Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши (2007)

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияА.И. Лошкарев, Т.В. ОблаковаФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕЛИНЕЙНОГОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГООПЕРАТОРА И ЗАДАЧА КОШИИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.И. Лошкарев, Т.В. ОблаковаФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕЛИНЕЙНОГОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГООПЕРАТОРА И ЗАДАЧА КОШИМетодические указанияк выполнению домашнего заданияМоскваИздательство МГТУ им.

Н.Э. Баумана2007УДК 517ББК 22.16Л81Л81Рецензент Л.Д. ПокровскийЛошкарев А.И., Облакова Т.В.Фундаментальное решение линейного дифференциальногооператора и задача Коши: Методические указания. – М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 71 с.: ил.Изложен метод решения задач математической физики,основанный на использовании фундаментального решения линейного дифференциального оператора.Даны основные сведения по обобщенным функциям, причем обобщенные функции вводятся как функционалы напространстве основных функций. Выведены формулы фундаментальных решений для ряда операторов, используемых приописании колебательных процессов, а также процессов теплопроводности (диффузии) в системах с распределенными параметрами.

Подробно рассмотрено применение метода к решению задачи Коши для соответствующих типов уравнений.Даны примеры решения конкретных задач. В приложении приведены варианты типового расчета.Для студентов машиностроительных специальностей, изучающих спецкурс «Уравнения математической физики».Ил. 18.

Библиогр. 4 назв.УДК 517ББК 22.16c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20071. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ1.1. Вступительные замечанияДанные указания посвящены изложению одного из методов решения задач математической физики, известному как метод фундаментального решения. В этом методе важную роль играют так называемые сингулярные функции, используемые для описания сосредоточенных воздействий и для интерпретации начальных и краевыхусловий в виде такого рода воздействий.Самый известный и простейший пример сингулярной функции — дельта-функция Дирака δ (t). Самое простое определениеэтой функции, предложенное физиками, выглядит так:δ (t) =причемZ∞(0,t 6= 0,∞,t = 0,δ (t) dt = 1 (рис.

1.1).Понятно, что определенный таким образом объект не является функцией с точки зрения математики, а интегральная записьZ∞δ (t) dt = 1 не может иметь смысл классического интеграла.−∞Но с точки зрения физики δ (t) можно легко интерпретировать какплотность единичного заряда, сосредоточенного на прямой в точке t = 0. Также δ (t) можно, очевидно, использовать для описания−∞3Рис.

1.1мгновенного (в нулевой момент времени) импульсного воздействияединичной интенсивности.Чтобы рассматривать точечный заряд в точке t = a или мгновенное импульсное воздействие в момент времени t = a, нужноиспользовать смещенную дельта-функциюδ (t − a) =(0, t 6= a,∞, t = a,Z∞−∞δ (t − a) dt = 1.Примером может служить задача экологического прогнозирования. Пусть в области Ω имеется некоторое число постоянных илипериодически возникающих источников загрязнений. Если областьΩ достаточно велика по сравнению с размерами источников, то дляописания их суммарного воздействия используют функциюXF (x, y, t) =ai (t) δ (x − xi ) δ (y − yi ).iЗдесь xi , yi — координаты i-го источника, а ai (t) — интенсивностьвыбросов i-го источника в зависимости от времени.

Если выбросыслучаются в дискретные моменты времени, то ai (t) также можетбыть линейной комбинацией дельта-функций.Расширение класса задач, в которых фигурируют сингулярныефункции, потребовало создания строгой математической теории таких функций, что и было сделано в 30-х годах прошлого века советским математиком С.Л. Соболевым.41.2. Определение обобщенной функцииОпределение 1.1. Дельта-функция Дирака δ (t) — это функционал (т. е. функция, аргументом которой является другая функция),определенный на множестве непрерывных функций и ставящий всоответствие функции ее значение в нуле.Записывают это так: (δ (t) , ϕ (t)) = ϕ (0). В скобках на первомместе стоит функционал, а на втором — его аргумент, т.

е. функцияϕ (t). Читают эту запись так: «Результат действия функционала δ (t)на функцию ϕ (t) есть ϕ (0)».Свойства функционала δ (t):1) (δ(t), (αϕ + βψ) (t)) = α (δ(t), ϕ(t)) + β (δ(t), ψ(t)) ∀ α,β ∈ R, т. е. результат действия функционала δ(t) на линейную комбинацию функций совпадает с соответствующей линейной комбинацией образов функций. Это свойство называется линейностью иимеет место, поскольку обе части этого выражения равны αϕ(0) ++ βψ(0);2) если ϕn → ϕ равномерно, то (δ(t), ϕn (t)) → (δ(t), ϕ(t)).Это свойство естественно назвать непрерывностью. Поскольку(δ(t), ϕn (t)) = ϕn (0), а (δ(t), ϕ(t)) = ϕ(0), в этой импликациизаключение означает, что ϕn (0) → ϕ(0).

Но этот факт, очевидно,следует из равномерной сходимости функциональной последовательности.Определение 1.2. Обобщенной функцией называется всякийлинейный непрерывный функционал, заданный на некотором пространстве функций D, называемом основным.Замечание 1.1. В общем случае в качестве D обычно берутмножество бесконечно дифференцируемых функций, отличных отнуля только на ограниченной области. Такие функции называютфинитными, или функциями с компактным носителем. (Носительфункции suppϕ — это множество, на котором функция не равнанулю.) Однако, как указано выше, дельта-функция определена наболее широком множестве непрерывных функций.Далее, на множестве D определяют сходимость, и тогда оно становится пространством.

По определению полагают, что ϕn → ϕ,если носители всех этих функций содержатся во множестве [−R, R]5и последовательность {ϕn } равномерно сходится к ϕ вместе со всеми своими производными.Множество обобщенных функций на основном пространстве Dобозначается D0 . D0 также становится пространством, если определить сходимость обобщенных функций естественным образом.Определение 1.3. Последовательность обобщенных функций{fn } называют сходящейся к обобщенной функции f в пространстве D0 , если ∀ϕ ∈ D при n → ∞:(fn , ϕ) → (f, ϕ) .Можно показать, что D0 является полным пространством (пределы последовательностей обобщенных функций также являютсяобобщенными функциями, т. е. линейными и непрерывными функционалами).В качестве примера функции из пространства D рассмотрим такназываемую шапочку.

Определимε2 C e− ε2 −|t|2, |t| 6 ε,εω ε (t) =0,|t| > ε,(1..1)где ε — Zпроизвольный параметр, а константа C ε вычисляется изусловияω ε (t)dt = 1.В самом деле, в одномерном случае, используя, например, правило Лопиталя, легко показать, что предел производной любого порядка этой функции равен нулю справа в точке t = −ε и слева вt = ε. Таким образом все производные в этих точках непрерывно «сшиваются» с прямолинейными участками оси t.

Формула (1.1)определяет, таким образом, бесконечно дифференцируемую финитную функцию на Rn (интеграл тогда берется по Rn ). График «шапочки» в одномерном случае показан на рис. 1.2 для трех значений1 1ε = 1, , .2 46Рис. 1.2Все обобщенные функции делятся на регулярные и сингулярные. К регулярным обобщенным функциям относятся функционалы, связанные с обычными локально (т. е. на конечных промежутках) интегрируемыми функциями f следующим образом:Z∞(f (t), ϕ(t)) =f (t)ϕ(t)dt. Этот интеграл существует, посколькуна самом деле берется по ограниченной области, в которой ϕ ∈ Dотлична от нуля.Примером сингулярной обобщенной функции может служитьопределенная выше δ(t). Можно доказать, что нет такой локальZ∞но интегрируемой функции f , что ∀ϕ ∈ Df (t)ϕ(t)dt = ϕ(0).−∞Тем не менее интегральная записьZ∞−∞δ(t)ϕ(t)dt = (δ(t), ϕ(t)) уза-конена для обозначения результата действия функционала δ(t) нафункцию ϕ(t).

В частности, если в качестве непрерывной функцииZ∞взять ϕ(t) ≡ 1, тоδ(t)dt = ϕ(0) = 1.−∞−∞7Замечание 1.2. Если регулярную функцию f как-либо переопределить в одной точке, то, очевидно, значение интегралаZ∞f (t)ϕ(t)dt не изменится, т. е. она будет определять тот же функ-ционал.

Следовательно, об обобщенной функции нельзя сказать,что она принимает определенное значение в точке. Но можно говорить о том, например, что обобщенная функция f равна нулю нанекотором промежутке, подразумевая при этом, что (f (t), ϕ(t)) = 0для всех основных функций ϕ, носитель которых содержится в данном промежутке. Так, дельта-функция δ(t) совпадает с тождественным нулем на любом множестве, не содержащем нуль, посколькувсе основные функции ϕ с соответствующим носителем принимают в нуле нулевое значение ϕ(0) = 0. Таким образом, можносказать, что носителем δ(t) служит точка supp δ(t) = {0}.Пример 1.1.