаяравновесному состоянию p 0 , T0 = const системы, является решениемэкстремальной задачиG ( p0 , T0 , n(*)) = min G ( p0 , T0 , n)(58)n∈ℵпри справедливости для любого n ∈ℵ системы уравнений (21), (38).Известныезначенияпараметров состава итермодинамических функцийпозволяют вычислить такие дифференциальные характеристики, как•изобарный коэффициент расширения α p =1  ∂V   1  ,   , то естьV  ∂T  p  K (ε )1V ( p, T + ε , n ) − V ( p, T , n),α p ( p, T , n) = limεV ε →0•1  ∂V  ,изотермический коэффициент сжатия βT = − V  ∂p T(59) 1  , то есть Па (ε )1V ( p + ε , T , n ) − V ( p, T , n)βT ( p, T , n) = − lim,εV ε →0•(60) ∂H  Джтеплоемкость C p = при p = const , то есть , ∂T  p KC p ( p, T , n) = limH ( p, T + ε , n(ε )) − H ( p, T , n)εε →0,(61)или удельная теплоемкость при p = constc p ( p ,T ,n ) = 10 − 3C p ( p ,T ,n )mT,кДж,кг ⋅ K(62) ∂H  Джпри p = const замороженной смеси,• теплоемкость C p f =  , ∂T  p Kто есть55H ( p, T + ε , nC p f ( p, T , n) = lim(ε )) − H ( p, T , n )εε →0,(63)или удельная теплоемкость при p = const замороженной смесиc p f ( p ,T ,n ) = 10 − 3•C p f ( p ,T ,n )mT,кДж,кг ⋅ K(64) ∂U  Джтеплоемкость Cv = при V = const , то есть ,∂TKpCv (V , T , n) = limU (V , T + ε , n(ε )) − U (V , T , n)εε →0,(65)или удельная теплоемкость при V = constcv ( V ,T ,n ) = 10 − 3Cv( V ,T ,n ) кДж,,кг ⋅ KmT(66)где для внутренней энергии U справедливо выражение U = H − pV ,• ∂U  Джтеплоемкость Cv f = при V = const замороженной смеси, , ∂T  p Kто естьCv f (V , T , n) = limU (V , T + ε , n(ε )) − U (V , T , n)εε →0,(67)или удельная теплоемкость при V = const замороженной смесиcv f ( V ,T ,n ) = 10 − 3•Cv f ( V ,T ,n )mTкДж,кг ⋅ K(68)коэффициент адиабатыχ=•,CpCv,(69)коэффициент адиабаты замороженной смесиχf =CpfCv f,(70)56• ∂p  мскорость звука a =   , , то есть ∂ρ  S сa ( p, T , n) = limp( S , ρ + ε , n(ε )εε →0•) − p ( S , ρ , n),(71) ∂p мскорость звука для замороженной смеси a f =   , , то есть ∂ρ  S сa f ( p, T , n) = limp ( S , ρ + ε , n) − p ( S , ρ , n)εε →0.(72)Пусть термодинамическая система находится в замороженном равновесномсостоянии.

В этом случае, математические модели равновесных состоянийp0 , H 0 = const , p0 , S 0 = const , p0 , T0 = const сохраняют свои постановки в видеэкстремальных задач, соответственно, формы (54)-(58).Как отмечено в работах [5, 25], обоснованной формой уравнения состоянияреального газаj ∈ B( g ) , незначительно отличающегося от идеального (19),имеющего температуру Tи характеризующегося относительно невысоким3Bj м , где v j ,давлением p , является формальное выражение pv j = R0T 1 +vмольj есть молярный объем, а B j ,м3представляет второй вириальный коэффициент.мольПри этом показано [65], что при фиксированных параметрах Леннарда-Джонсаε σ j , Å и   , K функция B j (T ) является строго выпуклой и удовлетворяетkjнеравенствуd 2 B j (T )dT 2< 0 , то есть имеет максимум, и притом единственный.

Вкачестве наиболее известной формулы для вычисления второго вириальногокоэффициентавыступает2c j = 10 − 6 πσ 3j N A ,3м3имольвыражение[79]:23N A = 6,02214 ⋅ 10 ,( )(*)B j (T ) = c j B (*),j Tj−1где1ε , T j(*) = T   . Итак,мольkj57( )(*)приведенный второй вириальный коэффициент B (*)имеет те же свойства,j Tjчто и исходный коэффициент B j (T ) .В работах [5, 130] также определено, что в качестве рациональной формыуравнения состояния реального газа для газовой фазы термодинамическойсистемы, имеющей температуру T и характеризующейся относительно невысокимдавлением p, выступает соотношениеBpv = R0T 1 +  ,vгде v ,(73)м3м3есть молярный объем, а B ,- второй вириальный коэффициент.мольмоль()Для второго вириального коэффициента B p, T , n справедливо определение [5]() ∑ ∑ xi x j Bij (T )B p, T , n =i∈ B ( g ) j ∈ B ( g )или()B p ,T ,n =∑ xi Bi ( p ,T ,n ) ,(74)) ∑ x j Bij (T ) ,(75)i∈B( g )где(Bi p, T , n =j ∈B( g )обеспечивающее, как указано в работе [130], возможности в разработкем3универсальных технологий расчетов.

Коэффициенты Bij ,, на которых,мольсобственно, базируется уравнение состояния реального газа (73) и соотношениявычислениявтороговириальногокоэффициента(74)-(75),определяютвзаимодействие веществ i, j ∈ B( g ) и представляются в виде [5, 79]( )Bij (T ) = cij Bij(*) Tij(*) .При этом для (76) справедливы определенияTij(*)(76)−1σi + σ jε = T   и при σ ij =и2 k  ij582 −6 3м3cij = 10 πσ ij N A ,, cij = 1,2612 ⋅ 10 −6 σ ij3 .3мольε ε  ε   =     выражения k  ij k i  k  jТермодинамические функции термодинамической системы, газовая фаза которойудовлетворяет уравнению состояния реального газа, остаются экстенсивными и всоответствии с определениями (46)-(53) представляются в виде•энтальпияH ( r ) ( p , T , n) = N∑ x j H (jr ) (T ) + ∑ n j H j (T ) ,j ∈B( g )(77)j∈ B( c )или приведенная энтальпияH(r )( p, T , n) = N(r )∑xj H j( p , T , n) +j ∈ B( g )•∑ n j H j (T ) ,(78)j∈ B( c )энтропия∑ x j S (jr ) ( p,T , n) + ∑ n j S j (T ) ,S ( r ) ( p , T , n) = Nj ∈B( g )(79)j∈ B( c )или приведенная энтропияS(r )( p, T , n) = N(r )∑xjS j( p, T , n) +j∈ B( g )•∑ n j S j (T ) ,(80)j ∈B( c )энергия ГиббсаG ( r ) ( p, T , n) = N∑ x j G (jr ) ( p,T , n) + ∑ n j G j (T ) ,j ∈B( g )(81)j ∈B( c )или приведенная энергия ГиббсаG(r )( p, T , n) = N(r )∑xjG j( p, T , n ) +j∈ B( g )∑ n j G j (T ) ,(82)j ∈B( c )(r )(r )где параметры G (jr ) и µ (jr ) , а также приведенные параметры G j и µ jестьсинонимы.Как известно, для молярного парциального объема веществаj ∈ B( g )справедлива формулаv (jr ) ∂µ (jr ) ( p, T , n)  .=∂pT , n(83)59Интегрирование выражения (83) приводит к соотношениюµ (jr ) ( p, T , n)−µ (jr ) ( p0 , T , n)p= ∫ v (jr ) ( p, T , n)dp .p0Известно [123], что при существенном снижении давления p0 химическийпотенциал µ (jr ) ( p0 , T , n) газа, удовлетворяющего уравнению состояния реальногогаза, становится равным химическому потенциалу идеального газа µ j ( p0 , T , n) ,то есть справедливо соотношениеµ (jr ) ( p, T , n)p(r )vj→0 ∫− lim µ j ( p0 , T , n) = limp0 → 0p0( p, T , n)dp .(84)p0И, более того, интегрирование (83) при условии, что рассматривается идеальныйгаз, приводит к формулеpµ j ( p, T , n) − lim µ j ( p0 , T , n) = limp0 → 0p0 → 0∫ v j ( p,T , n)dp .(85)p0Вычитая из уравнения (84) уравнение (85), несложно вывести формальноевыражениеµ (jr ) ( p, T , n)p− µ j ( p, T , n) = limp0 → 0∫v (jr ) ( p, T , n)dpp0p− limp0 → 0∫ v j ( p,T , n)dpp0илиpµ (jr ) ( p, T , n)[]= µ j ( p, T , n) − ∫ v j ( p, T , n) − v (jr ) ( p, T , n) dp ,0что при определении α j ( p, T , n) = v j ( p, T , n) − v (jr ) ( p, T , n) [5] преобразуется ксоотношениюpµ (jr ) ( p, T , n)= µ j ( p, T , n) − ∫ α j ( p, T , n)dp ,(86)0где по мнению авторов работы [5] справедливо выражениеα j ( p, T , n) = B ( p, T , n) − 2 B j ( p, T , n ) .(87)60Таким образом, с учетом выражений (81)-(82) для энергии Гиббса получаетсяG(r )∑( p, T , n) = G ( p, T , n) − Npx j ∫ α j ( p, T , n)dpj ∈B( g )(88)0или, соответственно,NG(r )( p, T , n) = G ( p, T , n) −∑j ∈ B( g )px j ∫ α j ( p, T , n)dp0TR0(89)при учете (32).

Использование известных соотношений [5]S (jr ) ( p, T , n) ∂µ (jr ) ( p, T , n)  , S ( p, T , n) = − ∂µ j ( p, T , n)  ,= −j∂T∂T p, n p, nа также формального выражения (86) обеспечивают построение формулыS (jr ) ( p, T , n)p∂α j ( p, T , n) = S j ( p, T , n) + ∫dp .∂T0 p, n(90)Следовательно, с учетом выражений (79)-(80) для энтропии (90) выводитсяS(r )( p , T , n) = S ( p, T , n) + Np∑ x j ∫ j ∈B( g )0∂α j ( p, T , n) dp∂T p, n(91)и, соответственно,p∂α j ( p, T , n) N ∑ xj∫dp∂Tj∈B0(g) p, n(r )S ( p, T , n) = S ( p , T , n) −R0(92)при учете (29).

Известные положения термодинамики, а также (26) определяютH j ( p, T , n) = µ j ( p, T , n) + TS j ( p, T , n) ,(93)H (jr ) ( p, T , n) = µ (jr ) ( p, T , n) + TS (jr ) ( p, T , n) .(94)Из (93)-(94) получаетсяpH (jr ) ( p, T , n)  ∂α j ( p, T , n) = H j (T ) + ∫ T− α j ( p, T , n)dp .∂T0  p, n(95)61Следовательно, при учете определений (77)-(78) для энтальпии (95) можноопределитьpH(r )  ∂α j ( p, T , n) ( p, T , n) = H ( p, T , n) + N ∑ x j ∫ T− α j ( p, T , n)dp (96)∂Tj∈ B( g )0  p, nи, соответственно,  ∂α j ( p, T , n) N ∑ x j ∫ T− α j ( p, T , n)dp∂Tj ∈ B( g )0  p, npH(r )( p, T , n) = H ( p, T , n) +TR0(97)при учете (28).В соответствии с известными и описанными ранее положениямитермодинамики [25, 123] математические модели определения равновесногосостояния термодинамической системы при учете для газовой фазы уравнениясостояния реального газа, описываются экстремальными задачами, аналогичными(54)-(58) при дополнительном рассмотрении таких, например, утверждений, как•закон действующих масс(r )µ j ( p, T , n ) −(r )∑ aij µ i ( p,T , n) = 0 ,j ∈ B( g ) ,(98)i∈ A( g )где выражение (98) подобно (39),•закон равенства химических потенциалов фаз(r )µ j ( p, T , n ) = µ k (T ) , k ∈ Γ j , j ∈ B((gΓ)) ,(99)где отношение (99) аналогично (35),•правило взаимосвязи фаз по аналогии с (40)-(41)()− если n (jΓ ) = 0 , где j ∈ B((gΓ)) , то ln x j ≤ τ (jkr ) p, T , n ,()− если существует k ∈ Γ j такое, что nk > 0 , то ln x j = τ (jkr ) p, T , n ,()(r )и где по аналогии с (42) τ (jkr ) p, T , n = µ k (T ) − µ jk ∈ Γ j при j ∈ B((gΓ)) ,( p, T , n ) ,[T ∈ T k ,T k]и62правило фаз Гиббса (43).•Анализдифференциальныххарактеристиксоставляютсоотношения,аналогичные формальным определениям (59)-(72).Преобразование тепловой энергии многокомпонентной смеси веществ,полученной в результате сгорания топлива в камере сгорания, в кинетическуюэнергию потока реализуется в сопле.