kkvant (Учебник - Основы квантовой механики), страница 4

е. атомов, содержащих всего один электрон. Кроме собственно атомаводорода, к ним относятся ионы других атомов, например, однократно ионизованный атом гелия He+ , двукратно ионизованный атом лития Li++ и т. д. Если Z— порядковый номер водородоподобного атома в таблице Менделеева1 , то зарядядра такого атома равен Q = Ze. Легко сообразить, что во всех приведенных выше формулах, относящихся к атому водорода, нужно просто заменить e2 на Ze2 .Например, формула (2.9) для уровней энергии электрона в случае произвольноговодородоподобного атома принимает видEn = −Z 2R.n2(2.14)После появления теории Бора были предприняты многочисленные попыткиусовершенствовать эту теорию так, чтобы ее можно было применить к атомам cнесколькими электронами, к молекулам и к другим физическим системам.

Однакодело не шло дальше, чем изобретение (с переменным успехом) специальных рецептов квантования для каждой отдельной системы. Следует отметить, что сама посебе теория Бора явно логически не завершена. Действительно, в ней уравнениядвижения частиц берутся из классической механики и вводится дополнительноеусловие квантования (2.5), которое противоречит классической механике. Дальшемы увидим, что успех теории Бора в расчете уровней энергии электрона в водородоподобном атоме является, в значительной степени, случайным, поэтому внастоящее время теория Бора представляет только исторический интерес.2.2.Гипотеза де-Бройля о волновых свойствах частицПервый шаг к современной квантовой механике был сделан в 1923 году молодым французским физиком Луи де-Бройлем. По аналогии с электромагнитнымизлучением, которое ведет себя и как совокупность частиц — фотонов, и как волна, де-Бройль предположил, что волновые свойства могут проявлять и другиематериальные объекты, которые до того времени рассматривались как истинныечастицы, например, электроны.

Де-Бройль предложил сопоставить каждой частице волну, частота и волновой вектор которой связаны с энергией и импульсомчастицы соотношениями, аналогичными формулам (1.10) и (1.17):E = ω,p = kформулы де-Бройля.(2.15)Работу де-Бройля ни в коей мере нельзя было считать законченной теорией. Посуществу, его гипотеза поставила больше вопросов, чем дала ответов о поведениимикрочастиц. В частности, ни выяснения физической природы “волн материи”, ниуравнений для этих волн, т. е. их динамики, — всего этого у де-Бройля не было.1Для водорода Z = 1, для гелия Z = 2 и т.

д.15Тем не менее, из гипотезы де-Бройля следовали предсказания новых и неожиданных эффектов. Как известно, наиболее важное свойство волн — их способность интерферировать, то есть усиливать или гасить друг друга при наложении, или, какобычно говорят в физике, при суперпозиции волн. Одним из проявлений интерференции является дифракция — огибание волнами препятствий. В то время уженаблюдалась дифракция рентгеновских лучей на кристаллах, которые представляют собой почти идеальные трехмерные дифракционные решетки.

Если обычныечастицы обладают волновыми свойствами, то должна наблюдаться и дифракцияпучка таких частиц на кристаллической решетке. В опытах английских физиковДэвиссона и Джермера (1927 г.) и Томсона (1928 г.) действительно была обнаружена дифракция электронов на кристаллах, причем длина волны, которую можнобыло определить из условий дифракционных максимумов, в точности соответствовала формуле де-Бройля λ = 2π/p.2.3.Волновая функция свободной частицыМы теперь обсудим на интуитивном уровне некоторые следствия из гипотезыде-Бройля.

Такое обсуждение необходимо для того, чтобы постулаты квантовоймеханики, которые будут сформулированы позже, казались более естественными.Начнем с замечания, что любая волна описывается некоторой функций (волновойфункцией), зависящей от координат и времени. В обычных волнах (колебанияповерхности жидкости, звук, электромагнитные волны и т.д.) смысл волновойфункции очевиден.

Более того, само значение волновой функции может бытьнепосредственно измерено приборами (например, смещение поверхности жидкостиот равновесия или изменение давления в звуковой волне). Волновую функцию,описывающую волну де-Бройля, принято обозначать греческой буквой “пси”:Ψ(r, t) ≡ Ψ(x, y, z, t).Возникает естественный вопрос: какой физический смысл имеет Ψ и можно ли еенепосредственно измерить? Приведем простые соображения, показывающие, чтосама волновая функция, описывающая волны де-Бройля, не может быть измеренав эксперименте (или, как принято говорить в квантовой механике, волновая функция не является “наблюдаемой” величиной).

Представим себе свободно движущийся электрон и множество датчиков, помещенных в различных точках пространства.Допустим, что каждый датчик способен измерять Ψ в той точке, где он находится.Тогда, если в некоторый момент времени t волновая функция отлична от нуля вобласти пространства, где расположены датчики, каждый из датчиков измеритнекоторое значение Ψ. Какие физические объекты зарегистрировали датчики?Вспомним, что в нашем примере волновая функция описывает движение одногоэлектрона. Поэтому мы должны допустить, что каждый из сработавших датчиков зарегистрировал часть электрона. Эксперименты показывают, что электрон идругие микрочастицы всегда регистрируются целиком, т.

е. в нашем примере всегда будет срабатывать только один датчик. Таким образом, предположение, чтофункция Ψ может быть измерена, противоречит эксперименту. Это обстоятельство является источником многих трудностей в привыкании к законам квантовоймеханики. Выяснилось, что непротиворечивую квантовую теорию микрочастиц,выводы которой соответствуют экспериментальным данным, удается построить,если допустить, что волновая функция может принимать комплексные значения,16т.

е. в общем случае Ψ имеет действительную и мнимую части. Отметим, чтопоявление комплексных чисел в квантовой механике не противоречит эксперименту, поскольку, как мы увидим, все наблюдаемые физические величины принимаюттолько действительные значения.Вернемся к формулам де-Бройля (2.15) и вспомним, что определенной частотойω и определенным волновым вектором k характеризуется плоская гармоническаяволна. С другой стороны, постоянный импульс p = k имеет свободная, т. е. не взаимодействующая с окружением частица.

Поэтому свободной частице естественносопоставить плоскую гармоническую волну де-Бройля. Постулируем, что свободное движение частицы массы m с энергией E и импульсом p описывается волновойфункциейΨ(r, t) = A ei(k · r − ωt) ,(2.16)где, согласно формулам де-Бройля,ω=p2E=,2mk = p .(2.17)Амплитуда волны A может быть, в принципе, комплексным числом. Представляяее в виде A = |A| eiα , можно записать выражение (2.16) в такой форме: Ψ(r, t) = |A| cos k · r − ωt + α + i sin k · r − ωt + α .(2.18)Итак, действительная и мнимая части волновой функции (2.16) описывают обычные плоские гармонические волны, сдвинутые по фазе на π/2, в то время какквадрат модуля |Ψ|2 ≡ Ψ∗ Ψ не зависит ни от координат, ни от времени.

Напомним еще раз, что волновая функция (2.16) соответствует свободной частице.“Угадать” с помощью гипотезы де-Бройля вид волновых функций для других случаев невозможно. Последовательный метод нахождения волновых функций будетсформулирован позже.2.4.Дифракция микрочастиц. Суперпозиция состоянийРассмотрим теперь простой мысленный опыт, который позволит нам установить одно важное свойство волновых функций. Представим себе, что пучок частиц(например, электронов) с одинаковой энергией и, следовательно, с одинаковым импульсом p падает на пластинку с двумя узкими щелями (см. Рис. 2.1.). Частицырегистрируются датчиками, расположенными в различных точках экрана.Из курса оптики известно, что в случае, когда на пластинку падает монохроматический свет с частотой ω, на экране наблюдается характерное чередованиемаксимумов и минимумов интенсивности из-за интерференции световых волн, попавших на экран от двух щелей.

Согласно гипотезе де-Бройля, пучок микрочастиц в данной ситуации будет вести себя аналогичным образом, т. е. на экранеполучится такое же распределение частиц, зарегистрированных датчиками. Длянаблюдения этого распределения в качестве экрана можно взять фотопластинку.Тогда каждое зерно фотопластинки будет играть роль датчика частиц. Итак, наэкране должно получиться распределение частиц, показанное на Рис. 2.1.

Какобъяснить это, исходя из представления о волнах де-Бройля?17Будем рассуждать по аналогии с оптикой, где интенсивность света в каждойточке экрана пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля приходящей волны. При этом напряженность поля в данной точкенаходится как сумма напряженностей в волнах, пришедших от первой и второйщелей (принцип суперпозиции световых волн).Чтобы получить аналогичную картину длямикрочастиц, мы должны допустить, что дляволн де-Бройля справедлив принцип суперпозиции, т. е.

волновая функция Ψ(P, t) в точкеP на экране есть суммаΨ(P, t) = Ψ1 (P, t) + Ψ2 (P, t),(2.19)где Ψ1 и Ψ2 соответствуют волнам де-Бройля,пришедшим в точку P от первой и второй щелей. Квадрат амплитуды суммарной волныΨ и будет пропорционален числу частиц, попавших в окрестность точки P на экране. Ксожалению, мы пока не знаем, как записатьРис. 2.1.выражения для Ψ1 и Ψ2 , так как от щелейраспространяются расходящиеся волны де-Бройля. Если, однако, экран расположен достаточно далеко от пластинки, то можно приближенно считать Ψ1 и Ψ2плоскими волнами и воспользоваться формулой (2.16).

ТогдаΨ1 (P, t) = A1 ei(k r1 − ωt) ,Ψ2 (P, t) = A2 ei(k r2 − ωt) ,(2.20)где r1 и r2 — расстояния от щелей до точки P . Строго говоря, амплитуды A1 иA2 отличаются друг от друга, так как в общем случае щели находятся на разныхрасстояниях от точки P . Впрочем, если точка P расположена недалеко от центраинтерференционной картины, этим различием можно пренебречь. Именно так мыпоступим и для простоты положим A1 ≈ A2 = a. Будем также считать, что амплитуда a — действительное число. Для вычисления квадрата амплитуды суммарнойволны (2.19) мы используем прием, который в дальнейшем будет часто встречаться. Так как Ψ — комплексное число, его можно записать в виде Ψ = A eiϕ , где A— амплитуда волны, которая нас интересует.

Далее заметим, чтоA2 = |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ,где Ψ∗ — величина, комплексно сопряженная Ψ; она получается из Ψ заменой i на−i. Используя (2.20) с A1 = A2 = a, пишем2i(kr−ωt)i(kr−ωt)−i(kr−ωt)−i(kr−ωt)1212ae.+ ae+ aeA = aeРаскрывая скобки, находим, чтоA2 = 2a2 {1 + cos [k(r2 − r1 )]} ,(2.21)где мы воспользовались известным из математики выражением для косинуса черезмнимые экспоненты:1 iϕcos ϕ =(2.22)e + e−iϕ .218Формула (2.21) описывает распределение интенсивности пучка частиц наэкране.