Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши (2007), страница 4

Если предположить, что оператор L имеет в некотором смысле обратный операторL−1 , то, применяя этот оператор к обеим частям уравнения (2.1), мыполучим: L−1 Lu(X) = L−1 f (X), или27Таким образом, равенство (2.2) представляет собой решение(2.1). Однако даже если под оператором L подразумевать простоеоднократное дифференцирование по одной из переменных, уже становится ясно, что обратное действие (интегрирование) определеноне однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.

Естественно, для более сложно устроенных операторов это обратноедействие (интегральный оператор) также не будет однозначным.Тем не менее будемискать обратный интегральный оператор в видеRL−1 (f (X)) = G(X, ξ)f (ξ)dξ. Функция G(X, ξ), где X, ξ ∈ R4 ,называется ядром интегрального оператора. Применяя к обеим частям (2.2) оператор L, получаемZZL(u(X)) = L G(X, ξ)f (ξ)dξ = L (G(X, ξ)) f (ξ)dξ.R4R4R4Здесь L — оператор дифференцирования по переменной X, а интеграл берется по переменной ξ, поэтому мы можем менять порядокопераций.RСравнивая последнее равенство с (2.1), заключаем, что f (X) ==L (G(X, ξ)) f (ξ)dξ.

В то же время по определению дельтаR4Rδ(X − ξ)f (ξ)dξ, т. е. действие функционалафункции f (X) =G(X, ξ) совпадает с действием δ(X − ξ).Отсюда имеемR4LG(X, ξ) = δ(X − ξ).(2..3)Решение уравнения (2.3) называют фундаментальным решением оператора L, а также функцией источника, или функцией Грина,или функцией влияния. Последнее название подчеркивает физический смысл этой функции: G(X, ξ) является решением уравнения(2.1) в том случае, когда правая частьf (X) = δ(X − ξ) = δ(x1 − ξ1 )δ(x2 − ξ2 )δ(x3 − ξ3 )δ(t − τ)представляет собой результат влияния точечного возмущения, сосредоточенного в ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , τ), т. е. в точке пространства(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) в момент времени τ.28Вообще говоря, G(X, ξ) — обобщенная функция. В простыхслучаях G(X, ξ) зависит только от разности X − ξ. Обозначим тогдаG(X, ξ) = E(X − ξ), после чего формулу (2.2) можно переписатьтак:Zu(X) = E(X − ξ)f (ξ)dξ = (E ∗ f ) (X).(2..4)R4В правой части (2.4) стоит свертка функции влияния и функции, характеризующей внешнее воздействие, что можно интерпретироватькак суммарное влияние этого воздействия.Далее будем рассматривать только случай G(X, ξ) = E(X − ξ).Тогда определение (2.3) упростится, т.

е. под фундаментальным решением оператора L будем понимать любую функцию E(X), удовлетворяющую в обобщенном смысле уравнениюLE(X) = δ(X).(2..5)Анализируя формулу (2.5), можно заключить, что фундаментальное решение оператора, имеющего ядро E(X), определено сточностью до любого решения ũ однородного уравнения Lũ(X) == 0, так как L (E(X) + ũ(X)) = δ(X) + 0 = δ(X).

Эта неопределенность обусловлена отсутствием конкретики в постановке задачи. Учет начальных условий, как мы убедимся далее, позволяетдать однозначное решение.Заметим, что хотя до сих пор в рассмотрении фигурировалифункции четырех переменных, все те же выводы можно сделатьдля функций любого количества переменных.2.2. Фундаментальное решение линейногодифференциального операторас обыкновенными производнымиПример 2.1. Найдем фундаментальное решение простейшегоdлинейного дифференциального оператора L =+ a. Для этоdtdEго, согласно определению (2.5), нужно решить уравнение+dt+ aE = δ(t).

Сделаем это операционным способом, обозначив29изображение искомой функции E(t) через E (p) : E(t) : E (p)._dEТогда производнаяперейдет в произведение p E (p), и для изоdt__бражений получаем уравнение p E (p) + a E (p) = 1, поскольку_1и восстанавливаем оригиδ(t) : 1. Отcюда находим E (p) =p+aнал E(t) = θ(t)e−at .Следовательно, фундаментальным решением оператора L =d=+ a будет функцияdtE(t) = θ(t)e−at .(2..6)__Пример 2.2. Найдем фундаментальное решение дифференциd2ального оператора второго порядка L2 = 2 + a2 .dtd2 EВновь решим нужное нам уравнение 2 + a2 E = δ(t) операdt_ционным методом. Для изображения E (p), согласно правилам, по___лучаем уравнение p2 E (p) + a2 E (p) = 1. Отсюда находим E (p) =1sin atи восстанавливаем оригинал E(t) = θ(t). Таким= 22p +aad2образом, фундаментальным решением оператора L2 = 2 + a2dtбудет функцияsin atE(t) = θ(t)(2..7).aЗамечание.

2.1. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными можнополучить и по-другому.dndn−1Пусть Ln = Ln (d) = a0 n + a1 n−1 + ... + an — линейdtdtный дифференциальный оператор n-го порядка с обыкновеннымипроизводными. Покажем, что фундаментальное решение Ln имеетвид E(t) = θ(t)y, где y — частное решение однородного дифференциального уравнения Ln y(t) = 0, удовлетворяющее начальнымусловиям1y(0) = 0, y 0 (0) = 0, . . . , y (n−2) (0) = 0, y (n−1) (0) = .a030В силу выбранных начальных условий функция E(t) = θ(t)yнепрерывна в нуле вместе со своими производными до (n − 2)-гопорядка.

Тогда ее обобщенные производные (см. формулу (1.7))равныE 0 (t) = θ(t)y 0 , E 00 (t) = θ(t)y 00 , . . . , E (n−1) (t) = θ(t)y (n−1) .Однако E (n) (t) = θ(t)y (n) +1δ(t), поскольку (n − 1) произa01водная уже имеет скачок, равный . Тогдаa0(n)Ln E(t)E (n−1) (t) + . . . + an E(t) = = a0 E (t) + a11= a0 θ(t)y (n) + δ(t) + a1 θ(t)y (n−1) + ...

+ an θ(t)y =a0= θ(t) (Ln y) + δ(t) = δ(t),что и требовалось доказать.Теперь мы можем найти фундаментальное решение оператора из примера 2.1 и другим способом. Согласно замечанию, фунd+ a будет функциядаментальным решением оператора L =dtE(t) = θ(t)y, где y — частное решение уравнения y 0 + ay = 0,удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

Хорошо известно, что искомая функция y(t) = e−at . Следовательно, получаем тотже результат: E(t) = θ(t) e−at .Аналогично и в примере 2.2 фундаментальное решение можетбыть найдено с помощью частного решения дифференциальногоуравнения y 00 + a2 y = 0 с начальными условиями y(0) = 0, y 0 (0) == 1. Как известно, общее решение этого уравнения имеет видy(t) = C1 cos at + C2 sin at. Отсюда получаем его частное решеsin at. Такимние с указанными начальными условиями y(t) =asin atобразом, E(t) = θ(t), и мы опять приходим к формуле (2.7).aПример 2.3. Найдем фундаментальное решение оператораL3 = 4d3d2d+ 8 2 + 21 + 17.3dtdtdt311-й способ.

Согласно последнему замечанию, E(t) = θ(t)y(t),где y(t) — частное решение однородного дифференциального уравнения 4y 000 + 8y 00 + 21y 0 + 17y = 0 с начальными условиямиy(0) = 0,y 0 (0) = 0, y 00 (0) =1.4Поскольку корни характеристического уравнения 4λ3 + 8λ2 +1+ 21λ + 17 = 0 есть λ1 = −1,λ2,3 = − ± 2i, получаем, что2ty(t) = C1 e−t + e− 2 (C2 cos 2t + C3 sin 2t) .Два раза дифференцируем:y 0 (t) = −C1 e−t +tC2C32C3 −cos 2t − 2C2 +sin 2t ,+ e− 222y 00 (t) = C1 e−t +15C215C3− 2t−2C3 −cos 2t + 2C2 −sin 2t .+e44Подставляем начальные условия и получаем систему для нахождения констант:C1 + C2 = 0,C2−C1 −+ 2C3 = 0,2 C1 − 15 C2 − 2C3 = 1 .44Отсюда находим C3 =32111, C3 = − , C3 = .

Следовательно,171768t1E(t) = θ(t)4e−t + e− 2 (−4 cos 2t + sin 2t) .68График этой функции показан на рис. 2.1.Рис. 2.12-й способ. Решаем операционным методом уравнение4d3 Ed2 EdE+8+ 21+ 17E = δ(t).32dtdtdtДля изображений получаем____4p3 E (p) + 8p2 E (p) + 21p E (p) + 17 E (p) = 1.Отсюда_E (p) =1,4p3 + 8p2 + 21p + 17и после разложения этой дроби на сумму простейших1_E (p) =(p +=+ 4p + 17)11−4p==+17 p + 1 4p2 + 4p + 171) (4p2331  1+17  p + 1−p=21p++ 2221− p+1 122 1+=+.2217  p + 1411+ 22+ 22p+p+22=Остается восстановить оригинал:t−1E(t) = θ(t) 4e−t + e 2 (−4 cos 2t + sin 2t) .682.3.

Фундаментальное решениеодномерного волнового оператораНайдем фундаментальное решение одномерного волнового оператора∂2∂2Lволн = 2 − a2 2 .(2..8)∂t∂xЗдесь параметр a > 0 имеет смысл скорости распространениявозмущения в среде.Согласно определению (2.5), фундаментальным решением оператора (2.8) будет обобщенная функция E = E(x, t), удовлетворяющая уравнению2∂2E2∂ E−a= δ(x, t) = δ(x)δ(t).∂t2∂x2Применим к этому равенству преобразование Фурье по переменной x.

Тогда, если Ê = Ê(ω, t) — преобразование Фурье (неизвестной) обобщенной функции E = E(x, t), то первое слагаемое∂ 2 Ê(ω, t)∂2Eперейдет в,аперейдет в (iω)2 Ê(ω, t). С учетом2∂t∂x234преобразования Фурье от дельта-функции получаем уравнение дляÊ = Ê(ω, t):∂ 2 Ê+ a2 ω2 Ê = 1(ω) ∙ δ(t) = δ(t).∂t2(2..9)Теперь заметим, что левая часть равенства (2.9) есть результатd2+ (aω)2 к функции Ê. Считаяприменения оператора L2 =dt2переменную ω параметром, из примера 2.2 получаем: Ê(ω, t) =sin (a |ω| t)sin (aωt)= θ(t)= θ(t). Осталось применить обратноеa |ω|aωпреобразование Фурье по переменной ω.В силу очевидной цепочки равенств+∞Z−∞θ(at − |x|) ∙ e−iωxZ+atat1dx =e−iωx dx =e−iωx −at =−iω−at=eiωat − e−iωat2 sin (aωt)=iωωsin (aωt) 12 sin (aωt)заключаем, что функция Ê(ω, t) = θ(t)= θ(t)aω2aω1есть преобразование Фурье отс точностью до множителя2aR 2 sin (aωt) iωx1 +∞θ(at − |x|).

Следовательно, θ(at − |x|) =e dω,2π −∞ωоткуда1E(x, t) =θ(at − |x|).(2..10)2aФункция E = E(x, t) на самом деле очень проста. Из рис. 2.21видно, что она принимает постоянное значениетолько внутри2aтак называемого конуса будущего (в области −at 6 x 6 at), а внеего совпадает с тождественным нулем.35Рис. 2.22.4. Фундаментальное решение операторатеплопроводности (диффузии)Найдем также фундаментальное решение оператора диффузиис конвективным переносом и поглощением в одномерном случае:L(∂) =∂∂2∂− a2 2 − b− c.∂t∂x∂x∂Здесь появившиеся дополнительно слагаемые bи c отвечают за∂xконвективный перенос и поглощение (выделение) диффундирующей субстанции соответственно.Фундаментальное решение этого оператора удовлетворяетуравнению∂E∂E∂2E− a2 2 − b− cE = δ(t)δ(x),∂t∂x∂x36которое, как обычно, решим операционным методом.Сначала применим преобразование Фурье по переменной x.Если Ê = Ê(ω, t) — преобразование Фурье от E = E(x, t), то∂ Ê(ω, t)+ a2 ω2 Ê(ω, t) − iωbÊ(ω, t) − cÊ(ω, t) = δ(t).∂tДалее применим преобразование Лапласа по переменной t.