Пугачев О.В.Квадратичные формы и их геометрические приложения.МГТУ 2004г (1095692), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Составляем характеристическое уравнение откуда Лд = 9; Лз = Лз = 0,Запишем канонический вид квадратичной формы г(уы уз> уз) = 9уз. 2. Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Лз = 9, Лз = Лз = О, из однородных уравнений (А — Л;Е) В; = О. При Л1 = 9 имеем 4 -5 -2 хз = 0 => 4хт-5хз-2хз = О, Это однородная система трех уравнений с тремя неизвестными, ее определитель с1ес(А — Л1Е) = О, позтому ранг матрицы системы -5 4 меньше 3.
Так как базисный минор 4 ~ О, ранг равен 2. 4 — 5 Оставляем первые два уравнения н получаем одно фундаментальное решение хз = 2, хз = 2, хз = — 1. Таким образом, собственно- 2 му значению Л1 = 9 отвечает собственный вектор 91 = 2 — 1 При Лг = Лз = 0 имеем 2~/5 3 4 Р= — 2Л 'О -5 3~5 я Ответы 2. 1'(р~, уг) =- 5уг + 10уг; ез =,г- 12 4 4 -2 хг = 0 =~ 4х1+4хг — 2хз=0, Ранг матрицы этой системы рацеи 1. Оставив одно третье уравнение, получим хз = 2х1 + 2хг, и общее решение этой системы х1 й = хг .
Убедимся, ч1о при любых хы хг, не равных 2х1+ 2хг нулю одновременно, этот' вектор ортогонален вектору йп Действительно, й1 х = 2х1 + 2хг — (2х1 + 2хг) = О. Из множества х1 собственных векторов х = хг выберем йг, полагая 2х1+ 2хг х| = 1, хг = 0 (хы хг — независимые переменные), хз = 2х1+ + 2хг = 2, Таким образом, для собственного значения Лг = О 1 найден собственный вектор йг = 0 . Осталось из множества 2 х1 собственных векторов х = хг выбрать йз, отвечаю2х1+ 2хг щий собственному значению Лз = О, так, чтобы йз 1. йг, т. е.
йз йг = О=ь х1+2(2х1+2хг) =0== 5х1= -4*г. Положив х1 -- 4, получим хг = -5 и хз = 2х1+ 2хг = — 2. Таким образом, йз = -5 . Нормируя полученную систему попарно — 2 ортогональныя собственных векторов, получаем е1 — — — 2; ег — — — 0 Составляем из векторов-столбцов ортонормированного базиса е1, ег, ез матрицу ортогонального преобразования которой соответствует линейная замене переменных х = Р у.
Базис е',, ег. с~з — ортонормированный; бетР = +1 — правильно ориентированный (правая тройка). Задачи дли самостоятельной работы Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму к каноническому виду и записать матрицу ортогонального преобразования. 1. Дхмхг) = Зх~~+ 4х1хг. 2, Дгп,хг) = Охг Ч бхгг — 4х1хг. 3, ((хм хг) = х~~+ 4тг+ 4х1хг.
4. Дхыхг,хз) = 2х, + 2хг+ 2тз 2х1хз. 5 1(х» хг хз) = Зхз г+ Зх1хг + 4х1хз — 4хгхз б. 1(гц, хг хз) = 2х|г:г + 2хгхз. Я вЂ” 2 1 г, 3 У(р, у~) = 5~Ы Р = —, ~ 1 1 0 — 1 4 У(у1 уг,уз) = р~~+2уг~+Зуав; Р = — 0 Г2 0 ,2 1 2 2 2 1 -2 -2 2 -1 х'-1 — = Х, л у+ — =У р Из Лз с~ з+ — =Е 2аз ап агя аи А = азз азя азз азз агз азз Л~Х~ + ЛзУ = — 2НзЕ; 14 15 1 5.,1 (Р1 Рз, Рз) = 4У1 + 4рз — буз, г — 3 1 б.йуырз,уз)=~/2рзз-~12рзз; Р=- л/2 2 1 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид аых +аязу +аззя +2аззху+2аззхя+2аззуз+ 2 3 3 2Ь|х+ 2Ьзр+ 2Ьзз+ с = О.
(5) Суммааыхз+аззрз+аззгя+2агяхр+2аззхя+2аззуз = У(х, р, я) образует квадратичную форму, которую ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду. Столбцы матрицы 7 / 7 Р = ~е1, ез, ез ) этого ортогонального преобразования образуют оРтоноРмиРованный базис е1, ез, е~з и Явлаютса собственными векторами симметрической матрицы квадратичной формы )'(х, р, з), Матрица Р перехода от старого ортонормированного базиса к новому ортонормированному базису е1, е~, ез является ортогональной и бе1 Р = +1 (это можно сделать всегда, изменив направление одного собственного вектора на противоположное). Следовательно, существует такой поворот исходной системы координат, что в новой системе координат квадратичная форма в новых переложенных будет иметь канонический вид, Пусть х', и', г' — новые координаты, в которых квадратичная форма имеет канонический вид. Подставив в уравнение (5) получим уравнение поверхности в новом базисе; Л~х" + Лзр' + Лзз' + Ы~х'+ Ызр'+ Ызз'+ с = О.
(б) Здесь возможны следующие случаи при г = 1, 2,3; 1) Л, = О, г(1 = О, тогда в уравнении (6) отсутствует 4-я переменная, и уравнение описывает цилиндрическую поверхность. Если, например, Лз = Нз = О, то Л~х' + Лзу'з+ 2д~х'+ азу'+ с = О есть уравнение кривой второго порядка — направляющей данной цилиндрической поверхности; 2) Лс — — О, 4 ~ О. Пусть, например, Лз = О, Из ф О. Тогда, выделив полные квадраты, получим Л1 ~х + — ) + Лз [ Р + — ~ + 2с(зз + сз = О. Л) 1, Л/ Сделаем параллельный перенос системы координат: Уравнение поверхности второго порядка примет вид 3) Л, ф О прн всех( = 1,2,3.
Тогда, выделив полные квадраты, получим: Л~ х' Ч вЂ” + Лз у'-1 — -1 Лз я'+ — + с1 = О. Сделаем параллельный перенос системы координат: Н1 х'+— Л1 аг Д +— л Из 1 + Лз =Х, =у Уравнение поверхности второго порядка примет вид ЛзХ + Лгуг+ ЛзЯ~ + с = О. Хг уг 8г 1.
— + — + — =1 аг ьг сг — эллипсоид (Лз > О, Лг > О, Лз > 0). Хг уг 2 — + — — — =1 аз ог сг — однополостный гиперболоид(Л1 > О, Лг > О, Лз с 0). Х' уз гг 3, — + — — — =-1 аг 6г сг — двуполостный гиперболоид (Лз > О, Лг > О, Лз < 0). Х' 1' гг 4. — + — — — =0 аз ьг сг — конус(Лз > О,Лг > О. Лз < 0). Хг уг 5. — + — =23 р ч — эллиптический параболоид (Л1 > О, Лг > О, Лз = О, дз ~ 0). Придавая коэффициентам различные значения и вводя стандартные обозначения, получаем следующие поверхности второго порядка: Хг уг 6.
— — — =23 р я — гиперболический параболоид (Лз > О, Лг < О, Лз = О, Ыз ф 0), Хг уг 7. — + — =1 аг ьг — эллиптический цилиндр(Лз > О, Лг > О, Лз = аз = О). Хг уг 8, — — — =Ы аг (гг — гиперболический цилиндр (Л~ > О, Лг с О, Лз = 0з = 0). Хг уг — — — =0 аг Ь' = — пара пересеквюшихся плоскостей (Л1 > О, Лг < О, Лз = дз = 0). 10. Хг = 2рУ вЂ” параболический цилиндр (Л1 ф О. Лг = О, Лз = <1з = О).
Пример 4. Привести уравнение кривой 7хг + 2ху + 7уг + + 28~/2х + 4~/2у + 8 = 0 ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду. Указать преобразования. Построить кривую и все используемые системы координат. Решение. Квадратичная форма 1(х,д) = 7хг+ 2ху+ 7йг, ее матрица— =(1 Т) Характеристическое уравнение матрицы = Л вЂ” 14Л+48 = 0 ! 7 — Л 1 г 1 7 — Л имеет корни Л1 = 6, Лг = 8.
Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Л1 = 6, Лг = 8, из уравнения (А — Л1г)хгт = О, ПриЛ» = 6 (' ')(.",')=(')=-1 ".==' = -1 всктор. При Аз = 8 — 1 1 х» О хз-х» =О, 1» собственный 1 / вектор, Нормируем, получаем е' =- — ~ ~, е' = = ~ ) — орто- '.2~- 1' ' 2~ ) гональные векторы, отвечающие разным собственным числам. Ма трица ортогонального преобразования бе» Р =-+1, /2 — 1 1 Поскольку ортогональное преобразование сохраняет ориентацию, оно является поворотом на угол гг, где сова — а»пп 1 ( сова = 1/ У2, Р-— ==ь см = — —. ьбпгх сова ) ' ( а»пся = — 1/~/2 4 Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных Подставляем (7) в уравнение кривой: (х' ~ у')з.~- — (х~.» у~)( х' -~- р~) -ь ( — х' -». д~)з -ь 28(х' ч- ~/) -»- + 4( — х' + у') + 8 = бх' + 8у' + 24х' + 32у' + 8 =- 6(х' + 2) з + +8(р'+2)2 — 48=6 и получаем („ + 2)г (»У + 2)з + =1, 8 6 Делаем параллельный перенос х' + 2 = Х; у' + 2 =- 1'. Получаем каноническое уравнение эллипса: Хз Уз — + — =1, аз Ьз где а = ~/8, Ь = Я, с центром в точке 0', координаты которой таковы: О'(Х = О, 1' = О); 0'(т' =- — 2, у' = -2); 0'(х = — 2Я,р = О).
Строим декартову систему координат хОр на векторах Ги у. Да леевнейстроимвекторые', = — ( ) ие' =- — ~ ~),они 2(,— 1) 2»,1 )' определяют новые координатные оси Ох' и Оу'. В этой системе отмечаем точку О' с координатами ь' = — 2, у' = — 2, которая является началом системы координат ХО'1', где ось О'Х параллельна оси Ох', а ось 0'У параллельна оси Од'(рис, 1). Пример 5. Привести уравнение кривой бхз + 8хр — 4/5 х— — 8Яу — 26 =- О ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду. Указать преобразования.
Построить кривую н все используемые системы координат, Решение. Квадратичная форма г" (х, у) = бхз+ 8хр, ее матрица— Рлс. 1. Зллилс д о о сн! и Д со Ъ' хс ЪЪ о < ! ! "3 П ьл лъ Ъ! ЪЪ и о О ! ЪЪ ЪЪ ЪЪ и о о и ! ! и о о Ф о и Ф о Б х И о ОЪ о н (Ъ х "О и + ЪЪ + + Ъ о Х О ~Ъ Ъ' х к о О х х хх о Е К О сл о й х ЪЪ х х з о о о ЪЪ (Ъ о 3 Ф К о 3 и х <Р хъ х й Я- и о сл'!! ',„ б ЬЪ о й-1 и о Я-, .-, Ъ. х о Е к Йз ьн а О О н о Л е о а 1 ~ Ъ о х 'О \Ъ о оъ о х й> Ъ1 Х (Ъ о х о х сл я о =< Ы ЪЪ о <ъ х Ъ' О о с х о Ъъ 'О Р3 х ЪЪ о д ! Ъ' о о н = ~~их в 'О ЪЛъ х и !!'О х ОЪ Ъ оъ о ЪОЪ ! ЪЗ х" ~д х оъ х ЪЪ и о Ь~ О~ о ЪЪ Ф и х ОЪ ЪЪ Ы ~и б ю ь х СЪ Х О х н $ б х о х н о К о х х К ЪЪ 'о х Характеристическое уравнение матрицы ! = Лз — бЛ вЂ” 18 = О б — Л 4 имеет корни Л~ = -2, Лз = 8, Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Лз = -2, Лз = 8, из уравнения (А — ЛЮ)У = О. При Л~ = — 2 — собственный вектор.
Прн Лз = 8 — собственный вектор. Так как собственные числа различны, отвечавщие им собственные векторы ортогональны. Нормируем, получаем е' — — ), сз — — — ~ ~. Матрица ортогонального през/5 ~ -2 ) т/5 ~, 1 ) образования Этому ортогональному преобразованкчо соответствует линейная за- мена переменных Подставляем (8) в уравнение кривой: -2х'~ + Зу' — 4(х' + 2у') — 8(-2х' + у') — 26 = 2х'~ + Зу'~ + + 12х' — 16у' — 26 = -2(х' — 3)з + 8(р' — 1)з — 16 = 0 и получаем (х' — З)~ 1у' — 1)Я = -1, 8 2 Делаем параллельный перенос: У 1 У х' — 3 =Х.
> Получаем каноническое уравнение сопряженной гиперболы; Хз Уз — — — = -1, ,з ьэ где о = ъ78, 6 = чг2. Строим декартову систему координат хОу 1 / на векторах г и 1, Далее в ней строим векторы е~~ — — — ~ 2 ) „б~-2) и е~з — — — ~ ~, они определяют новые координатные оси Ох' .б ~1/ и Од'. В этой системе отмечаем точку О' с координатами х' = 3, р' = 1, которая является началом системы координат ХО'У, где ось О'Х параллельна оси Ох', а ось О'1' параллельна оси Оу' (рис. 2). Пример б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
