kkvant (Учебник - Основы квантовой механики), страница 5

Аргумент косинуса в этой формуле можно записать в видеk(r2 − r1 ) =2π(r − r1 ) ,λ 2λ=2π.pТаким образом, в зависимости от “разности хода” (r2 − r1 ) волн де-Бройля до различных точек экрана, в них будут наблюдаться максимумы интенсивности (там,где косинус равен единице) и минимумы интенсивности (там, где косинус равен−1). Мы имеем типичную картину дифракции волн на двух щелях, хорошо известную из оптики.Ключевым моментом нашего вывода является выражение (2.19) для волновойфункции частиц на экране. Из него следует неожиданный вывод, который ещераз демонстрирует необычность квантового поведения микрочастиц. В самом деле, Ψ1 и Ψ2 описывают два состояния движения частицы. Волновая функция Ψ1соответствует частице, которая попала на экран, пройдя через щель 1 (назовемэто состоянием 1), а Ψ2 — частице, которая прошла через щель 2 (состояние 2).Поэтому Ψ описывает состояние частицы, которое является “смесью”, или, какпринято говорить в квантовой теории, — суперпозицией состояний 1 и 2.

Ясно,что мы должны допустить возможность суперпозиции не только двух состоянийчастицы, но и произвольного числа состояний1 . По современным представлениям,принцип суперпозиции состояний справедлив для произвольной квантовой системы и является одним из фундаментальных принципов природы. В применениик одной частице, этот принцип гласит:• Если частица может находиться в состояниях, описываемых волновымифункциями Ψ1 , Ψ2 , . . . Ψk , то она может находиться и в состоянии, котороеописывается волновой функциейΨ=kai Ψi ,(2.23)i=1где ai — любые комплексные числа.Суперпозиция состояний — типично квантовое явление. Напомним, что в классической механике состояние движения частицы описывается некоторой траекториейr (t). Ясно, что частица не может двигаться одновременно по двум различным траекториям.

Отсюда следует, кстати, что само понятие траектории частицы в квантовой механике теряет физический смысл, поскольку оно противоречит принципусуперпозиции состояний.Отсутствие траекторий у микрочастиц и возможность суперпозиции их квантовых состояний трудно себе представить, так как ничего похожего нет в макроскопическом мире, доступном нашему непосредственному наблюдению.

В 1920-е годыпринцип суперпозиции квантовых состояний вызвал бурную дискуссию. Многиефизики и, в частности, Эйнштейн, который сам внес важный вклад в развитиеИначе невозможно объяснить дифракцию пучка частиц на пластинке с несколькими щелями или, скажем, дифракцию электронов на кристаллах, которая наблюдается вэксперименте.119Рис. 2.2.

Регистрация n частиц на экране при дифракции на двух щелях:а) n = 10, б) n = 100, в) n = 1000.квантовых идей, отказывались признавать этот принцип. Однако дальнейшая история физики (прежде всего — эксперименты и технические достижения, основанные на квантовой механике) подтвердили справедливость принципа суперпозициисостояний.2.5.Статистическая интерпретация волновой функцииВ рассмотренном примере дифракции микрочастиц мы, следуя аналогии с оптикой, предположили, что квадрат амплитуды волновой функции |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ влюбой точке экрана пропорционален интенсивности пучка частиц в этой точке.Интенсивность понимается здесь как число частиц, попадающих за единицу времени на экран в расчете на единицу площади.

Однако, как уже отмечалось, нельзясчитать, что сами частицы образованы из волн. Каждая частица всегда регистрируется как целое, а волна де-Бройля может расщепляться на несколько волн.На первый взгляд естественно предположить, что волновые свойства характерны только для системы частиц и возникают из-за взаимодействия между ними.Однако эксперимент не подтверждает такую точку зрения. Например, интерференционные полосы на экране в ситуации, показанной на Рис. 2.1., возникают итогда, когда частицы пропускаются через щели поодиночке. Поучительно проследить, как это происходит. На Рис.

2.2. изображены точки экрана, куда попадаютчастицы.Из приведенных рисунков можно сделать два важных вывода. Во-первых, дажезная волновую функцию, невозможно предсказать, где в данных условиях окажется частица. Однако в тех точках, где |Ψ|2 больше, при многократном повторенииопыта частицы регистрируются чаще. Основываясь на подобных аргументах, в1926 году немецкий физик Макс Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции. Правильность такой интерпретации подтвердиласьдальнейшим развитием квантовой механики. Для волновой функции, описывающей движение одной частицы, статистическая интерпретация гласит:• Квадрат модуля волновой функции Ψ(r, t) равен вероятности обнаружениячастицы в момент времени t в единичном объеме вблизи точки пространствас радиусом-вектором r.20Математически это утверждение можно выразить следующим образом.

Обозначим через dV бесконечно малый объем около точки с координатами x, y, z (или срадиусом-вектором r ). Вероятность обнаружения частицы в этом объеме в моментвремени t обозначим через dw(r, t). Тогдаdw(r, t) = |Ψ(r, t)|2 dV .(2.24)Величину (r, t) = |Ψ(r, t)|2 часто называют плотностью вероятности, а самуволновую функцию Ψ(r, t) — амплитудой вероятности. Из формулы (2.24) следует важное условие, которому должна удовлетворять волновая функция. ПустьV — объем всей области, где может быть обнаружена частица. Суммируя вероятности (2.24) по всему объему, мы получим вероятность достоверного события.Поэтому|Ψ(r, t)|2 dV = 1 .(2.25)VЭто условие называется условием нормировки, а волновые функции, удовлетворяющие ему, называются нормированными волновыми функциями.

Еслиинтеграл от квадрата модуля волновой функции по всей области движения неравен единице, то |Ψ| 2 лишь пропорциональна плотности вероятности. Впрочем,домножая волновую функцию на некоторую постоянную, ее можно нормироватьтак, чтобы условие (2.25) выполнялось.Упражнения2.1. Частица совершает одномерное движение вдоль оси x. Какой физическийсмысл имеет |Ψ(x, t)| 2 ? Записать условие нормировки для волновой функции, есличастица может быть обнаружена лишь на отрезке, координаты концов которого x1и x2 . Какую размерность имеет волновая функция Ψ(x, t) ?2.2.

Cвободная частица массы m с импульсом p находится внутри большогообъема V . Проверить, что нормированная волновая функция частицы имеет вид p2i1p · r − E(p)t,E(p) =.(2.26)Ψ(r, t) = √ exp2mV3.Квантовая механика одной частицыДо сих пор наше обсуждение квантовых свойств микрочастиц было основанона интуитивных соображениях, подкрепленных ссылками на экспериментальныеданные. Перейдем теперь к систематическому построению аппарата квантовой механики.

Логически последовательная квантовая механика была создана в 1925–26годах в двух формах. Эрвин Шредингер разработал так называемую волновуюмеханику, которая была обобщением идей де-Бройля. Основным математическимобъектом в ней является волновая функция. Вернер Гайзенберг, Макс Борн иПаскуаль Иордан создали матричную механику, в которой волновая функция вообще не фигурировала, а основными величинами были динамические переменные.21Впоследствии оказалось, что обе формы квантовой механики полностью эквивалентны. Огромная роль в построении математического аппарата квантовой механики принадлежит Полю Дираку.

В 1930 году он опубликовал книгу по квантовоймеханике, где она фактически имела современную форму. Как показывает опыт,изучение квантовой механики проще начинать с волновой механики Шредингера,как менее абстрактной теории. Элементы матричной механики и наиболее элегантной схемы Дирака появятся позже.Логично было бы сразу сформулировать законы квантовой механики для систем, состоящих из произвольного числа частиц, поскольку именно с такими системами имеют дело в эксперименте.

Однако квантовые законы в их наиболее общемвиде выглядят довольно сложно, поэтому сначала мы рассмотрим упрощеннуюзадачу — движение одной частицы. Влияние всех остальных объектов на частицу будем описывать некоторым эффективным силовым полем. Математически этосиловое поле задается потенциальной энергией частицы U (r, t), которая зависит откоординат частицы и, вообще говоря, от времени. Хотя такое описание квантовыхявлений по самой сути является приближением (как говорят, “одночастичным приближением”), оно неплохо работает во многих реальных ситуациях, если удаетсянайти подходящее выражение для U (r, t).3.1.Квантовое состояние частицы.

Принцип причинностив квантовой механикеЛюбая механика состоит из двух частей: кинематики и динамики. Кинематикадает математическое описание состояния движения системы (или просто состояниясистемы), а в динамике формулируются законы изменения состояния со временем.Напомним, что в классической механике состояние движения одной частицы вмомент времени t описывается ее радиусом-вектором r (t) и вектором скоростиv (t) (или вектором импульса p (t) ). Основным законом классической динамикичастицы служит второй закон Ньютона.В квантовой механике состояние частицы математически описывается волновойфункцией Ψ(r, t), статистический смысл которой обсуждался выше1 . Если заданаволновая функция частицы Ψ(r, t0 ) в “начальный” момент времени t0 и известнаее потенциальная энергия U (r, t) во внешнем поле, то законы квантовой динамикидолжны определять волновую функцию Ψ(r, t) во все моменты времени t > t0 .