Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия (2002), страница 4

Контрольное задание 4 1.43, Упростить выражение (а-Ь) х с-(а+с) х Ь-(Ь+с) х ха. 1.44. Найт. площадь треугольника, построенного на векторах 2из+зз и Зиз-гз, если»га~ = 4, »гз) = 2«~2 и ~(з»ъ, зз) = -. 1.45, Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного иа векторах а = 4-22'+ 2й и Ь = з'-32+ й. Находим Яд = — (-6)з+ Зз + (-3)з =з Яд = -«/700, Ис- 1 1 2 2 пользуя другую формулу для вычисления площади треугольни- 1 ка, запишем: Яд = -Ь~Л~ СЯ, где Ь вЂ” высота, опущенная из точки В на сторону А»С».

Найдем вектор А»д» = А»В»+.»ѻ =З Ф Х~б» = АВ+А0 = (-1;0;2)иегодлину ~А»д»~ = Л, Тогда 1 1 из равенства -470 = -ЬЛ =ь Ь = «(Г4. 2 2 1.46, Точки А(-2;1;3), В( — 1;3',0), С(-4;2;-1) являются вершинами ЬАВС. Вычислить площадь треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. 1.47. Вектор а ортогонален оси Оз и вектору с = -'2з— — у + Зй, образует с осью Оу острый угол и»а~ = ЗЯ, Найти координаты вектора а. 1,48, Найти координаты вектора р, который ортогонален векторам а = (5; -2; 3) н с = (-1; 4', -3) и удовлетворяет условию р ° Ь = 12, где Ь = 2з + у — й. 1,49, Сила у = 2з+ у — Зй приложена к точке»7(2»-5»3), Найти момент этой силы относительно точки Р(1," -3; -1).

1.50. Векторы а, Ь, с удовлетворяют условию а+ Ь+ с = О, Показать, что а х Ь = Ь х с = с х а. 1.51. Найти координаты единичных векторов, перпендикулярных к плоскости »."«АВС, построенного на векторах АВ = = (1;-1; 2) и АС = (1; 1,'4), Задачи для самостоятельной работы 4 1.52, Найти ((а — Зс) х (2а + с)), если векторы а и с орто- гональны и (а~ = 4, (с~ = 3, 1.53. Найти площадь параллелограмма, диагоналями кото- рого являются векторы Зг»з+ 2»з и -Зги+ 4а, если»г»з~ = «Г2, Зя ~зз( = 2, ~(г»з, гз) = —, ! 4 1.54, Найти координаты еднни,ного вектора р, перпенди- кулярного векторам а = з — 2у' и с = 23+ Зй и образующего с осью Ол тупой угол, 1,55. Баны векторы а = 24+ бу — Зй, Ь = з+ 57 — й, с = -з - Зу'+ 2й. Найти координаты вектора р, ортогонального векторам Ь и с, если р ° а = -8, 1,56, Вычислить площапь треугольника с вершинами в точках А(2;-2;3), В(З;-3;4), С(1;0;1) и длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС; 1.57, Найти площадь параллелограмма, построенного ва векторах га = 2а — с н»з = а+ Зс, если )а~'= 2«/3, »с~ = 43 5я 1(а,с) = —.

1,58, Сила у= (1;-2;3) приложена к точке Р(3;1;1). Найти момент этой силы относительно точки А(2; О; 2). 1.59, Упростить выражение ~(а-Ь) х (с+2а))+~(Ь-Зс) х х(2а+ Ь)). 1.6. Смешанное произведение трех векторов (1,22) аЬс=а (Ьхс)=(ахЬ) с. Свойства смешанного произведения Определение 1.32, Смешанным произведением векторов а, Ь, с называется число, равное скалярному произведению вектора а на векторное произведение Ь х с: Ксли векторы а = (а1'1 а2, 'аз), " -— ( 11 Ь = (Ь Ь; Ь,), с = — ( с с ) заданы координатами в ортонормиро и ованном бас»1 сг; сз), вно опредето смешанное произведение этих векторов ра зисе, то с > инат перемлнтелю третьего порядка> составленному нз коорди ножаемых векторов: а1 аг аз Ьз (1,25) с1 сг сз Объем треугольной пирамиды, образованной векторами а, Ь, с, вычисляем по формуле У„пр = -)аЬс~, зпр — О (1,24) >'пар — ~айс~, (1.23) 1, При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется (аЬс = Ьса = саЬ, асЬ = сЬа = Ьас), 2.

При перестановке двух векторов смешанное пронзведе. нне меняет знак (аЬс = -асЬ = -сЬа = -Ьас). 3, Смешанное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой или две, вектора коллинеарны. 4, Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда н только то"дз., когда векторы компланарны, б. Смешанное произведение векторов положительно (аЬс > > О) тогда и только тогда> когда тройка векторов а, Ь, с является правой. Смешанное произведение векторов отрицательно (аЬс ( О) тогда и только тогда, когда тройк>» векторов »3, Ь, с является левой. Геометричеспий смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения векторов а, Ь, с равен объему параллелепипеда, построенного на зтнх векторах: Необходимое и достаточное условие к р омплана ности вектор<»В "» = (аг> а21 аэ)> = ( 11 2> 3 ),Ь=(6 Ь Ь) с=(с»,с21сз)имеетвид а1 аг аз Ь1 Ьг Ьз (1,26) =О с1 сг сЗ р ',,Ь,с Объем параллелепипеда, построенного иа вект в координатной форме вычисляем по формуле (1.27) Объем треугольной пирамиды, р пост сенной на векторе,х а Ь, с, в координатной форме вычисляем по формуле > гппр = б~ с1' сг сЗ >'пар =~ а1 аг аЗ Ь, Ь, Ь, с1 сг «3 а1 аг аз Ь1 Ьг Ьз Решение типовых задач Контрольное заданно 5 2 3 1 1 рамиды: р= - 1 2 О 6 0 -1 -3 1 =ь У = -$2 (-6) -3 (-3)+ 1 6 вательио, Я = з/26.

ЗО Пример 1.20. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах нз = 2а+ Ь вЂ” с, и = а + Зс, р = За + 4с, если взаимно ортогональные векторы а, Ь,с образуют правую тройку векторов и $а$ = 1, $Ь$ = 2, $с$ = 3. Решение, Используя формулу (1.23), получим У = $ганр$ или й = $(2а+ Ь вЂ” с) ° ((а+ Зс) х (За+ 4с))$, Найдем (а + Зс) х х(За+4с) = 3(аха)+4(ахс)+9(сха)+12(схс) = -5(ахс), так как аха = О,сха = -(аХс),схс = О, Тогдаобъем параллелепипеда У = $(2а+ Ь вЂ” с) (-5)(а х с)$ = 5$(2а+ Ь— -с) ° (а Х с)$ = 5$2а (а Х с) + Ь (а Х с) — с (а Х с)$, Так как смешанное произведение, в котором два одинаковых вектора, равно нулю, то 1' = 5$Ь (а х с)$. Поскольку векторные прокзведения (а Х с) .3. а, (а Х с) 1 с =~ (а Х с) $$ Ь и направлен в ту же сторону (тройка векторов — правая), запишем Ъ' = 5$Ь$$а х с$ соя О, но $а х с$ = $а $$с$ яш — =з $а х с$ = 1' 3 1 = 3.

2 Окончательно получим К = 5 2 ° 3 =з У = ЗО. Пример 1.21. Найти объем треугольной пирамиды ЯАВС, образованной векторами АВ = (2;3;1), А7~ = (1',2;О), АУ = (О; -1',-3) и ее высоту, опушенную на грань АВЯ. Решение, По формуле (1,28) найдем объем треугольной пи- 2 +1 ° (-1)$ ~ У = — $ — 12+ 9- 1$ =ь У = -, Находим пло. 1— б 3' щадь ЛАВА: Я = -$АВ х АУ$, Найдем векторное произведение 2 4 у Ь 2 3 1 -"~ АВ х ~Б = -84+ бу' — 2Ь, следо- 0 -1 -3 1 /4~+д~+1~ ь Ы 2 Но объем треугольной пирамиды можно найти и по форму- 1 2 1 2 1 г— К = -Я Ь ~ — = -~/26 Ь =~ Ь = — =~ Ь= — з~гб.

3 3 3 Яб 13 Пример 1.22. Доказать, что точки А(2;3;-1), В(1;2;5), С(4; 3; -3), Ю(З; 2; 3) принадлежат ошюй плоскости, Решение. Найдем векторы АВ = (-1;-1;6), АС = (2;О; — 2), АЮ = (1;-1;4). Точки принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы АВ, АС, АЮ комплапарны. Вычислим смешанное произведение этих векторов: -1 -1 6 АВ ° (АС х Ад) = 2 0 -2 = (-1) (-2) + (8+ 2)+ 1 -1 4 + б (-2) =~ АВ ° (М' х АЮ) = 2 4- 10 — 12 = О. Следовательно, векторы АВ, АС, АЮ вЂ” комплзпарны, еле довательно точки А, В, С, Ю принадлежат оююй плоскости. 1,60, Найти объем параллелепипеда> построенного ка векторах а = ни + н, Ь; — 2р — зз, с = р + гп + Зтп.

1.61. Треугольная пирамида задана радиусами-векторами своих вершин зл = (О;1;2), тд = (1;3,1), гг. = (2;-2;0) к тч = (-4; -1,3), Определить объем пирамиды и высоту, опугпенную на грань АЯВ, . 1.62: Показ' ть, что точки А(1; -3; 2), В(-1; -2; 3), С(2;-5;5) и Ю(15;-16;9) лежат в одной плоскости. 1.63. В основании четырехугольной пирамиды ЯАВСЮ лежит параллелограмм АВСЮ, построенный на векторах АВ = = (-3;3;-4) и АЮ = (О;-5;1),,Задано боковое ребро ЮВ =.

= (3; 2;1) и точке, Г делит сторону ВЯ в отношении 1;2. Вычислить объем пирамиды АВЮГ, 1.64. В ЬАВС заданы вершкны А(2;1;-1), В(3;2;-3), С(1;-1;2). Найтк координаты вектора р, коллнпеарного вьь соте треугольника, опушенной па сторону АС, если вектор р образует тупой угол с осью Оу и $р$ = 2~/42, Рас, Гя 1.65, Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинамн А(3;0;2), В(1;-1;3), С(2;1;О) и Я(1„2;1) н ее высоту, опущенную на грань АВС. 1,66.

Показать, что векторы а = -з — Зу + бй, Ь = -з + й и с = » — Зу+ 4й линейно зависимы. Разложить вектор с по векторам а и Ь, Задачи дли самостоятельной работы б 1.67, Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах а = (1; -2; 3), Ь = (2; 3; 4), с = (-1; -12; 1), 1,68. Вычислить объем параплелепипеда, построенного на векторах из =- а + с, и = 2а + Ь вЂ” с, р = Ь + с. 1.69. Лана пирамида с вершинами А(3;1;2), В(-1;4;1), С(0;3;3) н В(2;0;4). Найти угол между векторами АВ и ВС, объем пирамиды и высоту, опушенную на грань АСР. 1,70, Объем тетр»здра равен 3. Три'его вершины находятся в точках А(1; -2; 1), В(2; -1; 3), С(3; 1; 2).

Найти координаты четвертой вершины Ю, если известно, что она лежит на оси Ох. 1.71. Параллелепипед построен на векторах а = з + 2й, Ь = -34+у — й, с = з — 2у'+ й. Найти длину его высоты, опущенной на грань, построенную на векторах о и с, 1.72, Найти смешанное произведение ззз»зр, если векторы из., и, р образуют правую тройку и 1»зз| = 2, )тз| = 1, ~р! = чу, с(п,р) = —, и вектор пз ортогонален векторам»з и р, 3' 1. 73, Вычислить з (22 х й) + Зу' (1 х 2й) + й ° (2» х Зу). 1.74. Определить, какой тройкой векторов (правой или левой) являются векторы а = 2»+у-Зй,, Ь = 64+2й, с = з+Зу-й, Глава 2. АНАЛИТИк»ЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2 1. Плоскость в пространстве Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат Оку» задается различными уравнениями, В векторной 41орме уравнопие плоскости, проходящей через данную точку Р1 (л~; у1; »1) и перпендикулярной данному вектору зз = (А; В; С), имеет вид зз Р1 Р = О, (2,1) где переменная точке Р(х; у; ») принадлежит плоскости (рис.