Лекция 3. Движение электронов в электрических и магнитных полях

Лекция 3. Движение электронов в электрических и магнитных полях.Уравнения Максвелла. Движение электронов в статических электрическом имагнитном полях. Движение электрона в переменном электрическом полевакуумного диода. Движение электрона в сложных полях. Кинетическая,потенциальная и полная энергия электрона.В ЭВП СВЧ заряженные частицы – электроны – движутся в статическихэлектрических и магнитных полях. Причем если в приборах О-типа, такихкак клистроны, ЛБВ и ЛОВ, направления этих полей совпадают, то вприборах М-типа (магнетронах и амплитронах) направления этих полейперпендикулярны друг другу.а.

Уравнения МаксвеллаНаиболее общий подход к явлениям электродинамики на низких, высоких исверхвысоких частотах обеспечивается применением теорииэлектромагнитного поля и уравнений Максвелла. С этой точки зренияосновные уравнения в случае электровакуумных приборов СВЧ требуютлишь учета существования свободных электронов. С учетом движущихсясвободных зарядов система уравнений Максвелла относительно векторовнапряженностей электрического и магнитного полей и , а также векторовиндукции и и может быть записана в виде= ̅==−==++̅(3.1)(3.2)=(3.3)=0(3.4)(3.5)(3.6), , – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость среды иее удельная проводимость.

Для вакуума = = 1, а = 0.Величины диэлектрической и магнитной проницаемостей для вакуума равны= 0,886 ∙ 10"##А∙сВ∙ми= 1,256 ∙ 10"*В∙секА∙м, ̅ – объемная плотность свободных зарядов и их скорость движения.Величина ̅ =̅ определяет плотность конвекционного тока (тока переноса)и характеризует количество электрического заряда, проходящего за единицувремени через единицу поверхности, нормальной к вектору скорости ̅ .Полная плотность тока ̅ в любом сечении в вакууме равна сумме плотностейконвекционного тока и тока смещения.Уравнение (3.1) означает, что вихревое магнитное поле может бытьпорождено как током зарядов, так и изменением электрического поля вовремени, которое называется током смещения. Ток смещения бывает тольков диэлектрике, т.к.

в проводнике электрическое поле отсутствует. Уравнение(3.2) – закон Фарадея – говорит, что ротор (интеграл по замкнутому контуру)электрического поля - равен потоку (изменению во времени) магнитногополя . сквозь этот контур. Уравнение (3.3) – закон Гаусса – говорит о том,что поток электрического поля - через любую замкнутую поверхностьзависит от суммарного электрического заряда внутри этой поверхности.Уравнение (3.4) означает, что поток магнитного поля . через любуюзамкнутую поверхность всегда равен нулю, т.к. в природе одиночныхмагнитных зарядов не существует.б.

Уравнение движенияСистема уравнений Максвелла является неполной для решения задач приналичии свободных заряженных частиц, поскольку скорость ̅ зависит нетолько от начальных условий, но и от напряженности полей /̅ и 0 ̅ в каждойточке, где находится частица.Зависимость скорости заряженных частиц от величин электрического имагнитных полей определяется уравнением движения, которое с учетом силыЛоренца имеет вид1(34)1= 6 = 78 + 9 ̅ ∙ :;где 7 и < – заряд и масса частицы;6 – сила, действующая на заряд.(3.8)Если скорость частицы много меньше скорости света = в свободномпространстве, уравнение (3.9) принимает вид<141= 78 + 9 ̅ ∙ :;где < – масса покоящейся частицы.Когда рассматриваемыми зарядами являются свободные электронынеобходимо положить 7 = −>, для которого > = 1,6 ∙ 10"#? Кл,< = 9,11 ∙ 10"C# кг.(3.9)Напряженность электрического поля и индукция магнитного поля, входящиев выражение (3.9), могут быть как постоянными во времени величинами, т.е.поля статические, так и иметь переменную составляющую.

Практически,однако, в большинстве случаев достаточно учитывать, кроме постоянных /̅ и, лишь переменную составляющую электрического поля, пренебрегаявысокочастотной составляющей магнитного поля.в. Уравнение непрерывности и скорости электронов в потенциальномэлектрическом полеКроме рассмотренных выше основных уравнений важную роль при анализеэлектронных процессов играют два других соотношения – так называемоеуравнение непрерывности и уравнение, определяющее скорость заряженнойчастицы, двигающейся в потенциальном электрическом поле.Уравнение непрерывности вытекает непосредственно из уравненийМаксвелла.Рассмотрим выражение плотности полного тока для вакуумаполн=̅+(3.10)Из уравнения (3.1) полный ток всегда имеет вихревой характерилиполн((=̅) +1H4)=0(3.11)=0(3.12)Подставляя в это выражение уравнение (3.3), получим уравнениенепрерывности в виде(̅) = −I(3.13)По своему физическому смыслу это уравнение сводится к закону сохранениязаряда.Для вычисления скорости электрона, приобретенного в потенциальномэлектрическом поле, исходят из закона сохранения энергии.

Если U разностьпотенциалов между рассматриваемой точкой и точкой, где скоростьэлектрона равна нулю, тоJпот = JкинОтсюда скорость электрона= M Q3(3.14)= 5,95 ∙ 10R √Q (м/сек)(3.15)NOPС учетом массы и заряда электрона имеемУравнения (3.14) – (3.15) формально показывают возможность достижениясколь угодно больших скоростей электронов при неограниченномповышении ускоряющего напряжения Q. Этот физически неправильныйвывод легко устраняется с помощью теории относительности, по которойгде < =3PXM#"TUWVJкин = <= N − < = N.Приравнивая кинетическую энергию Jкин и исходную потенциальнуюэнергию электрона Jпот = >Q, получаем= MNO3Q∙Z[M#YX\ VXP#YZ[\P VX(3.16)Если Q невелико и >Q ≪ < = N , то ≪ = и выражение (3.16) приводится кпривычному виду (3.14).

Этим выражением можно пользоваться прирасчетах ЭВП, пренебрегая релятивисткими поправками, вплоть до значенийQ порядка несколько десятков киловольт. Так при Q = 50 кВ погрешностьрасчета скорости в сравнении со строгим уравнением (3.16) составляет менее8%. Однако при напряжениях порядка сотен киловольт, используемых вгиротронах и некоторых типах сверхмощных клистронов, при расчетескорости электронов следует учитывать релятивисткие поправки.г. Время и угол пролета электроновКак отмечалось в первой лекции важным фактором, характеризующим ЭВПСВЧ, является время пролета электронов τ между двумя заданнымиэлектродами лампы, например между катодом и анодом в диоде.Время пролета электронов может быть определено интегрированиемсоответствующего уравнения движения.Рассмотрим, например, простейший плоский диод, электроды которогообразованы двумя бесконечно длинными параллельными плоскостями 1 и 2,расположенными на расстоянии .

Напряжение Q , приложенное междупластинами, будем считать постоянным и ≪ =. Т.к. напряженностьэлектрического поля в этом случае равна = −Q / , то уравнение движенияэлектрона в данном случае при отсутствии пространственного заряда имеетвидN_Q< N = −> `− aПри интегрировании уравнения движения, необходимом для определенияизменения координаты заряженной частицы во времени, используемследующие начальные условия: в плоскости _ = _ при = скоростьэлектронов равна . Тогда+=ObP31_=_ +( −( −))+ObP31∙(3.17)( " P )XNПодставляем в (3.18) _ = _ + . Тогда −>Q c N∙ +<2c==cи(3.18)= 0, что характерно для ЭВП без учета тепловых скоростей,Приполучаем уравнение, определяющее время пролета электрона в режименасыщения диодаc= MOb(3.19)c=(3.20)N3PДля электроники СВЧ представляет интерес и другой случай, когда Q = 0,но начальная скорость электронов отлична от нуля.

Подобная ситуациявстречается например в клистронах, где электроны, поступающие в плоскийзазор через отверстие в первом электроде, двигаются по инерции. Времяпролета через такой зазор равно14PРассмотрим случай, когда между электродами плоского диода приложенопеременное напряжение d = Q3 e fg , а начальную скорость электронов ипространственный заряд учитывать не будем.

Исходное уравнение движенияимеет вид<После первого интегрирования_=Второе интегрирование дает_=_ +Ob\h X 319(gN_N=>Q3>Q3(= egg<− g )= ege fg− = eg )− e fg + e fg :(3.20а)Полагая, что _ = _ + , a c = − , видно, что время пролета имеетразличную величину для электронов, вошедшие в зазор в разные моментывремени .Если на электрон одновременно наложено постоянное и переменноенапряжение, т.е.

d = Q + Q3 e fg , то в общем случае при соизмеримыхвеличинах Q и Q3 время пролета электронов также может различаться взависимости от начального времени . Однако при Q3 ≪ Q часто можнопренебречь малыми изменениями времени пролета, обусловленнымипеременной составляющей напряжения.Абсолютная величина времени пролета недостаточно полно характеризуетвлияние инерции электронов на работу прибора.

Поэтому более важнымявляется отношение времени пролета c к периоду колебаний i. При анализепролетных явлений в электронных приборах принято рассматривать уголпролета электроновj = 2klm(3.21)Поскольку период i связан с круговой частотой колебаний g = 2k/i, тоj = gc(3.22)Зная время пролета и рабочую частоту, нетрудно определить угол пролета.Например, для плоского зазора, рассматриваемого выше, невозмущенныйугол пролета электроновj=g MObN3P(3.23)Если электроны, обладающие значительной начальной скоростью ,поступают в зазор, на который наложено только малое переменноенапряжение, то невозмущенный угол пролета будетj=h14P(3.24)Пример расчета угла пролета электроном зазора протяженностью 2 мм,если к нему приложено ускоряющее напряжение 100 В, а частота колебаний1 ГГц.2<2 ∙ 9,11 ∙ 10"C#?"Cj = 2kn ∙ o= 2 ∙ 3,14 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10 o= 4,23 ≈ 242°>Q1,6 ∙ 10"#? ∙ 10Nд.