Бондаренко В.Н., Тяпкин В.Н., Дмитриев Д.Д. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.Н.Бондаренко (2013), страница 12

Показатели качества систем радиоавтоматики73Коэффициент C0 в соответствии с соотношением (1.81)pi A( p)C0  K e (0)  ip A( p)  Ki B( p)pi ip  Kip 0.p 0Для статических систем (i = 0) C0 = 1/(1 + K0), а для астатическихсистем C0 = 0.Определим динамические ошибки типовых систем при линейномвоздействии (изменение с постоянной скоростью) x(t) = xt.В соответствии с формулой (1.82) динамическая ошибка (ошибка поскорости) определяется по формулеeд (t )  C0 ν xt  C1 ν x .Для статической системыeд (t ) νxt,1  K0так как вклад составляющей C1x значительно меньше, чем C0 x(t), котораярастет линейно со временем.

Таким образом, скоростная ошибка в статических системах накапливается со временем со скоростью x/(1+K0), чтоделает неприемлемым использование таких систем при меняющемся воздействии. Для астатических систем C0 = 0 и скоростная ошибкаeд (t )  C1 ν x .Нахождение коэффициента ошибки C1 с использованием формулы(1.81) затруднительно.

Более простой способ его вычисления основан насравнении точного выражения для передаточной функции Ke(p) и аппроксимирующего ее ряда:C0  C1 p C2 2p i A( p )p  i.2p A( p )  K i B ( p )(1.83)Уравнение (1.83) можно представить в видеC2 2 ii p A( p)  Ki B( p)    C0  C1 p  2 p   p A( p).(1.84)Полагая i = 1 (астатическая система первого порядка) и приравниваякоэффициенты при переменной p в левой и правой частях уравнения,находим741.

Основы теории линейных непрерывных автоматических системC 0 (1  bm -1  K 1 )  C1 K 1  1или C1 = 1/K1, так как C0 = 0.Таким образом, скоростная ошибка системы первого порядкаастатизма eд =x/K1 определяется усилением разомкнутой системы K1 и независит от времени. Параметр K1, имеющий размерность c –1, называетсядобротностью системы по скорости (чем выше добротность, тем точнеесистема).Для астатической системы второго порядка скоростная ошибка равнанулю, так как оба коэффициента C0 = C1 = 0. Равенство C1 = 0 вытекает изуравнения (1.84), так как в правой части уравнения не содержитсяслагаемое, в которое входила бы переменная p (есть только с p2 и выше).Оценим динамические ошибки типовых систем при квадратичномвоздействии (изменение с постоянным ускорением) x (t )   x t 2 / 2 .В соответствии с выражением (1.82) для динамической ошибки(ошибки по ускорению) запишем следующее:eд (t ) C0 2Cvxt  C1vxt  2 vx .22(1.85)Для статической системы ошибка по ускорениюeд (t ) vxt2,2(1  K 0 )(1.86)так как составляющие ошибки с коэффициентами C1 и C2 вносят пренебрежимо малый вклад в результирующую ошибку.

Накопление ошибки поквадратичному закону исключает применение статических систем при наличии ускорения.Для системы первого порядка астатизма ошибка по ускорениюeд (t )  C1vxt vxtK1(1.87)(вкладом составляющей C 2 v x / 2 можно пренебречь). Накопление ошибкисо временем (со скоростью v x / K1 ) не позволяет применять такие системыпри наличии ускорения. Для астатической системы второго порядка ошибка по ускорению равнаeд (t ) C2vx .2(1.88)1.5. Показатели качества систем радиоавтоматики75Определение коэффициента ошибки C2 с использованием уравнения(1.84) сводится к приравниванию коэффициентов при p2 в обеих частяхуравнения:C0 (1  K 2bm-2 )  K 2bm-1C1  K 2C2 1,2(1.89)откуда C2/2 = 1/K2, так как C0 = C1 = 0.Ошибка по ускорению в системе второго порядка астатизма равнапостоянной величине eд  ν x / K 2 . Параметр K2, характеризующий точностьсистемы, называется добротностью по ускорению (имеет размерность c –2).Для исключения ошибки по ускорению можно использовать системутретьего порядка астатизма (с тремя интеграторами).

Однако такиесистемы используются редко из-за трудностей, связанных с обеспечениемнеобходимого запаса устойчивости и качества переходного процесса.П р и м е р 1.18. Определить установившуюся ошибку следящейсистемы при воздействиях: 1) x(t) = 20 + 2t и 2) x(t) = 20 + 2t – 0,5t2, еслиизвестна передаточная функцияT1T2 p 3  (T1  T2 ) p 2  pK e ( p) T1T2 p 3  (T1  T2 ) p 2  p  K(1.90)и заданы параметры: K = 100 с–1; T1 = 0,1 c; T2 = 0,01 c.Р е ш е н и е. Передаточную функцию Ke(p) преобразуем к видуK e ( p) 1K132TT1 2 p  (T1  T2 ) p  p1K12p TT1 2 p  (T1  T2 ) p  1.

(1.91)Отсюда находим передаточную функцию разомкнутой системы:K р ( p) K.p T1T2 p 2  (T1  T2 ) p  1(1.92)Рассматриваемая система имеет первый порядок астатизма и добротность K1 = K = 100 с–1. Следовательно, установившаяся динамическаяошибка в первом случае равнаeд1  С1dx(t ) 2 0,02,dtK1761.

Основы теории линейных непрерывных автоматических система во втором случаеdx (t ) C2 d 2 x (t ) 1Ceд 2  С1(2  t )  2 .2dt2 dtK12Для нахождения коэффициента С2/2 используем уравнение (1.84),которое в данном случае принимает следующий вид pA( p)  KB( p)   C0  C1 p C2 2 p   pA( p),2(1.93)где A(p) = T1T2p2 + (T1 + T2)p + 1, а B(p) = 1.Приравнивая коэффициенты при p2 в обеих частях уравнения, находимС1 илиС2K  Т1  Т 22С2 Т1  Т 2  1/ K (Т1  Т 2 ) K  1.KK22Подставив значения параметров K, Т1 и Т2, получим С2/2 = 0,001.Окончательно для установившейся ошибки следящей системы имеемeд 2 (t )  0,01(2  t )  0,001  0,019  0,01t.Первая составляющая (0,019) определяет скоростную ошибку,а вторая (–0,01t) – ошибку по ускорению. Как видим, вклад составляющей–С2/2 = –0,001 действительно мал и можно полагать, что eд 2 (t )  0,02  0,01t .1.5.3.

Точность автоматических системпри воздействии помехОсобенностью радиотехнических систем является то, что ониработают в условиях воздействия помех, снижающих точность. Посколькупомехи (шумы, случайные отклонения параметров системы и прочее) случайный процесс, то ошибка слежения в этих условиях также являетсяслучайной. Поэтому для характеристики точности следящих системиспользуются характеристики случайных процессов: среднее значение(математическое ожидание), дисперсия, средний квадрат.1.5.

Показатели качества систем радиоавтоматики77При анализе точности следящих систем при воздействии помех удобноиспользовать структурные схемы, поясняющее образование ошибкислежения (рис. 1.54). На рис. 1.54, а ошибка образуется в результатесравнения задающего воздействия и управляемой величины, формируемойс помощью фильтра, описываемого передаточной функцией Kз(p)замкнутой системы. На входе фильтра действует смесь задающеговоздействия x(t) и эквивалентного шума nэ(t) = n(t)/kд, имеющегоразмерность [x] (частоты, фазы и т.

д., в зависимости от типа системы).Преобразование помехи n(t) в nэ(t) определяется правилом переноса узласуммирования через звено с коэффициентом передачи kд (см. п. 1.3.2).Структурная схема (рис. 1.54, а) может быть преобразована к виду(рис. 1.54, б), где ветвь с передаточной функцией 1 – Kз(p) определяетдинамическую ошибку eд(t), обусловленную отличием передаточнойфункции замкнутой системы от идеальной Kз(p) = 1, а ветвь с передаточной функцией Kз(p) определяет ошибку –en(t) из-за воздействияпомехи.e=x–yxx + nэnэyKЗ(p)xа)1 – KЗ(p)eдe = eд + e п– eпKЗ(p)б)Рис.

1.54Ошибка en(t) случайна. Если помеха представляет стационарныйслучайный процесс с нулевым средним значением и спектральнойплотностью Sn(), то ошибка en(t)  также стационарный случайныйпроцесс с нулевым средним значением и дисперсией 2.В зависимости от характера воздействия x(t) (детерминированноеили случайное) точность следящих систем в условиях действия помехоценивается либо средним квадратом2e 2  eд2  σen,(1.94)2σe2  σe2д  σen.(1.95)либо дисперсиейрезультирующей ошибки e(t).781. Основы теории линейных непрерывных автоматических системЗначение динамической ошибки eд определяет в уравнении (1.94)математическое ожидание (среднее значение) ошибки слежения придетерминированном воздействии. Если задающее воздействие представляетстационарный случайный процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью Sx(), то динамическая ошибка eд(t)  такжестационарный случайный процесс с нулевым средним значением идисперсией 2ед (дисперсия ошибки равна сумме дисперсией обеих еёсоставляющих, так как процессы n(t) и x(t) независимы ).Дисперсия шумовой ошибки в соответствии с рис.

1.54, б определяется по формуле2σ en1 Sэ (ω) K з2 (ω)dω,2π (1.96)где Sэ() = Sn()/k2д  энергетический спектр эквивалентного шума; Sn() –энергетический спектр помехи n(t) на выходе дискриминатора.Для практических приложений правомерно полагать n(t) белымшумом с равномерным спектром Sn(f) = N0 (Вт/Гц) в полосе частот от 0 до (рис. 1.55, а) (или с двухсторонним спектром Sn() = N0/2). При этомэквивалентный шум также является белым со спектральной плотностьюмощности Sэ(f) = Nэ = N0/k2д, имеющей размерность [х]2/Гц ([х] – размерностьзадающего воздействия).Используя для описания помехи модель белого шума, представимвыражение (1.96) для дисперсии шумовой ошибки в видеN 1Nσ  02  K з2 (ω)dω  20  K з2 ( f )df .2k д π 0kд 02en(1.97)Интеграл в формуле (1.97) определяет так называемую шумовуюполосу замкнутой системы:1Fш   K ( f )df   K з2 (ω)dω .2π 002з(1.98)Физический смысл параметра Fш состоит в том, что квадрат АЧХреальной замкнутой системы аппроксимируется идеальной прямоугольнойхарактеристикой (рис.