Автореферат (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 2

Список литературывключает в себя 70 источников.Содержание диссертацииВведение содержит обзор работ по теме диссертации, обоснованиеактуальности выбранной темы. Также во введении сформулированы цели изадачи диссертации и перечислены основные результаты.В главе 1 описана постановка задачи дифракции на системепроизвольно расположенных тел и экранов. Перечислены основные свойстварешений уравнений электрического поля. Доказаны существование иединственность решения задачи дифракции на системе произвольнорасположенных тел и экранов. Сформулирована и исследована системаинтегро-дифференциальныхуравненийдлязадачдифракцииэлектромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел иэкранов.Рассмотрим в пространстве R 3 задачу дифракции электромагнитныхволннасистеменепересекающихсяэкрановjителQi( j = 1, , J ; i = 1, , I ) .Пусть  – объединение конечного числа связных ориентируемыхнезамкнутых и непересекающихся ограниченных поверхностей класса C  вR 3 . Край  поверхности  есть кусочно-гладкая кривая, состоящая изконечного числа простых дуг класса C  без точек самопересечения,сходящихся под углами, отличных от нулевого.

Предполагаем, что экраныявляются идеально проводящими.7Пусть Q – объединение ограниченных областей, границы которыхявляютсякусочно-гладкими.Предполагаем,Q  = .чтоРассматриваемые тела могут быть диэлектрически неоднородными ианизотропными – неоднородность задачи описывается тензор-функцией  I , x Q   ( x) =  ex  Qi , i ( x),cпричем комплексные тензоры  i ( x ) симметричны, а их мнимые части –неотрицательные тензоры: i =  iT , Im i  0.Свободное пространство однородно и изотропно c постоянными  e , e :Im  e  0, Im e  0, Im ke  0, ke =   e e .Рассмотрим задачу дифракции электромагнитной волны E0 , H 0 сгармонической зависимостью от времени вида eit на системе тел и экранов.Пусть P ( P Pj ) - гладкая замкнутая ориентируемая поверхность,jсодержащая  ,   P , P  , P  – области, внешняя и внутренняя поотношению к P .c3Введено обозначение M := R \ M , где M - некоторое множество.Требуется определить полное электромагнитное поле (E, H ) :(E, H )  C1 (Q  )cC Qc \ C (Q ) C ( P \  ) C ( P \  ), (1) >0 >0удовлетворяющее уравнениям МаксвеллаrotH = i E  j0,ErotE = ie Hв (Q  )c(2)условиям непрерывности касательных компонент на границе областинеоднородности:[E ]|Q = [H ]|Q = 0,(3)(где  - касательный вектор к Q , E и H - касательные составляющиеэлектрического поля E 0 и магнитного поля H 0 , соответственно), краевымусловиям на поверхности экрана  (за исключением точек края экрана)8E(4)= 0,условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства0E, H  L2,loc (R 3 ) = Hloc(R 3 )(5)и условиям Сильвера-МюллераEs , H s = o(1 / r ),Imk > 0H s  er  Es = o(1 / r ), Es  er  H s = o(1 / r ), r  ,Es , H s = O(1 / r ),Imk = 0,(6)для рассеянного поля Ε s  E  E 0 , H s  H  H 0 ( r  x , e r  x / r ).В работе7 Смирнова Ю.Г и Цупака А.А.

доказано, что если задача (2)(6) имеет решение, то оно единственно.Сведем задачу дифракции к системе интегро-дифференциальныхуравнений. Представим полное электрическое поле в видеE  E0  E1  E2E0  C   R 3 гдеE1  C1 (Q  )c(7)–падающееполе,C ( P \  ) C ( P \  ) – поле, рассеянное экраном >0 >0 ; так, что E s  E1  E2 , E2  C1  Q   c C Q \  c C Q- поле,рассеянное телом Q .В итоге получаем следующую систему: J   ke2  grad div   G  x, y J  y  dy Q  ke2  grad div   G  x, y  u  y  ds y  E0  x  ,x  Q,2   ke  grad div   G  x, y J  y  dy Q(8)  ke2  grad div   G  x, y  u  y  ds y   E0,  x  , x 7Smirnov Yu.

G., Tsupak A. A. Integro-differential Equations of the Vector Problem of Electromagnetic WaveDiffraction by a System of Nonintersecting Screens and Inhomogeneous Bodies // Advances in MathematicalPhysics. -2015. –Vol. 2015. -Article ID 945965, 6 pages.9Такимобразом,полученасистемаинтегро-дифференциальныхуравнений задачи дифракции на системе объемных тел и тонких экранов.Представим полученную систему в операторном видеL(J, u)  f .(9)  xЗдесь J   I  E – неизвестный вектор тока поляризации в Q , u  0касательное векторное поле на  . Правая часть есть вектор f  (E0,Q , E0, ) ,где E0,Q – сужение падающего поля на Q .Матричный оператор L имеет вид A 0  0L = L1  L2 = K0S  2K1 .0 Операторы A, S и K i определяются равенствамиAJ :=  J ( x)  ( ke2  graddiv) G ( x, y ) J ( y ) dy,QSu :=  (ke2  graddiv) G ( x, y )u( y )ds y  ,K1u := (ke2  graddiv) G ( x, y )u( y )ds y ,K 2 J :=  (ke2  graddiv) G ( x, y ) J ( y )dy  ,Qи рассматриваются как отображения в следующих пространствахAJ := L2 (Q )  L2 (Q ) ,Su := W ()  W () ,K1u := W ()  L2 (Q) ,K 2 J := L2 (Q )  W () .Здесь W- специальное пространство Соболева сечений векторныхрасслоений над  ; W  - пространство, антидвойтсвенное к W .

Решениеуравнения (9) – пара (J , u)  L2 (Q)  W () .В данной системе интегральные операторы K1 и K 2 имеют гладкиеядра, так как в случаях   Q и Q   точки x, y в функции Грина не будут10совпадать. A и S являются интегро-дифференциальными сингулярнымиоператорами.Вработе8Валовика Д.В.идр.доказано,чтооператорL : L2  Q   W     L2  Q   W     является непрерывно обратимым.В главе 2 автором получен более сильный результат о том, чтооператор L является эллиптическим. Этот теоретический результат важендля доказательства сходимости проекционного метода Галеркина.Утверждение. Если f  C   Q    и решение (J , u)  L2 (Q)  W ()системы (1.25) существует, то J и u бесконечно дифференцируемы вовнутренних точках Q и  , соответственно.Глава 2 посвящена численным методам решения задачи дифракцииэлектромагнитных волн на системе непересекающихся тел и экранов.

Дляперехода от системы интегро-дифференциальных уравнений к СЛАУиспользуется проекционный метод (схема Галеркина). В качестве тестовых ибазисных функций на теле и экране использованы базисные функции«крышки» и базисные функции «rooftop», описанные ниже. Введен новыйвидбазисныхфункцийтипа«rooftop»,позволяющиймоделироватьповедение электромагнитной волны на крестообразных элементах, например,уголковых отражателях. Доказана сходимость метода Галеркина для случая,когда рассматривается задача дифракции электромагнитных волн на системе,состоящей из непересекающихся плоского экрана и тела произвольнойформы.

Описаны вычислительные алгоритмы для решения системыуравнений.Для того чтобы перейти от векторного интегро-дифференциальногоуравнения (9) к СЛАУ можно использовать проекционные методы, сутькоторыхзаключаетсявпроецированиинеизвестноговекторанаподпространства, имеющие конечную размерность. В данной работе в8Валовик Д.В., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г., Цупак А.А. Существование и единственность решениязадачи дифракции электромагнитной волны на системе непересекающихся тел и экранов // Известия высшихучебных заведений.

Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 1 . - С. 89-97.11качестве проекционного метода для решения операторных уравнений вгильбертовых пространствах использовался метод Галеркина.ПустьXограниченныйL: X  X- гильбертово пространство, операторинъективныйпоследовательностьоператор.подпространствОбозначимразмерностиn,-Xn  XPn : X  X n-последовательность ортопроекторов, тогда un  X n будет приближеннымрешением уравнения Lu  f тогда и только тогда когда Lun , g    f , g  g  X n ,(10)где ,  есть скалярное произведение в X .Рассмотрим равномерную прямоугольную сетку на экране.

В качествебазисных функций будем использовать функции «rooftop», которыеопределяются на носителе - паре смежных прямоугольников сетки, имеющихобщее ребро (рисунок 1).Рисунок 1 Носитель базисной функции «rooftop»Каждому ребру iсоответствует носитель, состоящий из двухпрямоугольников, имеющих общее ребро i . Данная функция i ( x1 , x2 , x3 ) ,отвечающая ребру i , определяется по правилуli(xx,xx,xx)в Pi 11,i122,i133,i1Sii ( x1 , x2 , x3 )  ( x  x , x  x , x  x ) li в P  ,i 1,i 1 1 2,i 1 2 3,i 1 3 Siгде li является длиной ребра i , Si и Si есть площади Pi  и Pi  ,соответственно.Функции i ( x1 , x2 , x3 ) являются кусочно-постоянными, нормированиевыполнено таким образом, что функция в середине ребра равна единице, а на12границеносителянормальные(кгранице)составляющиефункцииi ( x1 , x2 , x3 ) равны нулю.Определим сеточные базисные функции на теле как функции«крышки».

Для этого зададим носители базисных функций - пары соседнихэлементарных параллелепипедов, принадлежащих телу и имеющих общуюгрань, расположенных вдоль одной из координатных осей (рисунок 2).Рисунок 2 Носитель базисной функции «крышка»Пусть hi :| xi ,n  xi ,n1 |-шагсеткипонаправлениюi (i  1,2,3) ;i. Для i  1xi ,n  xi ,0  (n  1)hi . Определим функции  klm1  1 | x  x |, h1 1 1,k1 klm ( x1 , x2 , x3 )  0,x1,k  h1 < x1  x1,k  h1 ,x2,l  h 2 < x2  x2,l ,(11)x3,m  h3 < x3  x3,m ,иначе.23Аналогично определяются функции  klmи  klm. Данные функции являютсякусочно-постоянными по двум направлениям и кусочно-линейными потретьему направлению.Рассмотрим сходимость метода Галеркина для решения системыинтегро-дифференциальных уравнений, отвечающей задаче дифракцииэлектромагнитных волн системе, состоящей из плоского экрана и тела.Вдиссертацииполученследующийрезультат:операторL : L2  Q   W     L2  Q   W     является эллиптическим и непрерывнообратимым при Im ke  0 .

Этот результат позволил доказать следующееважное утверждение о сходимости численного метода.13Теорема. Для оператора L  L при Im ke  0 метод Галеркина (10) длясистемы уравнений (9) сходится.Для дискретизации задачи введены шаблоны носителей базисныхфункций. Носители базисных функций для экрана представлены нарисунке 3.Рисунок 3. Носители базисных функций на экране канонической формыНосители базисных функций для тела представлены на рисунке 4.Рисунок 4.