Пугачев О.В.Квадратичные формы и их геометрические приложения.МГТУ 2004г (МУ - Квадратичные формы и их геометрические приложения)

Пол редакцией А.В, Котовича 1679510 Пугачев О.В. Квадратичные Формы и их геометрические приложения 2004 ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВБННЫЙ ТБХНИЧБСКИЙ УНИВБРСИТБТ ии. Н.Э. БАУМАНА О,В. Пугачев, Г.П. Стась, А,В, Чередниченко КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ у >~ 3и и' и и х е .; Методические указания по проведению практических ,, Я занятий и выполнению домашнего задания по курсу 3- и1и О| ф «Линейная алгебра» Ю (ф~ н Москва Издательство МГТУ им. Н.Э, Баумана 2004 УДК 512,89(075,8) ББК 22.143 П88 Рецензент ПИ Цветкова ВВЕДЕНИЕ 18ВН 5-7038-2511-3 УДК 512.89(075.8) ББК 22Д43 © МГТУ им. Н.Э, Баумана, 2004 18ВХ 5-7038-2511-3 П88 Пугачев О,В., Стась Г.П., Чередниченко А.В.

Квадратичные формы и их геометрические приложения: Методические указания по проведению практических занятий и выполнению домашнего задания пс курсу «Линейная алгебра» /Под редакцией А,В. Котовича. — М.. Изд-во МГТУ им, НЭ. Баумана, 2004. — 59 с.: ил. В методических указаниях содержатся краткие теоретические сведения, необходимые лля решения задач, подробные примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельной работы, Приведены 30 вариантов типового расчета на тему «Квадратичные формы и их геометрические приложения», каждый из которых состоит из четырех зааач, Для студентов первого курса всех специальностей.

Могут быть полезны преподавателям при проведении практических занятий. В методических указаниях рассмотрены преобразования квадратичных форм, позволяющие приводить квадратичную форму к каноническому виду; приведены критерии знакоопределенности квадратичных форм и на примерах показано использование квадратичных форм для задания функций, определяющих кривые и поверхности второго порядка.

Следует отметить, что практическое приложение квадратичных форм не исчерпывается исследованием кривых и поверхностей второго порядка. По существу квадратичная форма является много- членом второй степени от некоторого количества переменных. Выразив этот многочлен через вектор, содержащий данные переменные, и матрицу, можно применить для его исследования эффективные методы линейной алгебры, которые позволяют приводить его к наиболее удобному для работы виду, В повседневной инженерной практике квадратичные формы также играют очень важную роль. Многие физические задачи описываются математическими моделямн, в которых используются квадратичные функции нескольких переменных. Для успешного решения подобных задач необходимо свободно владеть предлагаемым математическим аппаратом.

Для закрепления пройденного материала в конце методических указаний приведены 30 вариантов домашнего задания. КВАДРАТИЧНЫВ ФОРМЫ т. е. если ее матрица а1 0 ... 0 О аг ... О О 0 ... а„ диагональна. Определение 1. Однородный мпогочлен второй степени от и переменных хь хг,..., х„с действительными коэффициентами Дхьхг,..., х„) = ~ анхг+ 2 ~> анх;ху (1) называют квадратичной формой.

Если (хмхг,..., х„) назвать координатами вектора У Е В" в некотором базисе и из коэффициентов квадратичной формы а,~ составить матрицу то квадратичную форму можно записать в матричном виде ,г" (жь..., х„) = жт. А х, где х = (хь..., х„)т. (2) Симметрическую матрицу А порядка и называют матрицей квадратичной формы (1). Ранг матрицы А называют рангом квадратичной формы, Если Вб А = и, то квадратичную форму называют невырожденной, а если Нб А < и, то ее называют вырожденной. В случае и = 2 (плоскость), имея а|г = агь получим У(хьхг) =-(хь хг) ~ (аы а1г~(ж1 1 ~ = аых1+оггхг+2и1гх1хг, ~ аг1 агг )(, жг,) В случае и = 3 (трехмерное пространство), имея атг = агь а1з = азь агз = азг, получим аы атг а1з 1(жьжг,хз) = (хьхг,жз) аг1 агг агз аз1 озг озз хз = апх1+ аггхг + аззхз + 2аггхтхг + 2а1зх1хз+ 2агзжгхз. г г г ПРЕОБРАЗОВАНИК КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Пусть квадратичная форма Дхьжг,..., ж„) = х~ А У, определяет функцию г"(У), заданную через координаты вектора х, = (хьжг,, хе)т в некотором базисе (е) = еьег,..., е„.

Найдем представление функции г(У) в некотором другом базисе (е') = е',, ег,..., е'„. Если Р— матрица перехода от базиса (е) к базису (е'), то У, = Р У,, и функция ((У) в новом базисе будет выражаться через новые координаты вектора х' следующим образом: Ах-(Рх) А(Р ° ) т (Р АР),У Здесь Рт А Р = А' — матрица квадратичной формы в новом базисе (е'). Итак, ((У)=У~ А'хе=У~~ А 'хе' (3) Определение 2. Квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных хь..., х„: ДУ) — а1жг| + агхгг + ° ° ° + а хг (4) Если в каноническом виде (4) коэффициенты ои равны х1 или О„то говорят, что квадратичная форма приведена к нормальному каноническому виду.

Пусть старый базис (е1 и новый базис (е') ортонормированные, тогда матрица перехода от (е) к (е') является ортогональной и преобразование с этой матрицей будет ортогональным, Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду.

Итак, требуется ортогональным преобразованием привести квадратичную форму ДУ) = х г А х к каноническому виду и указать матрицу этого ортогонального преобразования. Для этого необходимо сделать следующее. 1. Найти собственные значения матрицы А, 2. Для каждого собственного значения найти соответствующий собственный вектор, Все собственные векторы должны быть попарно ортогональными, а их количество должно быть равно количеству собственных значений, учитывая их кратность. 3.

Выписать матрицу Р, столбцами которой являются координаты этих собственных векторов. Так как система собственных векторов ортонормирована (ортонормированный базис), матрица Р будет ортогональной. Рассмотрим эти пункты подробнее. 1, Находим собственные значения матрицы А, Для этого составляем ее характеристическое уравнение Йе$ (А — ЛЕ) = 0 и ищем его корни.

Поскольку матрица А симметрична, то все ее и (с учетом кратности) собственных значений — действительные числа. Запишем их в диагональную матрицу: л, о ... о 0 Лг ... 0 2. Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Ло из однородного уравнения (А — Л,Е)У = О. Различным собственным значениям Л~ ф Л; соответствуют ортогональные собственные векторы йз ~.

йр При кратных значениях Ль = ... = Ле1 из множества собственных векторов строим систему попарно ортогональных собственных векторов йь,..., й„, (например, применив процедуру ортогонализации Грома — Шмидта). 3. Полученную систему попарно ортогональных собственных векторов нормируем, положив "/, 7 Составляем из векторов-столбцов ортонормированного базиса егы ег,..., е'„матрицу ортогонального преобразования Р, которой соответствует линейная замена переменных У = Р у. Пример 1, Привести квадратичную форму Дхы хг) = Зхг + г + 2х1хг + Зхг к каноническому виду.

Указать матрицу ортогонального преобразования. Решение. Квадратичная форма имеет внд Дхыхг) = (хыхг) А ~ ), где А = ~ х1 /3 11 ~, хг ) ' 1. Составляем характеристическое уравнение Йег(А — ЛЕ) = 3 — Л 1 1 3 — Л~ ~ = Л - бЛ+ 3 = О. Его корни Лз = 2, Лг = 4. Запишем 0 О Таким образом, канонический вид квадратичной формы У(у) =Л1у,'+Лгуг+...+Л.у' где у=(уз уг „. у.) . Канонический вид квадратичной формы Дум уг) = 2у~~ + 4угг.

2. Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Л1 = 2, Лг = 4, из однородных уравнений (А-Л,Е)й,. = О. При Лз = 2 имеем Л== 0 2 0 е«= —, ез=— (А — Л~Е) В; = О. При Л> = — 1 имеем ~/2 — 1 1 Г!рн Лз = 2 имеем 3 — Л 2 0 2 2 — Л -2 0 — 2 1 — Л = — Л +6Лз — ЗЛ вЂ” 10 = О. с!е!(А - ЛЯ) = ( хт+хз =0 Г' 1 =э хг = -хз =ь бт = ~ ! — собствен- '1 хт+ха = Π— ~ -1) ный вектор, отвечающий собственному значению Лг = 2 При Лз = 4 имеем ! — х!+ха = 0 (1'« =ь хг = хз =': Вз = ~ ~ — собственх — х = О ный вектор, отвечающий собственному значению Лз =- 4, Длины найденых векторов равны !йт! = «/2, )бз) = «Г2, Э.

Убедившись, что дг !. Из, нормируем эту систему векторов, положив Составим матрицу ортогонального преобТ!зазования из векторов- столбцов ортонормированного базиса еы ез'. 7 базис е',, е>з — ортонормированный; поскольку г)еьР = +1, базис правильно ориентирован (правая пара). Пример 2. Привести квадратичную форму )'(хм ха,хз) = Зхг + 2хз + хз + 4хгхз — 4хзхз к каноническому виду. Указать з 2 3 матрицу ортогонзльного преобразования.

Решение, Квадратичная форма имеет вид х> 3 2 0 Г(х) = (х>>хг>хз) А хз, где А = 2 2 — 2 хз 0 — 2 1 1. Составляем характеристическое уравнение Это уравнение третьей степени, Так как его коэффициенты — целые числа, целое число может быть его корнем лишь в случае, если оно является делителем свободного члена, поэтому ищем корни среди чисел ~1, х2, жб, ж10. Подстановкой убеждаемся, что Лг = -1, !«4ногочлен должен без остатка делиться на Л вЂ” Л> = Л+ 1. Делим: -Л'+ОЛ'- ЗЛ- 10 = (-Л'- Л')+(7Лз+7Л)+ (-1ОЛ-10) = = -Л (Л+1) + 7Л(Л+1) — 10(Л+1) =- (-Л'+ 7Л 10)(Л+1), откуда Лз = 2, Лз =- 5. Запишем канонический вид квадратичной формы г(зп > рз, рз) = -уз+ 2йз+ + брз.

2. Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Лз = — 1, Лз = 2, Лз = 5, из однородных уравнений 2 3 — 2 хз = 0 =э 2х~ +Зхз -2хз = О, Это однородная система трах уравнений с трем» неизвестными, ее определитель с)еВ(А — Л> Е) = О, поэтому ранг матрицы системы 4 2 меньше 3. Так как базисный минор ф О, ранг равен 2. Оставляем первые два уравнения и получаем одно фундаментальное решение хг = -1, хз = 2, хз = 2. Таким образом, собственному — 1 значению Л> = — 1 отвечает собственный вектор бг = 2 2 2 0 -2 хз = 0 => 2х! -2хз =0 4 — Л 4 — 2 4 4 — Л -2 -2 — 2 1 — Л беВ(А — ЛЯ) = Лз+ 9Лз 0 Л= О 0 О Р= — 2 — 1 2 10 Это однородная система трех уравнений с тремя неизвестными, ее определитель де~(А — ЛзВ) = О, позтому ранг матрицы системы 1 2 меньше 3.

Так как базисный минор ф О, ранг равен 2. Оста- 2 0 вляем первые два уравнения и получаем одно фундаментальное решение хг = 2, хз = -1, хз = 2. Таким образом, собственному 2 значению Лз = 2 отвечает собственный вектор дз = -1 2 При Лз = 5 аналогично получаем собственный вектор бз = 2 — 2 . Длины полученных векторов равны (Вз~ = 3; (сз1 = 3; -1 ~Из! = 3, 3.

Так как собственные значения Л1 = — 1, Лз = 2, Лз = 5 -1 различны, отвечающие им собственные векторы о1 = 2 2 2 2 бз = -1, Вз = 2 попарно ортогональны. Нормиру- 2 — 1 ем эту систему векторов, положив е~ — — — 2; ез= 1; ез= 2 Составим из векторов-столбцов ортонормированного базиса е~, ез, ез матрицу ортогонального преобразования которой соответствует линейная замена переменных х = Р у, Базис е',, ез, ез — ортонормированный„и беьР = +1 — базис правильно ориентирован (правая тройка), Пример 3, Привести квадратичную форму 1(хы хз, хз) = 4х1 + 4хз + хз + Зх1хз — 4хтха — 4хзхз к каноническому виду, 3 з 3 Указать матрицу ортогонального преобразования. Решение, Квадратичная форма имеет вид х1 4 4 — 2 У(х) =(хыхг,хз) А хз, где А= 4 4 — 2 хз — 2 — 2 1 1.