Пугачев О.В.Квадратичные формы и их геометрические приложения.МГТУ 2004г (1095692), страница 5
Текст из файла (страница 5)
аы агг ° ° ага а„г ... а,„а ! ап ., аг аы . аг 47 в котором квадратичная форма г имеет канонический вид ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТЬ КВАДРАТИННЫХ ФОРМ Квадратичные формы подразделяют на различные типы. Определение 3. Квадратичную форму у(У) = УтАУ, где У = (хп . „, х„)т, будем называть а) положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого столбца ж = (хп ..., ж„)т выполняется неравенство ,г" (У) > О (7" (У) < О); б) неотрицательно (неположительно) определенной, если для любого ненулевого столбца ж = (жп ..., ж„)т выполняется неравенство у(У) > 0 ®У) < О); в) знакоперемениой (неопределенной), если существуют такие столбцы хи у, что г'(У) > 0 и г"(у) < О, Представив квадратичную форму ~ в каноническом виде, получим критерии для типа квадратичной формы в зависимости от собственных значений ее матрицы.
1. Все собственные значения Л, > О, 4 = 1, и, тогда г' — поло- жительно определенная. 2, Все собственные значения Л; < О, 4 = «., и, тогда 7" — отри- цательно определенная. 3. Собственные значения имеют разные знаки: Л; > 0,1 = 1,/с, Л < О,у = У+1,Й+гп,тогда Г' — знакопеременная. 4, Если есть нулевое собственное значение Л, = О, то 1 — вырогкденная, т.
е. существует такой ненулевой столбец ж, для которого ,г"(У) = О. Итак, найдя все собственные значения матрицы А квадратичной формы г(У), можно установить тип квадратичной формы. Но зто можно сделать и не вычисляя собственных значений матрицы А. Пусть квадратичная форма представлена в виде ( = х гАУ, где Главные угловые миноры этой матрицы а~~ агг А~ =ам; 'бив агз агг Критерий Снльвесгра. Квадратичная форма ДУ) = УтАх положительно определена тогда и только тогда, когда А| > О, Аг > О,..., А„> 0 (все главные миноры положительны), Квадратичная форма,)'(У) = жгАх, отрицательно определена тогда и только тогда, когда А~ < О, 0 г > О, г1з < О А4 > О -, (-1)" А„> 0 (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса). Если у невырожденной квадратичной формы найдется главный минор, равный нулю; либо главный минор четного порядка отрицателен; либо есть два главных минора нечетного порядка с разными знаками, то в этих случаях квадратичная форма знакопеременна.
Квадратичная форма Г" (У) = хтАт, определяется невырожденной симметрической матрицей А, поэтому симметрическая матрица А будет полонсительно определена (А > О), если все ее главные миноры положительны, соответственно А будет отрицательно определена, если знаки ее главных миноров чередуются, начиная с минуса. Пример 13.
Квадратичная форма 1(х~ ~ хг аз) = 2х~ + 3хг + хз + 4хз хг + 2х~хз + 2хгжз ,г 221 с матрицей А = 2 3 1 положительно определена, так как 1 1 1 Пример 14, Квадратичная форма 11хы хг, хз) = -2х> — хг — 14хз + 2х> хг + 2х>хз + 4хгхз г г ' г -2 1 1 с матрицей А = 1 -1 2 отрицательно определена, так 1 2 -14 как Ь| —— -2 < О, Ьг = 1 > О, >3 з = -1 < О.
Пример 15. Квадратичная форма Йхь хг, хз) = х> — ха+ 2х>хг — 2хгхз 1 1 0 с матрицей А = 1 0 -1 является знакопеременной, так 0 — 1 -1 как Ь> = 1 > О, г1г = — 1 < О. Действительно, выделив полные квадраты, получим ахи хг, хз) = (х> + хг)г — (хг + хз)г. Ь| = 2 > О, Ьг = 2 2 2 3 =2>о,бз= 2 2 1 2 3 1 =1>0. 1 1 1 Ответы 1.У(хыхг,хз) = 7 х> — -хз +б х х + г. Л> = 3 Лг = б Лз = 9; Ь| > 0 2 г > О, газ > 0; поло>кительно определенная.
2.Дхыхг,хз) = (х>+хг+ — ) — ~х> — хг — -хз) +2х,' — 33 -1+ 33 Л 2 ,Лг=1Л,= —;Ь,=О Ьг <О, Ьз < 0; зиакопеременная. 3. Дх>,хг) = -х~> — (хг — х>)г; 3 б 3 б Л> = --, — —, Лг = — -+ —; Ь! < О, бг > 0; отрицательно определенная. Ьолсе полно вопросы приведения квадратичной формы к кано- ническому виду изложены в И). Дополнительные задачи для само- стоятельного решения методами, изложенными а данном пособии, можно найти в [2 — 6).
Задачи для самостоятельной работы Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагран>ка и определить ее тип (положительно определенная, отрицательно определенная, знакопеременная). Проверить результат, найдя собственные числа и оценив главные миноры матрицы квадратичной формы. 1. У(хмхг,хз) = 7хг>+ Бхг~+ бхзг — 4х>хз — 4хгхз 2 У(хы хг, хз) = 4х>хг + 4х>хз — 2хгхз. 3. > (хм ха) = — 2х, + 2х>хг — хг. Варианты домашнего задания кКРИВЫК И ПОВЕР~ПОСТИ В'РОРО1'О ПОРЯДКАв В задачах 1, 2, 3: Привести уравнение кривой второго порядка ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду, указав преобразования перехода от исходной прямоугольной системы координат Оху к полученной системе 0'х'р'.
Начертить кривую на плоскости хОу, изобразив на чертеже систему 0'х'у'. В задаче 4: Привести уравнение поверхности второго порядка ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду, указав преобразования переход» от исходной прямоугольной системы координат Охра к полученной системе 0'х'у'я'. Построить поверхность в полученной системе координат 0'х'у'я', используя метод сечений. Во всех задачах собственные числа матрицы А квадратичной формы расположить в порядке возрастания, а матрицу ортогонального преобразования Т построить так, чтобы де~Т = +1. Вариант 1 1, Зхг — 2хр+ Зрг — бъ~2х+ 10~/2у — 6 = 0 2.
хг — Зхр + 7рг + 2Лх — 8Лд — 4 = 0 3. хг — б су + 9дг + 5 ~/10х — 5 Я О у + 40 = 0 4, хг — рг+бвг — бхя — 4уг+бх — 4д+2я = 0 Вариант 2 1. Зхг 4ху+ Здг 12~/2т+ 8 /2р — 1 = 0 2 2тг + бхр — бдг — 42 /10р — 504 = 0 3. 16хг + 24ту+ 9уг — 70х+ 10р — 25 = О 4. хг — 2уг + яг + 4ху — 10ха + 4ух+ 2х + 4у + 2г = 0 Варпант 3 1. 4т. — 4ху+ 4у — 2у'2х + 10у'2у — 1 = 0 2.
7хг + 48хр — 7рг — 110х — 20у+ 100 = 0 3. 1бхг + Зтд+ уз+ 10Л7х — бъ/Г7у — 51 = 0 4, 8тг+ буг+ Згг — 4ух+ 16х — 48 = О Вариант 4 1. — 2хг + 4:.гу — 5 уз + 4 /5х — 4~/бд — 4 = О 2. Зхг + Зху — Зуг — 2~/бх+ 4;/бу+ 5 = 0 3.
-хг + 10ху — 25уг + 8~/26х + 12~/26д — 26 = 0 4. хг — 5уг + гг + 4ху + 2хг + 1уз — бъl2х + 6Лг = 0 Вариант 5 1. Зхг + 4ху + Здг — 7ъ'2х — 13ч'2у — 1 = 0 2, бхг + бтр — Зуг + 8ЛОх + 80 = 0 3, 9хг + 24ту+ 16уг + 10х — 70р + 75 = О 4 4тг+уг+4гг Зтг+8Дт 2р+8Дх+17 Вариант б 1. 7хг+ 2ту+ 7дг + 6'/2х — бъ/2р — 18 = 0 2. бтг+ бху — 2уг+ 42~/10х+ 336 = 0 3. — 16хг + 24хд — 9уг + 70х + 10р — 125 = О 4.
2хг + Зуг + 4гг 4ху — 4ух — бр — бя — 3 = 0 Вариант 7 1. 7хг + 10хр+ 7уг + 4~/2х + 20ъ~2д + 32 = О 2. хг — бхд — 7уг — 6~/ГОх+ 2~/ГОу+ 42 = 0 3. тг — 4ху+ 4уг+ 645х — 2~/5р — 5 = 0 4. хг + д" — 2гг + 2ту+ 4 /2т — 4~/2у+ 4е — 2 = О 50 Вариант 28 1, Бхз+ 4ху+ буз — 6Лх+ 6~/2у — 9 =- О 2. 2хз — 6ху — буз + 5~/ГОх + ЗтУ10у — 37 = 0 3, -16хз + 8ху — уз + 6 Я7х — 10 ъ~Г7у + 51 = 0 4, бхз + буз — яз + 4ху + 2з — 9 = 0 Вариант 29 1 11„г+ бху+ Зуг 2ЯОх+6ЛОу — 22= 0 2 хз — бху+ уз — бчг2х+ 2зу2у+ 6 = О 3. хз + 8ху + 16уз — бзуГ7х — 7зг17у + 17 = 0 4. хз+ 5уз+ яз — 4хя+ згг2х+ з/2я — 1 = 0 Вариант ЗО 1. 5хз — бху+ 5уз + 20~/2х — 12з/2у+ 24 = 0 2, Зхз — 8ху — Зуз + 4Лх + ЗЛу + 20 = 0 3. 16хз+ 24ху+ 9уз + 130т, — 90у = 0 4.
7хз + 5уз + Зяз — Зху + Зуя + 10х + 10у — 20 = 0 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Калаглников А,Н., Крищекка А.П. Линейная алгебра / Под ред, В.С. Зарубина, А,П. Крищенко. Мс Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 335 с. 2, Системы линейных уравнений, линейные преобразования и квадр»- тичные формьк Методичсские указания к ДЗ по курсу линейной алгебры / Под ред. Р.С.
Зотиной, Мс МВТУ им, Н Э. Баумана, 1980, 34 с. 3. Крулгицкая Н. Ч., Шишкин А,А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. Мс Высшая школа, 1985, 120 с. 4. Сборник задач по линейной алгебре/Под ред. С.К. Соболева. Мз Издво МГТУ им. Н,Э, Баумана,1991. 154 с, 5. Козлов Н.Е., Пашовкин ЮМ, Цветкова ЛМ Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Методические указания, Мз МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1988.
37 с. б. БрульзинскийДН., Олась ГП„Фаликово ИД, Линейная алгебра: Методические указания. Мз МВТУ им. Н,Э. Баумана, 1980, 44 с. ОГЛАВЛЕНИЕ 14 37 40 46 48 Введение, Квадратичные формы, Преобразование квадратичной формы,....,.............,........, Задачи для самостоятельной работы......,,......,...,..., ., Исследование уравнений кривых и поверхностей второго порядка с помощью квадратичных форм . Задачи для самостоятельной работы,,......................, Приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа .
Знакоопределенность квадратичных форм,.....,....,............. Задачи для самостоятельной работы...,....,,,,....,....... Варианты домашнего задания «Кривые и поверхности второго порядка». Список литературы . Олег Всеволодович Пугачев 1алина Петровна Стась Александр Всеволодович Чередниченко КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания Редактор С.А. Серебрякова Корректор Л.1т'. Малютина Компьютерная верстка В.И. Товстонаг Подписано в печать 20 05 2004.
Формат 60х 84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 3,75, Уел. печ. л, 3,37. Уч.-нзд. л. 3,25. Тираж 1000 экз, Изд. № 20, Заказ/Ю Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
