Автореферат (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 3

Носители базисных функций на теле канонической формыОбщееколичествоносителейсоставляетN  N1  N 2 ,гдеN1  18 n  1 n - количество носителей на экране  , а N2  3(n  1)n2 количество носителей на теле Q .14Применяя метод Галеркина к системе (9), приходим к решениюматричного уравненияLV = f .ЗдесьV–столбец неизвестныхкоэффициентов при базисныхфункциях, L – основная матрица СЛАУ, f – столбец правой части.Основная матрица имеет блочный вид L11 L12 .L   2122 LLБлочныематрицы,расположенныенаглавнойдиагонали,соответствуют решению задачи дифракции только на теле и только наэкране.Матрицысамосопряженными.являютсякомплексноВнедиагональныесимметричными,блочныематрицынонеявляютсятранспонированными друг к другу.Для решения задачи дифракции электромагнитной волны на системетел и экранов сложной формы будем использовать субиерархический метод9.Преимущество данного метода заключается в экономии вычислительныхресурсов при решении серии задач на телах и экранах различной формы,поскольку в этом случае используется матрица СЛАУ, полученная прирешении задачи дифракции на системе тел и экранов канонической формы.Опишем суть данного метода.

Сначала решается задача дифракции наканонической системе тел и экранов. Затем, для задания геометрии системыG , вводится вектор геометрииW , длина которого равна количествуносителей, которые могут быть построены на сетке для каноническойсистемы.Заполним элементы вектора геометрии W нулевыми или единичнымизначениями: нуль, если шаблон носителей не определен на новой системе, иединица, если определен. Новая система состоит из частичного объединенияносителей системы канонической формы.9Медведик М.Ю., Москалева М.А. Исследование задачи дифракции электромагнитных волн на неплоскихэкранах различной формы субиерархическим методом // Радиотехника и электроника. – 2015.

– Т. 60. - № 6.- С. 582–590.15На рисунке 5 показано применение субиерархического метода в случаесистемы, состоящей из одного плоского экрана (фигура каноническойформы). Здесь серым цветом показана новая фигура, а новая матрица СЛАУявляется подматрицей матрицы, полученной при решении задачи дифракциина фигуре канонической формы, с вырезанными столбцами и строками.Рисунок 5. Применение субиерархического методаВ процессе решения СЛАУ итерационным методом, при умноженииматрицы A на вектор B поэлементно перемножаем полученный вектор U навектор геометрии W . U1,...,1   U1,...,1  W1,...,1   U1,...,2   U1,...,2  W1,...,2  ...

 ... UUW1, supp f...,q ,... G, ...,q 1,...    ...,q 1,... ...,q 1,...  W...,q,...U  U...,q ,......,q ,...  W ..., q ,...0, supp f...,q ,... G.  U ...,q 1,...   U ...,q 1,...  W...,q 1,...  ...  ... U  U n ,...,n   n ,...,n  Wn,...,n Согласно алгоритму, описанному выше, можно получить решениезадачи дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов,состоящей из тел и экранов произвольных форм.В главе 3 содержится описание численных результатов, полученных спомощью разработанного комплекса программ. Произведено сравнениечисленных результатов решения задач дифракции для систем, состоящих изтел и экранов, с численными результатами решения задач дифракцииотдельно на телах и отдельно на экранах.

Поведение полей, полученное врезультатечисленныхэкспериментов,согласуетсясизвестнымтеоретическим поведением полей в окрестности края идеально проводящегоэкрана.16Сначала представлены численные результаты на неплоских экранахследующих форм:экран крестообразной формы;уголковый отражатель;экран сложной формы;экран цилиндрической формы.Далеепредставленыпрямоугольногочисленныепараллелепипеда.результатыЗатемнателепредставленыформычисленныерезультаты на следующих системах непересекающихся тел и экранов: система, состоящая из тела формой прямоугольного параллелепипеда иразмером      и экрана прямоугольной формы    , где  - длинаволны; система, состоящая из тела формой прямоугольного параллелепипеда иразмером  / 2   / 2   / 2 и экрана прямоугольной формы    ; система, состоящая из тела внутри экрана цилиндрической формы; система, состоящая из тела и уголкового отражателя; система, состоящая из тела, окруженного уголковыми отражателями.Затемпредставленычисленныерезультатынасистемахпересекающихся тел и экранов: система, состоящая из тела формой прямоугольного параллелепипеда иразмером  / 2   / 2   / 2 и экрана прямоугольной формы    ,лежащего на верхней грани тела; система, состоящая из тела формой прямоугольного параллелепипеда иразмером  / 2   / 2   / 2 и экрана сложной формы    , лежащегона верхней грани тела; система, состоящая из тела формой прямоугольного параллелепипеда иразмером  / 2   / 2   / 2 и экрана прямоугольной формы    ,пересекающего тело в середине одной из граней.Поведениепадающегополя,визуализированноеврезультатепроведенных расчетов, согласуется с теоретическим поведением поля вокрестности края экрана.

В качестве примера результатов приведемвизуализациючисленныхрезультатоврешениязадачидифракции17электромагнитных волн на системе, состоящей из тела, окруженногоуголковыми отражателями.Рассмотрим систему  , в которой из экрана цилиндрической формы субиерархическим методом получено четыре уголковых отражателя, а телоQ является прямоугольным параллелепипедом (  - длина волны):   x : max( x1 , x2 )   / 2, x3  ( / 2,  / 2); Q   x  R3 : xi  ( / 4,  / 4), i  1,2,3.Центр тела совпадает с центром системы координат.Рисунок 6. Система Пусть падающее поле есть плоская волна, направляющий векторкоторойнаправленвдольосиOx3 ,относительнаядиэлектрическаяпроницаемость тела постоянна и определяется параметром   9,45 .Рисунок 7 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токовна экране вдоль оси Ox3 на стенке экрана, принадлежащей плоскости Ox1 x3 ,x2   / 2 .а)б)Рисунок 7 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль осиOx3 (а) и вдоль оси Ox1 (б)В соответствии с теорией, в том случае, когда носители базисныхфункцийориентированывдольосиOx3 ,нормальнаякомпонента18поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox3 , стремится к нулю,касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ox1 ,неограниченно возрастает.

В случае, когда носители базисных функцийориентированы вдоль оси Ox1 , нормальная компонента поверхностных токов,расположенная вдоль оси Ox1 , стремится к нулю, касательная компонентаповерхностных токов, расположенная вдоль осиOx3 , неограниченновозрастает. В силу симметрии задачи, значения модулей решения для другихплоскостей аналогичны представленной плоскости Ox1 x3 .Рисунок 8 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом,пятом, одиннадцатом и пятнадцатом слоях расчетной сетки, расположенныхперпендикулярно оси Ox3 .Рисунок 8.

Распределение модуля электрического поля внутри телана 1, 5, 11 и 15 слоях расчетной сеткиНаблюдается симметрия в характере распределения поля внутри телана слоях расчетной сетки – первый слой симметричен пятнадцатому(последнему) слою, пятый – одиннадцатому и так далее.В том случае, если тело частично экранировано или экран пересекаеттело,предложенныйметодтакжепозволяетполучатькорректныерезультаты, поскольку точки интегрирования на экране и на теле выбранытаким образом, что никогда не являются совпадающими.

Разнесение точек19интегрирования схематично изображено на рисунке 9. Точки интегрированияна теле обозначены кружочками, точки интегрирования на экране –крестиками. На рисунке 9а представлено схематичное разнесение точекинтегрирования в случае, если тело частично экранировано, на рисунке 9б – вслучае, если экран пересекает тело. Следует отметить, что расчетные сеткидолжны быть регулярными.а)б)Рисунок 9. Разнесение точек интегрированияВыбранный метод дискретизации задачи позволяет строить сетки наэкранах и телах с различными шагами.̂Рассмотрим систему(рис.10), в которой экранимеетпрямоугольную форму размером    , а тело Q является прямоугольнымпараллелепипедом, размеромOx1 x2 , x3 4222.

Экран расположен в плоскости. Центр тела совпадает с центром системы координат. Такимобразом      x  R3 : x1 , x2  ( , ); x3   ; Q   x  R3 : xi  ( , )  , i  1,2,3 .2 244 4 Рисунок 10. Система ̂20Пусть падающее поле есть плоская волна, направляющий векторкоторойнаправленвдольосиOx2 ,относительнаядиэлектрическаяпроницаемость тела постоянна и определяется параметром   9,45 .Рисунок 11 иллюстрирует распределение модуля поверхностных токовна экране вдоль оси Ox1 (а) и вдоль оси Ox2 (б).а)б)Рисунок 11 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдольоси Ox1 (а) и вдоль оси Ox2 (б)Наэкранененаблюдаетсяявновыраженныхособенностейраспределения модуля поверхностных токов на границе соприкосновенияэкрана и тела.Рисунок 12 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом,пятом, одиннадцатом и пятнадцатом слоях расчетной сетки, расположенныхперпендикулярно оси Ox1 .Рисунок 12 Распределение модуля электрического поля внутри телана 1,5,11 и 15 слоях расчетной сетки21На рисунке 12 видно, что модуль электрического поля внутри телавозрастает на границе соприкосновения тела и экрана.ЗаключениеВ настоящей работе исследуются теоретически и решаются численнозадачидифракцииэлектромагнитныхволнна системепроизвольнорасположенных тел и экранов.

Для исследуемой математической моделисформулирована краевая задача дифракции. Описано сведение краевойзадачиксистемеинтегро-дифференциальныхуравнений.Полученыдостаточные условия эллиптичности и однозначной разрешимости системыинтегро-дифференциальных уравнений, а также утверждение о гладкостирешений.Система уравнений решается проекционным методом Галеркина. Вкачестве базисных функций на теле выбраны базисные функции – «крышки».В качестве базисных функций на экране выбраны базисные функции«rooftop». Введен новый вид базисных функций типа «rooftop», позволяющиймоделировать поведение электромагнитной волны на крестообразныхэлементах, например, уголковых отражателях или на системе, состоящей изтела, окруженного уголковыми отражателями. Доказана сходимость методаГалеркина для случая системы, состоящей из непересекающихся телапроизвольной формы и плоского экрана. Описаны дискретизация задачи исубиерархический вычислительный алгоритм.На основании разработанных алгоритмов написан и тестированкомплекс программ на языке C++ и приведены численные результатыраспределения поверхностных токов на неплоских экранах сложных форм,численные результаты распределения поля внутри тела, а также численныерезультаты решения задачи на системах непересекающихся тел и экранов ина системах пересекающихся тел и экранов.Публикации автора по теме диссертацииСтатьи в научных журналах, рекомендованных ВАК РФ1.