Пугачев О.В.Квадратичные формы и их геометрические приложения.МГТУ 2004г (1095692), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Привести уравнение кривой — 16хз — уз + Зху + + 6Л7 х — 10Л7 у + 51 = 0 ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду. Указать преобразования. Построить кривую и все используемые системы координат.
Решение. Квадратичная форма г1х, р) = — 16хя — уз + Зхд, ее матрица— =(-," ',). Характеристическое уравнение матрицы: ! оъ ! Ъ о х о 5 'О СР ЗО о Я о «О »О Ъ П Ъ + Ь 4 Ь" «Э со ! с П о о о "О 1О х О» х О» х П П ;с 4 Зи х Ф х о о х О РС О с 8 х ! о съ ох К х о Й о» 4 х О' С»'РО х Х Й О» х х й 8 О "О И х И ! О» РР ! со + Оо со о Ю О» х У о 'съ о х х И х СО х о 2 К о о х о СР х о о ж х х х х+ О ОЪ в х Я ' «и 41„ х 3 р х П ~К <,хо о х о ~ Ох О. Ю х о ю Хс х 4 оъ о оъ о о О Е Ф О» х+ о ~~ П о ц о М О» О СР х о" РС Х х о О Д Оо '~ й О РО Х 'О Е о 3 О» "х 2 ~с ос 'О» о о 3~ о о 0 !х о Я- хс, ь О» ЬР х ос х д о о х о П 3:4 О' ГЪ Ф И о 2 и О )О Х О и 6 Ф СО 0 К о СР» Й К о ~1- „ ЬЪ о 1 К 2 О» о х х х о о О» х х о М 2 х о » х 5 4 оъ о Р» 2 5 РР о РС хс ! «» о ц о х о + ! ЬЪ РР о ! + Я » С»О ф ОЪ'О О Ь О» СР Р Х Ь» О» РЪ ОО К О» ЬЪ Я СР СО хо ЬЪ ЬЪ ОО О» + о ! с Р» оъ П О» П ! О» Р! + Рис.
2. Гипербола — собственный вектор. При Лз = О образования А= — 2 5 2 2 — Л вЂ” 2 4 — 2 5 — Л 2 4 2 2 — Л 1 х = — (4х'+ у'); У'17 у = — ( — х +4у) 1 ,'17 = -(Лз — 9Л~+ 108) = О. Делаем параллельный перенос: х' — 1 = Х; у' — 2 = У. 24 имеет корни Л1 = -17, Лз = О, Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Л1 = -17, Лз = О, из уравнения (А — ЛЯ)х = О. При Л1 = — 17 — собственный вектор. Так как собственные числа различны, отвечающие им собствец- 7 ные векторы ортогональны. Нормируя, получаем е, ), е~ — — — ~ !.
Матрица ортогонального преъ~Г7 (, -1,!' ~/Г7 1, 4 )' Р = — 1 ), с!ес Р =+1. 1 Г 4 1~ 4Г7[, — 1 4)' Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная за- мена переменных Подставляем (9) в уравнение кривой — 17х' + б(4х'+ у') — 10(-х'+ 4у') + 51 = -17х'з + 34х' — 34у'+ + 51 = 0 =л (х' — 1)з = — 2(у' — 2). Получаем каноническое уравнение параболы Хз = 2рУ, у которой р = -1.
Строимдекартову систему координатхОунавекторах з из. Далеевнейстроимвекторые', = — ~ ~ ие~ = — ( ), ~/Г7 ~, -1,/ ~/Г7 ~, '! ) они определяют новые координатные оси Ох' и Оу'. В этой системе отмечаем точку О' с координатами т.' = 1, у' = 2, которая является началом системы координат ХО'У, где ось О'Х параллельна оси Ох', а ось О'У параллельна осн Оу' (рис. 3), Пример 7. Привести уравнение поверхности 2хз + 5уз + +2аз — 4ху+8ха+4уа+18т+Збу+36а+ З4З = О ортогональным преобразованием к каноническому аиду. Указать преобразование перехода от исходной декартовой системы координат Охух к новой системе координат Ох'у'а'.
Сделать параллельный перенос начала координат в точку О'. Построить поверхность в системе координат О'ХУг, рещение. Квадратичная форл1а данной поверхности имеет вид Пх, у, г) = 2хв + 5уз + 222 — 4 ту + бхай + 4уа, Ее матрица Запишем характеристическое уравнение матрицы А: Его корни Л1 = — 3, Лз = Лз = 6. Находим собственные векторы, отвечающие собственным значениям Л1 = — 3, Лз =- Лз = б, из уравнения (А — ЛК)х = О.
При Л| = — 3 ил1сем -2 8 2 аз =- О =-л -2х1+ 8хз+2хз = О, Рис.3. Парабола О х О с О Е 6 Ф с« х х К о о ос х х х хс х х х о о О о М Е х о х о 4 о б х Ф о и ас О х Ь ас хс х о д 'о о х О 3:с х х « !! ! + ! !! о д о 3 о Е с о х о с 'са аъ ас (Ъ х о с .С х и сс '! ««аа «с + «о а« с П е !! Я о «о ."' «са а о д "«3 х о ас са а« Ч б 3 "о о о о Ф о !! ! са сс с' + Ф о х Ф х х ас х ч '«л х Ф са х хс О О сс б !! ф ! о со Ф «« О + «« «о о Ч о а" с ас Х О О ос О О О О 'С."3 О О Е о о о О о хс с«~ «О а««а «« + ! са ! «о с««! 'с« ++ !! !! Н ооо ! ! «а 4 «о ! !! ооо О Л ос О х х х ) хс !! СЬ О !! со о аа „" д ,В О сс' о ос а~с «а х И с о о Е О Х О О ос х О "! ас Ф хо о х о сс с х х «« .й О о «о о - В !! х~ ас оа Е о с« ьэ О (~) е ч о х чх О Х Х а' О ОО х хс кй Х О 4 х О Ч х ас Х ОВ х х ос 'о ас о Ю в о хс к х О О К ,З 4 с х сс х е О К ю х Е о 'о о О Это линейная система трех уравнений с тремя неизвестными, определитель ее матрицы равен О, поэтому ранг матрицы меньше 3, но 5 -2 базисный минор е ф О, поэтому ранг матрицы равен 2.
Оставляя первые два уравнения и полагая х1 = 2, получаем хг = 1, хз = — 2, Таким образом, собственному значению Л1 = — 3 отвеча- 2 ет собственный вектор хз = 1 — 2 При Лг = Аз = 6 имеем — 2 — 1 2 хг = О -4х1 -2хг+ 4хз = О, = -2х1 — хг+ 2хз = О, 4х1 +2хг — 4хз = О, Ранг матрицы этой системы равен 1, поэтому в системе можно оставить одно уравнение хг = -2х1+ 2хз, тогда общее решение этой системы хг = -2хг + 2хз Убедимся, что при любых хп хз этот вектор ортогонален вектору 2 е1 = 1: скалярное произведение — 2 < 2 х1 1 — 2х1+ 2хз = 2т1 — 2х1+ 2хз — 2хз = Π— 2 хз х1 Остается из множества векторов -2х1 + 2хз выбрать два хз взаимно ортогональных вектора. При х1 = 1 и хз = 2 получаем 2б хг = 2, и для собственного значения Лг = 6 получим отвечающий 1 ему собственный вектор сг = 2, уже ортогональный векгору 2 2 сг = 1, отвечающему собственному значению Лг = — 3.
-2 х1 Теперь из множества собственных векторов — 2хг + 2тз вы- хз берем вектор пз так, чтобы пг ~. сз, т. е. сг 'пз = хг — 4хг+ 4хз+ 2хз = -Зхг+ бхз = 0 =э хг = 2хз. 2 Полагая хз = 1, получаем хз = -2 — собственный вектор, 1 отвечающий собственному значению Лз = 6. Нормируя полученную систему попарно ортогональных векторов, получаем е',= — 1; ег= — 2 ез = 3 Составим из векторов-столбцов ортонормированного базиса е',, е~г, е~з матрицу ортогонального преобразования Р= — 1 2 -2 юторой соответствует линейная замена переменных у = Р у' = — х'+ 2у' — 2з' 28 базис е',, ег, е~з — ортонормированный, поскольку бег Р = +1, базис правильно ориентирован (правая тройка). Итак, канонический вид квадратичной формы 2хг+ 5уг+ 2з~ — 4ху+ Зхз+ 4ух = -Зх'+ бу~'+ бх Подставляя в уравнение поверхности х = -(2х'+ у'+ 2я'), у = -(х'+2у' — 2з'), 1 з = -(-2х'+ 2у'+ з'), гюлучаем -Зх +бу' +ба' +6(2х'+у'+2г')+12(х'+2у'-2я~~+12(-2х'+ + 2у + з )+ — = -Зт/ + 6у' + ба' +54у'+ — = О.
243 г г г 24 2 Выделяем полный квадрат: ,г — Зх +6 у +-) +ба =О. зг / Ох,г 2) Делаем параллельный перенос начала координат: ' = Х, у'+ — = У, ' = г. Получаем каноническое уравнение поверхности: Хг уг — — + — + — = О. 2 1 1 Это уравнение конуса. Строим его методом сечений. В плоскости Х = 0 Уг+ Яг =- О, получаем точку (Х = О, У=О,Я=О). В плоскостях Х = с Уг + Яг = сг/2 — окружности. В плоскости У = 0 Яг = Хг/2 =: Я = ~Х/~/2 — две пересекающиеся прямые, проходящие через точку (Х = О, У = О, г= О). В плоскости Е = 0 Уг = Хг/2 =~ У = ~Х/ъ'2 — две пересекающиеся прямые, проходящие через точку (Х = О, У = О, Я = О) (рис,4), Рис.4. Конус Д 'о И с р — О о 1 о У И 1 О с У И о о о И 1 + У 1 П о ООО И ооь ?с ?с 1 И И П о о о сс х д о х сс и 2 в х И 1,с сс о й И ф й о о ссс о н в с? х х ф хс о? о о х о И с-? о? о он о в х о й с» оьо Й со Н + ,о + ?? й с Ьсс И И И '» о !?? 'о о .с х с ф в '- хБ х в И ос о' 1 н в с?с х И ф х ОС Е сс х ф с х в х ьэ Ж УГ о И х 1 К о о о? в в х о х У в со 4 х о о сс? ф д Е и х о 4 4 х и с о о о с х С О ! О сс с?0 в с о х хх К фн о х И- Н в И ,? Х сс ф сс + о со сс й сс ф ?:с в о х о д о о нв х ?с Оц х+ ~;фх х ьэ а сс о до х ~„~И в о о х ф о сс о "о 'о н фИ х х ?хс ф ь'» х о о х д о о нф ф н в ф С~ ос вх о о о х хс» ~ х вх й ° в х фф ф о х х ф в сс И о д д хсв "о о я о'ов о х х о?х н в?с Й ы о "о Е ф о с.? в о ф 1 ?с н о о о х ".о х-~в х ?с я сс х сР + Р" ~~Р 8 ПРивести уравнение поверхности вз — 8„з „з + 2жг+ 4ъ~2х — 4 ~2я = = 0 ортогональным преобразованием к каноническом ви .
Ук у ду. взать преобразование перехода от исходной декартовой системы координат Отуз к новой системе координат ж'у'з'. Построить поверхность в системе координат Ох'у'в'. Ревгение. Квадратичная форма данной поверхности имеет вид ,)(ж, Р> з) = хз — 8рз+ аз+ 2вз.
Ее матрица А= 0 -8 0 Эапишем характеристическое уравнение матрицы А: 1 — Л 0 1 0 -8 — Л 0 1 0 1 — Л = -Л(Л+ 8)(Л вЂ” 2) = О. Его ко ниЛ р ~ = — 8, Лз = О, Лз = 2. Находимсобственные векторы, отвечающие собственным значениям Л = -8, Л = О, Л вЂ” з=, з =2,из уравнения (А — ЛЕ)ж = О.
При Лд = — 8 0 0 0 жз = 0 => О = О, Легко замет ить, что жз = хз = О, а яз — любое число, Собственн ому 1 0 значению Л~ = — 8 отвечает собственный вектор вз = 1 0 ПриЛз =О 0 -8 0 жг = О =~ -8ез= О 30 Легко заметить, что хз = О, х1 = -хз, и собственному значению 1 Лз = 0 отвечает собственный вектор сз = 0 — 1 При Лз = 2 0 -10 0 хз = О =: -10хз == О, Так как собственные числа различны, отвечающие им собственные векторы попарно ортогональны.
Нормируя зту систему векгоров, получаем: з=, (О) е',= 1; е!з= — 0 Составим из векторов-столбцов ортонормированного базиса е', е,', е!з матрицу ортогонального преобразования: Действуем аналогично. Тогда хз = О, х1 —— хз, и собственному зна- 1 ченню Лз = 2 отвечает собственный вектор вз = 0 1 Канонический вид квадратичной формы х — 8уз + зз + 2хз = -8х' + 2з' . Подставляя в уравнение поверхности х= — (у +з'), ~!2 у=х, з= — (-у+я), ! 1 ! ~/2 Решение. Квадратичная форма данной поверхности имеет вид ,Г(х,у,г) = 2хз+ 2уз+ 5зз+ 4ху+ 2тз+ 2уз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
