Пугачев О.В.Квадратичные формы и их геометрические приложения.МГТУ 2004г (МУ - Квадратичные формы и их геометрические приложения), страница 4

Ее матрица получаем -8т' + 2г' + 4(у' + з') — 4( — у'+ з') = — 8х' + 2з' + 8у' = О, х' 2 3 или — — — = у' — каноническое уравнение гиперболического 1 4 параболоида. Строим его методом сечений (рис. 5), В плоскости х! = 0 кривая з' = -4у' — парабола, В плоскости у' = О будет з! = х2х' — две пересекакнциеся прямые, проходящие через точку (х' = О, у' = О, з' = 0). В плоскостях у' = с будет х' — з'~/4 = с — гиперболы.

В плоскости з' = 0 кривая х = у' — парабола. ,!2 ! В плоскостях з! =- с кривые х!~ = у'+ сз/4 — тоже параболы. Пример 9. Привести уравнение поверхности 2хз+ 2уз+ 5зз+ + 4ху+ 2хз+ 2уг+ 2х+ 2у+ 4з — 5 = 0 ортогональным преобра- зованием к каноническому аиду. Указать преобразование перехода от исходной декартовой системы координат Охуз к новой систе- ме координат Ох'у'з'. Построить поверхность в системе координат Ох'у'з'. Здесь с1с1 Р = — 1, т. е.

тройка векторов е1, е!з, е!з — неправиль- но ориентированная (левая). Э~ому преобразованию соответствует линейная замена переменных у = — ~/2 0 0 у' Запишем харакз 2— 2 1 Его корни Л! = Рис. 5. Гиперболический параболоид ь» Ъ» ЪЪ о ЪЪ и и со ъ ЪЪ' / ! о и о»' ~ Ф и ! ЪЪ Ъ» + + Ъ» о ъо»л х ъ с» ! нх о и о» х ЪО ЪЪ х о Ф и +++ Ъ» Ь» +++ с'И ЪЪ Ф Ъ и и =» с» и о» с» о» х Х "Ъ» о ». о х и ъ.

с» о » оъ и ~Ф с х х ФФ ~Ц о ЪЪ х .о С о ЪЪ Ф Ф Ф ЪЪ о Е <Ъ ! ЪЪ о ГЪ~ о "Ъ Я~ ФФФ и О! Е Е Находим собственные в чениям Лз = О, Лз = 3, Лз = При Л~ =О ( 1 2х) + 2хз = 2х~ + 2тз с1+ хз Собственному значению Л -1 -зч + 2а.. = 2х~ — хз зч +3:з Собственному значению Л аз= 1 ПриЛз = 6 — 4зч + 2з 2зи — 4з 3 ~ + 3 Собственному значению Аз = 6 отвечает собственный вектор '-( ) Так квк собственные числа различны, отвечающие им собствен- ные векторы попарно ортогональны. Нормируя зту систему векто- ров, получаем: е' = — -1; ег= — 1; ез= д / Составим из векторов-столбцов ортонормированного базиса еы е', е матрицу ортогонального преобразования: 7 1/~/2 1/~/3 1/~/б Р = -1/~/2 1/ъ/3 1/~/6 0 -1/~/3 2/ъ'6 Здесь бег Р = +1„следовательно, е',, ег, е~з — правая тройка векторов.

Этому преобразованию соответствует линейная замена переменных у = Р у' = -1/т/2 1/~/3 1/~/6 у' Канонический вид квадратичной формы 2хг + 2уг + бег + 4ху + 2хя + 2уз = Зу' + бя' . Подставляя в уравнение поверхности у' 2я' я=- — + —, ~/3 ~/6 получаем Зу' + бя' + 2~/6 я' — 5 = Зу' + 6 ~я'+ — ~ — 6 = О, т/6/ Зб ,г я+д или — + 2 1 = 1 — уравнениеэллиптического цилиндра с направляющей, являющейся эллипсом — + 1 я'+ — 1 = 1, и .6/' образующими, параллельными оси Ох' (рис, б), Задачи длн самостоятельной работы Привести уравнение кривой ортогональным преобразованием и параллельным переносам к каноническому виду.

Указать преобразования, Построить кривую и все используемые системы координат. 1. 28хг + 12уг — 12ху — 16ЛОх+ 12~/10у+ 10 = О. 2. 14хг — 4уг + 24ху + 12 /бх + 16~/5у — 10 = О. 3, 7хг — 2уг + 12ху+ 30~/5х + 60~/5у — 55 = О. 4. 9хг + 4уг — 12ху — 20~/ГЗх + 22~/ГЗу = О. 5. -16хг + 24ху — Оуг + 70х + 10у — 125 = О. Привести уравнение поверхности ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду. Указнгь преобразования.

Построить поверхность в системе координат О'ХУЯ. б. хг + 2уг + Ззг — 4ху — 4уя + 24у — бя — 47 = О. 7. х + 2у + 2з~ + буя — 4х + 2~/2 у — 2~/2 я + 25 = О. 8 10хг+ 10уг+10яг+бхз+8уя+60я = 0 9, 2хг + 2уг + 2зг + 4ху + 9~/2 х + 7~/2у — 4я + 10 = О. Рис. 6. Эллюпичеелий цилиндР 0 П Ос ! л П ! П ! > со с» П л П сс 'с.е П О П Ее! с П П П с о ...-р о ос о о о о с.

'лс цс П П 0 П о с с~~~ со о й' о (Ъ о о о Е Лс л йс ! П со ! со П сл со т ! сл й СО 0 П л П ! ЬЗ 'ь П ! ! со л П со (х' — 31/2)2 у' («'+ ~/2)2 24 12 8 Введем новые переменные 41 40 32 -8 3 2 8 Л1 = 5 Лг = 10 Лз = 15'Р= — 41/2 8 4ъ'2 -51У2 О 5ч'2 — 1 О 1 9 Л1=0 Лг=2 Лз=4'Р= — 1 О 1 О У2О (~' — 1)2 + 2(«' + 2) = (х' + 4)— и — + « + х + — параболоид ПРИВЕДЕНИЕ КВ.гьДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ МЕТОДОМ ЛАГРАНЖА Как мы видели, для нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду, требуется находить корни характеристического многочлена х(Л) = с1ес(А — ЛЕ). Это не всегда удается сделать, если степень многочлена (равная размерности пространства) больше двух. Однако, если перед нами стоит задача привести квадратичную форму к каноническому виду в каком-нибудь, не обязательно ортанормароеаннам базисе, то ее можно решить более простым способом, чем ортогональные преобразования — методом Лагранжа.

Метод Лаграюка состоит в последовательном выделении полных квадратов из квадратичной формы. При атом матрица перехода к новым переменным может оказаться не ортогональной, т. е, новые переменные являются координатами вектора при разложении по косоугольному базису. Поясним метод Лагранжа на примере, Пример 10. Рассмотрим квадратичную форму из примера 2: ДХ1, хг, хз) = Зх, + 2хг + хз + 4Х1хг — 4хгхз.

2 2 2 Поскольку в ней присутствует член ЗХ21, мы ьюжем выделить пол- ный квадрат по х1. Для этого соберем все слагаемые, содержащие Х1, и дополним до полного квадрата: у(х1, х2, хз) = 3 ( х1 + —,Х1х2 + — хг) — -хг+ 2хг+ х — 4хгхз = 1'244214 3 8 ) 3 ' з г = 3 Х1+ -хг) + -хг+х — 4хгхз. ) 3 з Соберем далее все слагаемые, содержащие хг, и дополним до пол- ного квадрата: 2 .1 (х1 ~ хг~ хз) 3 Х1 + х2) + (х2 бх2хз + Охз) бхз+хз 3 ) 3 2 '~ 2 2 г = 3 Х1+ -хг) + — (хг — Зхз) — 5х .

3 ) 3 ' з. гогда канонический вид квадратичной формы ) в новых пере- 2 г менных «1, «г, «з будет 1 («1, «г, «з) = 3«12 + -«22 — 5«зг. Если О 1 — 3 хг = «г, то О 1 — 3 х х «г = хг =(~'!'-':) =(~ Г ) У(ям 32 яз) = 333+ -яг — 533 2 2 2 В примере 2 квадратичная форма ПУ1 Уг Уз) = -У1 + 2уг + 5уз. Введем новые переменные 32 = О т.е — 2~ = яз, откуда Х2 О 0 43 будет матрицей перехода от ортогонального базиса еы ег, ез к косо- угольному базису е', = О, е~г — — 1, ез — — 3 в котором квадратичная форма Г" имеет канонический вид Дхыхг,хз) = Зх(+ 2хг~+ хзг+ 4Х3хг — 4хгхз приводилась к другому каноническому виду В различных видах данной квадратичной формы остается неизменным не только количество ненулевых коэффициентов, но и юличество положительных и отрицательных коэффициентов в силу закона инерции квадратичных форм.

Для любых двух канонических видов квадратичной формы ~(уы..... у, ) = Л1уг+... + Л уг„Л, ф О, 1 = 1, хп; ,г" (яы...,, яь) = Л1яд +... + Лая~~, йч ф О, 4 = 1, )3 одной и той же квадратичной формы у'(х) = хтАХ 1) т = Й = Нл А, где А — матрица квадратичной формы; 2) количество положительных юэффициентов Л, совпадает с количеством положительных коэффициентов щ; 3) количество отрицательных коэффициентов Л; совпадает с количеством отрицательных коэффициентов р,. Пример 11.

Дана квадратичная форма )(хы хг, хз) = 2хз~ + 5хг + бхзг — 2х~хг + 4х1хз + 4хгхз. В ней присутствует член 2хгы поэтому мы можем выделить полный квадрат вида 2(а + Ь + с)' = 2(а' + 2аЬ + 2ас + Ьг + 2Ьс + с'), Соберем все члены, содержащие хп и дополним до полного ква- драта, полагая а = хп Ь = -хг/2, с = хз. Итак, ,2, 2, Х2 Хг 2 ДХ1 хг хз) = 2 ~х — 2хз — + 2Х1хз+ — — 2 — хз+ хз) 2 4 2 Хг 2 / 32 — + 2хгхз — 2Х + 5хг + 5хз + 4хгхз = 2 (Х1 — — + хз) + г 3 2 + — хг+ бхгхз+ Зхз, 9,,2, 2 2 В той части квадратичной формы, которая осталась после выделеХ2 9 .г ния 2(х1 — — + хз), присутствует -хг, поэтому мы снова можем 2 2 выделить полный квадрат.

Итак, хг 32 9/., 2 4 2Л Дхы х2, хз) = 2 Х1 — — + хз) + — ~ хг + 2-х2ХЗ + -хз ) 2 ) 2~, 3 9 ) — 2Х + Зх = 2 (х1 — — + хз) + — ~ хг+ — хз) + хз. '3 ' 3' ~ 2 / 21 3 Х2 ХЗ вЂ” — + ХЗ 2 х2+ ХЗ 3 т.з Обратная матрица 2 3 2 1 3 О 1 Введем новые переменные 1/2 -1/2 5/2 хз > У(з1 22 яз) =2з1+ — '2+'з.

2 1/2 -1/2 5/2 хз то х~ г1 = — + 2 х1 2 хз 2 х1 =21+22~ =2Ф хг х2 = 21 22~ 2 1 1 —.— 1 '2 2 0 1 3 0 0 1 будет матрицей перехода от базиса еы ез, еа к коСОУгольному базису е1 — — О, ез — — 1, ез — — -2/3 в котором квадратичная форма / имеет канонический вид Пример 12. Дана квадратичная форма /(хы хз, хз) = 2х1хз — 4х1хз + бхзхз.

Здесь отсУтствУк2т члены с хзы х2 2и хзз, поэтомУ метод, описанный в предыдущих примерах, не удается применить сразу, придется сделать некоторые преобразования. ~х1 хзт2 Гх1 хзт2 Легкозаметить,чтох1хз = ( — + — ) — ( — — — ) .Введем (2 2) (,2 2) вспомогательные переменные тогда квадратичная форма / выразится таким образом: У(хы хз, хз) = 21, — 222 — 4(21+ Зг)ха + б(21 — 22)хз = 222 — 222+ + 221хз — 1022хз. Теперь можно действовать по схеме, описанной в примере 1О: /(хы тз хз) = 21,' — 222+ 221хз — 102гхз = 2 1 2 1 2 2 25 2'1 25 2 2 (2~ +гпхз+ -хз) — -хз — 2 ~22+ бгзхз+ — хз) + — хз = 4 ) 2 4') , 2 — 12+-хз) — 2 (22+ -хз) +12хз 2 ) 1, 2 ) 1 + 5, т.е, 22 =- О 1 5/2 гз ХЗ = 22~ и канонический вид квадратичной формы / в новых переменных яы 22, зз будет/(зыяз,зз) = 22', — 22~+12222. Если хз = 1/2 -1/2 5/2 и обратная матрица 1/2 1/2 1/2 1 1 -3 Р = 1/2 -1/2 5/2 = 1 — 1 2 0 О 1 0 0 1 будет матрицей перехода от базиса еы ез, ез к косоугольному базису е',= 1, ез= -1, ез= 2 Л«г > «ь «з) = 2«( — 2«г + 12«з ап .