Диссертация (Система управления приоритетным обслуживанием воздушных судов при заходе на посадку и пассажиров в аэропорту после прилета), страница 11

При этом на каждом шагепреобразованиям подвергается одна и та же исходная матрица II. Заторезультатом каждого шага является получение ―своей‖ l – той матрицы III, вкоторой в правом столбце указаны координаты l – той соседней вершины.Поэтому в конце третьего блока вычислений получается n – матриц III.Четвертыйблокявляетсязавершающим.Послесоставлениянеравенств(3.3), дающих интервальную оценку искомых коэффициентов Ci ,можно назначить их точечные значения внутри интервалов и затем дляпроверки найти решение прямой задачи с восстановленной целевойфункцией.

Если полученный результат альтернативного выбора совпадает сзаданным ЛПР ответом, то идентификацию можно признать успешной, анайденная форма критерия может быть использована для других целей.Например, можно сравнить полученное значение Z с некоторым идеальнымслучаем попадания координат X i в вершину n-мерного параллелепипеда,―противостоящую‖ началу координат, и в результате сравнения оценитьэффективность оптимизации при назначенных ограничениях (3.5) (см.вершину W на показанных ниже рис 3.4 и рис 3.5).Можно использовать также полученную целевую функцию при другихнеравенствах (3.5) в новых условиях, которые могут меняться, что частобывает в инженерной практике. Тогда в динамической обстановке удастсярешать новую прямую задачу линейного программирования с известнымкритерием, что упростит необходимые действия.

Сравнительный анализпрямого и обратного симплекс-методов и проверка их эффективностипроиллюстрированы для примера 1 совокупностсовокупностью таблиц 3.10.82Картина сравнительно анализа показывает, чтовершина, найденная спомощью полученной обратным методом целевой функции, совпала сисходной вершиной D, однако значение целевой функции Z имеет сильноерасхождение, что очевидно из-за неточного интервального оцениваниявесовыхкоэффициентовсверткиCiПоэтому.целесообразнопроанализировать, от чего эта точность зависит, и понять, есть ли способыееповышения.Таблица 3.10.

Картина сравнительного анализа прямого и обратногосимплекс-методовПрямой симплекс-метод при(1) Табл 1. Исходные данные дляначала координатZ-11-104211301000001000200241(2)Табл 2. Данные для вершины FZ0010(1)Таблица 1. Новые исходныеданные101(1)Матрица I с нулевыми переменнымив оптимальной вершине800Повторный расчет при полученнойцелевой функции000Обратный симплекс-метод безцелевой функции0301-200-110100100-110700-301121000110100010010430001810000121000-110100010010430001Z1224(2)Матрица II для оптимальнойвершины с целью нахождения соседнихвершин081224(2)Табл 2.

Новые данные длявершины F1611210011-30301001021010-2000-405142Z1,500100301-200-110100100-110700-3011611283(3)Табл 3. Данные для вершины EZ000100010001000(3)Табл 3. Матрица III для вершины E01031-1147000130011-30100100110004-7000(3)Табл 3. Новые данные длявершины E32Z121414Матрица III для вершины C(4)Табл 4. Данные для оптимальнойвершины D0-1,4100,6010,800-0,21,610-0,6000,44,400-0,8010,20,4(4)Составление неравенств (3)000001130010010100-110000471321144,20Обратный симплекс-метод без целевойфункцииПрямой симплекс-метод при0Повторный расчет при полученнойцелевой функции(4)Табл 4.

Новые данные дляоптимальной вершины D{Z000011-300100101010-2000-4051(5)Ответ0Z0030020420(5)Ответпусть(5)Ответ00011301001010102000405143242843.6 Оценкаточностирешенияобратнойзадачилинейногопрограммирования при одной заданной оптимальной вершинеАнализируя системунеравенств (3.3) для искомых коэффициентов Ci ,становится ясным, что наибольшая точность идентификации достигается вслучае, если этой системе соответствует группа двухсторонних допусков накаждой коэффициент.

Покажем это в частных случаях.Рис 3.5. Расположение оптимальной и двух соседних вершин в двумерномслучае.На рис3.5 рассмотрен случай при n=2. Точки M 1 и M 2 – значениякоординат прямоугольника, которые надо еще уточнить. Диагональ,соединяющая эти точки – граница, выше которой должен находитьсявыпуклый многогранник,новнутри выделенного треугольника. Точка D заданная оптимальная вершина, а диагональ, соединяющаяначало координатA и ―верхнюю грань‖ W (при которой целевая функция Z в идеальном случаедостигнет абсолютного максимума), будет использоваться как верныйпризнак качества решения обратной задачи.Чтобы доказать это, представим точку D расположенной на этойдиагонали между точками T и W.

Тогда, считая соседними точки M 1 и M 2 ,можно записать неравенства (3.3) в видеC1 X1 (0)  C2 X 2 (0)C1M1 или C1[M1  X1 (0)]C2 X 2 (0)C1 X1 (0)  C2 X 2 (0)  C2 M 2 ] или C1 X1 (0)C2 [M 2  X 2 (0)]85Откуда получаем двусторонний допуск на отношениеC2C1M 1  X 1 (0) C2X 1 (0)X 2 (0)C1 M 2  X 2 (0)(3.7)Неравенство (3.7) позволяет сразу убедиться, что если переместитьточку Dпо диагонали в точку W( X1 (0)  M1 , X 2 (0)  M 2 , ), то получим0  C2  1   , т.е обратный симплекс-метод нам не даст никакого уточнения.Если же наоборот, переместить точку D в точку T, то левая и правая границыдопуска в (3.7) становятся равными друг другу и достигают значенияM1.M2Значит, нахождение заданной вершины D по отношению к точкам TиWопределяют относительную точность, которую можно оценить с помощьюследующего коэффициента относительной эффективности Э обратногосимплекс-метода.Э  2 1 n(0) 2MiXi 1ni 12i(3.8)В частности, для примера 1 максимальное значение координаты X 1 внайденном на рис.

3.1 многограннике равно M1  6 , для координаты X 2 этозначение равно M 2  2 , а координаты оптимальной вершины D нам заданы:X1 (0)  4 ; X 2 (0)  2 . Поэтому для точки D получим Э  0,57 , а соответственнодля точки T значение Э  1 , для точки W значение Э  0 .Остается не до конца исследованным вопрос – какие значения M i реберn-мерного параллелепипеда нужно брать при расчетах. В приведенном вышерасчете предполагалось, что после воссоздания целевой функции всевершины многогранника с помощью прямого симплекс-метода становятсяизвестными, и затем можно определить максимальные значения переменныхX i , приняв из за M i .Но это не единственный способ.

Можно воспользоваться86максимальными значениями X i , считая неравенства (3.3) за равенства. В этомслучае не потребуется решать прямую задачу целиком, однако полученныезначения M i будут завышены (в примере 1 согласно рис 3.1 значенияM1  M 2  8 вместо истинных M1  6 , M 2  2 .)Другим способом является расчет ближайших к началу координатвершин, если поочередно принять гипотезу Ci  1 ; Ci  j  0 ; j  1....n и решатьпрямую задачу nраз, но по одному шагу расчетов в каждой задаче. Тогдаоценки M i будутзанижены ( в примере 1 этому способу соответствуютвершины Fи R с координатами M1  6 ; M 2  1 ). В данной работе выбранпервый способ полного решения прямой задачи, хотя этот вопрос требуетдальнейших исследований.Рис 3.6.

Расположение оптимальной и трех соседних вершин при n=3Перейдем к рассмотрению случая n=3, проиллюстрированного на рис3.6. Согласно рисунку, на главной диагонали AW точка T находится награнице плоскости, имеющей вид показанного пунктиром треугольника свершинами M 1 , M 2 , M 3 . Если назначенная оптимальной является вершина 1,лежащая на главной диагонали в виде точки T, то эффективность обратнойзадачи совершенно аналогично двухмерному случаю может быть оценена спомощью формулы (3.8). Вместе с тем можно убедиться с помощьюрасчетов, что показанная на рис 3.6 промежуточная позиция вершины 1 внетреугольной призмы M 1 , M 2 , M 3 , но внутри параллелепипеда позволяет87представить неравенства (3.3) в форме двухстороннего допуска на искомыекоэффициенты критерия Ci .

В частности, если принять координаты точки 1X 0 (i)  m0 , а координаты точки 2,3,4 какX l (k 1)  X l (k )  max; X l (k  1)  0 , нонеравенства (3.3) можно свести к следующим неравенствамC1  C2  C3   C1  C2  dC1  C2  C3   C2  C3  dC1  C2  C3   C1  C3  dили получить оценки, ограниченные сверху и снизу33i ji jCi ) d  1  Ci C j ( Ci  d maxi j1d 1(3.9)3.7 Примеры использования обратного симплекс-метода в задачеобеспечения безопасных дистанций между самолетами в воздушномэшелоне при заходе на посадкуПри заходе на посадку самолеты гражданской авиации должныподлетать к аэродрому в заданном коридоре на безопасных дистанциях друготдруга.Существующиелетныенормыопределяютминимальнодопустимую дистанцию в обычных штатных полетных ситуациях. Однакопри ухудшении погодных условий, недостаточном запасе топлива на борту идругих экстренных случаях наземная авиадисперческая служба принимаетособые альтернативные решения по дополнительному маневрированиюодного, двух или трех самолетов, исходя как из условий безопасностидвижения в воздушном эшелоне, так и учитывая экономичность их полета.Особенно часто усложненная задача принятия решений происходитпри входе в коридор дополнительного самолета (например находящегося ваварийной ситуации) между двумя уже летящими в эшелоне самолетами.Примеры выбора авиадиспетчером альтернатив по времени дополнительногоманеврирования самолетов известны, однако если спросить у него, каков88единый критерий безопасности и экономичности полета им используется,ответ будет отрицательный.