Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия (2002)

Московский государственный технический университет имени Н,Э. Баумана УЛК 512.94 ББК 22,151.5 П24 Рецензент М.»1. Сержсигповэ П24 Пелевина А.Ф.„Зорина И.Г, Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Методические указания к выполнению типового расчета. Под ред, А,Ф. Пслспипой, — Мц Изд-по МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2001, -80 с,, ил. 1БВ17 5-7038-1904-4 Методические укззьипя охэатыпают основные разделы зсктсрпой алгебры и аналитической геометрия. Каждая пэ рассмотренных тем содержпт краткие теоретические сэвдсппх, иеобхоппмые длз решения задач, примеры решения типовых задач, копгролькыс зэдьппз, задачи длэ самостоятельной работы. Призе. дспы ЗО ээрнаптоп тппоэого расчета по пеэторпой алгебре и апа. лэтнчесхой геометрии, состоящих пз 15 задач, Длэ студсптпп первого курса песк специальностей, может' быть полезно преподазатслям прп проэедсппп семкпьрскнх занятий, Ил.21.

'Габл. 1, Бпблпогр, 4 цьзп. УДК 612.94 ВБК 22,161.6 Алла Федоровна Пелевина Ирин~ Григорьевна Зорина ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Редактор Б.К. Кешвлеэа Корректор Г,С. Бслясеп Изд. лкц. Ия 020523 от 25,04.97 г. Псдппсэпс з печать 11,12.01. формат бох54/16. Бумага офсетная Печ. л.

5,0. Уел. цеч. л, 4,65, Уч,-изд, л, 4,29, Тпоэж 100 зхз. Иэд, Ха б, Заказ ЮэЩ Издьтельстпа МГТУ им. Н.Э. Баумана, типография МГТУ пм, Н,Э, Бэумаца. 107006, Москва, 2-я Бауманская, 5, 19ВИ 5-7036-1964-4 03 МГТУ иы. Н,Э, Баумана, 2001 Г л а в а 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1,1. Геометрические векторы. Линейные оперении над векторами В природе встречаются скалярные и векторные иелнчи1п». Определение 1.1. Величина называется скалярной, осли она характеризуется заданием ее числового значения. Определение 1,2.

Величина называется векторной, < глп она характеризуется пе только числовым значением, но и и л правлением и прострннстпе. При изучении векторных величин нужно знать пл1пбр ш к торов, Определение 1.3. Геометрическим лектором нпзьпшг1 з направленный отрезок. Обозначим вектор о или . Й1, если ппп и А — начало, а точка 13 - конец вектора (рис, 1).

Рис. 1 Определение 1,4. 1йодулеы вектора называется епз глина (обозначение: 1а) или 1ЛВ1). Определение 1,5. Пулевым вектором низыиае ~гя 'пок гор, у которого начало и копен соипадают. Модуль нулевого вектора ранен пулю; направление неопределенное. Определение 1.6. Едкничным вектором, или ортом, называется вектор, длина которого равна единице. Определение 1.7, Ортом вектора а называется едкничный вектор ав того же направления, что и вектор а. Определение 1.6.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой нлн на параллельных прямых, Определение 1.9. Векторы называются компланарными, 'если онн лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Определение 1.10. Векторы называются равными, если .они коллннеарны, одинаково направлены (сонаправлены) и модули нх равны.

Определение 1.11. Два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые модули н противоположные направления (для вектора АВ это вектор ВА), называются противоположными (если ХЗ = а, то УХ = -а). Лиыейиме операции над векторами Определение 1,12, Линейными операциями над векторами называется сложение (вычктание) векторов и умножение вектора на скяляр. Определение 1.13, (правило треугольника), Суммой векторов а н Ь называется вектор, соединяющий начало вектора а с концом вектора Ь', если начало вектора Ь совмещено с концом векторе, а (рис. 2).

Рис. в Фх Рис. б Определение 1.14, (правнло параллелограмма). Сумма векторов а н Ь, нмеюгцнх общее начало, равна диагонали параллелограмма, построенного.на векторах а н Ь, и выходящей нз общего начала векторов а к Ь (рис, 3). Определение 1,16. Суммой п векторов аы аз, аз, ...а„ называется вектор, соединяющий начало вектора а1 с клипом вектора ае, если начало вектора аз совмещено с концом а1, начало аз совмещено с концом аз и т,д. (рнс, 4).

Определение 1.16. Разностью векторов а н Ь, кмеюшчх общее начала, называется вектор, соединяющий конец вычи га. емого вектора с концом уменьц~аемого (рнс, 6). Разность векторов а н 6 можно найти, сложив с вектором а противоположный вектор (-6): а — 6 = а + (-6), Справедливы законы сложения'векторов: 1) а+Ь = Ь+а (перемсстительный); 2) (а+Ь)+с = а+(6+с) (сочетательный); 3) Для каждого (Ч)а вьцюлняется равенспю а+О=а; 4) Для Ча существует (В) противоположный вектор (-а), такой, что а+ (-а) = О, Определение 1,17.

Произведением вектор~ а на скаляр Л называется вектор Ла> коллинеарный вектору а, сопакрввлевпый с ннм, если Л ) О и направленный противоположно ему, еслк Л < О, имеющий длину )Ла) = )Л~ ° )а~. Справедливы законы умножения вектора на сквляр: 5) Л(да) = (Лд)а (сочетательный), 6) (Л + )з)а = Ла + да (распределительный относнзельяо суммы скаляров); 7) Л(а+ Ь) = Ла Ь ЛЬ (распределительный огпосигельпо суммы векторов); 8) Иля Ча выполсяетая равенство 1а = а.

Из определения умножения вектора на скаляр следует: 1. Вехтор, противоположный вектору а, получается умножением вектора а на скачяр Л = — 1(-а = (-1)а+ 2. При умз ожении Ча на скаляр 0 получае вся нулевой векгор: Оа = О. 1 3. Гали Ча Р О умножить на скяляр Л = —, то получится !а!' екнлнчный вектор. Этот вектор называется ортом вектора а я обозначается ае: а о а (1,!) !а! Законы линейных операций цазот возможность проводить преобразования в векторной алгебре по тем же правилам, чзо и в алгебре действительных величин, Решение типовых задач Пример 1,1. В ЬАВС, построенном на векторкх ВА = -.= а и ВС = с, сторону АС разделили точками Р и М нв, трн равные части, Найти вектор ВР, Решение, В ЬВАР (рис,б) находим вектор ВР = ВА+ +ЛР, но вектор АР = -АС.

В ЬАВС находим вектор Аь~ = 3 — 1г .=- Вя — ВА =ь АС = с — а н ~!Р = — ~с — а). Тогда вектор 1~ —. 1 3 ВР = а+ -! с — а) =~ Х;Р = — ! 2а+ с), Зь Бример 1,2. В рашгобедренной з ранении АВСЮ- боковая сторона АВ = а, ниж~ж основание А.О = с, 1ВАО =- 00'.

Найти стороны ВС и С.О и диагонали ЛС и В.О трапеции. Решение. В равнобедренной трапеции АВСО (рис, 7) стро- им ВР !! СЮ, тогда ЛАВР— равносторонний н вектор АР = =- !а!с ~ АР = — с. о — - !а! !с! Вектор ВС = РО =ь ВС =' АЮ вЂ” АР =~ ВС = с — — с = (с! !а! ! 1 — — ~с. Вектор В.О = АΠ— АВ = с — а, Вектор С.О = Риа, О !а! .= ВР ~ СО = ЛР— ЛВ =~ СО = — с — а.

Вектор ЛС = ЛВ+ /с! ь ВС =ь . !Г = а+ ~1 — — ) с. — г' !а! 'Л !с! ) Пример 1.3. АЛИС пострш.н на векторах >!73 = а, ЛС .: .= с. Найти вектор ЛМ, коллиноарныйбиссактрисс ~В~!С, ег. и гочка М лажит на сторона ВС, с С А с" Реа, 8 Решение. В ЬАВМ (риг.. 3) вектор ЛМ = )!В+ 11Й, но октар ВМ!(ВС = с — а=> ВМ = Л(с- а).

Вектор !ЛХ:= :: а+ Л(с — а) =ь ЛМ = (1 — Л)а+ Лс, Ваки|0 !Р вринаплаяит биссектриса 1ВЛС, так как являазся лиагональк ромба, а о с .остроепного на ортах а" =. — н с = —, Слоцовагельн . (с!' а с октар ЛР = — + —. Но воктор ЛМ !! ЛР. Из условия колла !а! !с! у неарпости этих векторов !1 — А)!а) = Л!с~ находим А !М вЂ”,„тогда вектор АМ = а+ — (с — а) =~ АМ = ~~а~+ !с! !а) +!с! 14~14 11Рымер 1,4. Параллелепипед АВСЮЛ131С1Ю1 постРоен на векторах А.В = а, АВ = Ь, АА! = с. Выразить через них векторы 3.01 н СР, где точка Р делит ребро А!31 в соотношении 2:1, Решение. Вектор ВВ! (рис. 9) находим как сумму векторов ЗЛ, ЛЛ! и Л!В1, тогда ВВ! = ВА+ АА! + Аз.О! =ь 331 = = — а+ с+ Ь.

с 1Л. ЬАВС построен на векторах АВ = а, ВС = Ь. Выразить через а, Ь медианы треугольника. 1.б, ЬАВС построен на векторах АВ = Ь, АС = а. Найти вектор произвольной длины, коллииеарный биссектрисе сАВС. 1.6. Параллелепипед АВСВА131С1Ю! построен на векторах АВ = ггх, АВ = а, АЛ! = р. Выразить через них векторы С!Л и ЮВ!, 1.7. В треугольной пирамиде ЯАВС, где ЬАВС вЂ” основание, Š— вершина, даны векторы ЯЛ = а, УВ = Ь, ЬС = с.

Выразить через них вектор ЯМ, где М вЂ” точка пересечения медиан езАВС. Задачи для самостоятельной работы 1 Рис. в Вектор СР находим как сумму векторов СС1 Г В и В Р 1 1> 1 ! тогда =! ГР = с — Ь вЂ”, а, 3 Контрольиое задание 1 1.1, Найти сумму н разность коллинеарных векторов, заданных преподавателем, 1.2. Даны векторы а н Ь, Построить векторы За+ — Ь' 1 2 1 -а — 2Ь. 3 1,3, В правильном шестиугольнике АВСЮ.ЕР векторы АВ = р, Вс = е!.

Выразить через р и д векторы АС, Л.О, ЗУ, ЕГ, ГЮ; РА, АЙ. 1,8, В ЬАВС точки Р и Г являются серединами сторон АВ и АС. Выразить ЛВ, ВС, А<1, СР через векторы о =- ВР и с =.ВР, 1,9. ЬАВС пастрое ~ на векторах ЛВ = а, ВС = Ь, Найти векторы, коллннеарные биссектрисам углов этого треугольника, 1,10, В параллелограмме АВСЮ точке Р лежит на ЛВ тях, — 1— — 1— что АР = -ЛЮ и точка Р лежит на АС так, что .4Р = —,4С б Доказать коллинеарность векторов ВГ и ГР, 1.11, 1< вершине С прямоугольного параллелепипеда АВСОА131СьВ1, построенного на векторах ~13 = а, ЛВ = Ь, ЛА! = с, приложены силы, изображаемые векторами СВ, СА, <)С1, Найти величину и направление равнодействуюшей этих сил, 1,12. Векторы а, Ь, с соединяют вершину треугольной пирамиды с вершинами ее основания, Векторы т, и, р соединяют ту же вершину с серединами противолежащих ребер.

Доказать, что а + Ь + с = га + зз + р 1.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Разложение вектора по базису,. Ортогональная проекция вектора на направление, Действия иад векторами и координатной форме Пинейная зависимость и независимость системы векторов Определение 1.18. Выражение Л1а1+ Лзаз +...

+ Лааа> где Л1, Лз, „Л„б В, называется линейной комбинацией векторов а1, аз,...а„. Определение 1,10. Линейная комбинация >не«коров Л1аз+ +Лзаз + ... + Л„а„называется п>риеиальцод> если все Л; (з = 1, 2,..., п) равны нулю (>гЛ> = О, з = 1, 2,, а), Определение 1,20. Линейная комбинация векторов Л1аз+ +Лзаз +... + Л„а„называется неп>ривналькой> есл>«З хотя бы одно Л;~0, Определение 1.21. Векторы а1, >зу> „„, яьа Мвзывают. ся линейно независимыми, если гпольио >признальная лниейнал комбинация этих векторов равна нулевому вектору, Лга1+ Лзаз +... + Лаа„= 0> (УЛ; = О> з = 1> Я»»> и)> ОпРеделение 1.22, ВектоРЫ 01> >зз », „ Па нвЗЫнвютск линейно зависнмымк, е ли сущей>пзуапз нетривиальнаа линей.