lect-terver (Лекции Теория веротяностей), страница 11

Ãîâîðÿò, ÷òî ñ.â. ξ1 , ξ2 (çàäàííûå íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå) èìåþò абсолютно непрерывное совместное распределение, åñëè ñóùåñòâóåòôóíêöèÿ fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) > 0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè (x1 , x2 ) ∈ R2 xZ2Zx1fξ1 ,ξ2 (s1 , s2 ) ds2  ds1 .Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = P(ξ1 < x1 , ξ2 < x2 ) =−∞−∞Åñëè òàêàÿ ôóíêöèÿ fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) ñóùåñòâóåò, îíà íàçûâàåòñÿ плотностью совместногораспределения ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 .47Çàìå÷àíèå 17. Äëÿ âñåãî äàëüíåéøåãî áîëåå ÷åì äîñòàòî÷íî ñ÷èòàòü, ÷òî bZb1Z2f (s1 , s2 ) ds2  ds1a1a2ðàâíÿåòñÿ îáúåìó ïîä ãðàôèêîì ôóíêöèè f íàä îáëàñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ — ïðÿìîóãîëüíèêîì [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ].Ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:!R∞R∞fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) dx2 dx1 = 1.(f1) fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) > 0 äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ R;(f2)−∞−∞Áîëåå òîãî, ëþáàÿ ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ýòèìè ñâîéñòâàìè, ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþíåêîòîðîãî ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Åñëè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî ïî ôóíêöèè ñîâìåñòíîãîðàñïðåäåëåíèÿ åãî ïëîòíîñòü íàõîäèòñÿ êàê ñìåøàííàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ:(f3)fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) =∂2Fξ ,ξ (x1 , x2 ).∂x1 ∂x2 1 2Èç ñâîéñòâà (F2) ôóíêöèè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Äëÿ n > 2 ýòî óòâåðæäåíèå, êàê è ñâîéñòâî (F2), âûãëÿäèò ñóùåñòâåííî èíà÷å!Òåîðåìà 22. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ f (x1 , x2 ), òî ξ1 è ξ2 â îòäåëüíîñòè òàêæå èìåþòàáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòÿìè:fξ1 (s1 ) =Z∞f (s1 , s2 ) ds2 ;fξ2 (s2 ) =−∞Z∞f (s1 , s2 ) ds1 .−∞Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî (F2),Fξ1 (x1 ) =lim Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = limx2 →∞x2 →∞−∞=lim Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = limx1 →∞Zx2−∞|9.3Z∞−∞Zx2−∞f (s1 , s2 ) ds2  ds1 =Zx1−∞Z∞−∞|è, àíàëîãè÷íî,Fξ2 (x2 ) =Zx1Zx1x1 →∞ −∞Zx2−∞f (s1 , s2 ) ds2  ds1 =Z∞−∞f (s1 , s2 ) ds2  ds1 ;{zfξ1 (s1 )Zx2−∞}f (s1 , s2 ) ds2  ds1 =f (s1 , s2 ) ds1  ds2 .{zfξ2 (s2 )}Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÎïðåäåëåíèå 34.

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn независимы, åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà ìíîæåñòâ B1 ⊆ R, . . . , Bn ⊆ R (èç áîðåëåâñêîé σ-àëãåáðû — äëÿ òåõ, êòî ïðî÷èòàë, ÷òî ýòîòàêîå, èëè ïðîèçâîëüíûõ — äëÿ òåõ, êòî íå ïðî÷èòàë) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:P(ξ1 ∈ B1 , . .

. , ξn ∈ Bn ) = P(ξ1 ∈ B1 ) · . . . · P(ξn ∈ Bn ).48Ýòî îïðåäåëåíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ:Îïðåäåëåíèå 35. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn независимы,x1 , . . . , xn èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:åñëè äëÿ ëþáûõFξ1 ,...,ξn (x1 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 ) · . .

. · Fξn (xn ).Óïðàæíåíèå 14. Äîêàçàòü, ÷òî èç íåçàâèñèìîñòè â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 34 ñëåäóåòíåçàâèñèìîñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 35 (äîêàçàòåëüñòâî â îáðàòíóþ ñòîðîíó ñì. (òîëüêî ñì.!) â §4 ãë.3 ó÷åáíèêà À.À.Áîðîâêîâà «Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé»).Äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèåíåçàâèñèìîñòè âûãëÿäèò òàê:Îïðåäåëåíèå 36. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì независимы, åñëè äëÿ ëþáûõ a1 , . . . , an èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:P(ξ1 = a1 , .

. . , ξn = an ) = P(ξ1 = a1 ) · . . . · P(ξn = an ).Óïðàæíåíèå 15. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì îïðåäåëåíèÿ 34 è 36 ýêâèâàëåíòíû.Äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ñîâìåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåìîïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:Îïðåäåëåíèå 37. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ñîâìåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì независимы, åñëè ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , .

. . , ξn , òî åñòü äëÿ ëþáûõ x1 , . . . , xn èìååòìåñòî ðàâåíñòâî: fξ1 ,...,ξn (x1 , . . . , xn ) = fξ1 (x1 ) · . . . · fξn (xn ).Äîêàçàòåëüñòâî. Докажем эквивалентность îïðåäåëåíèé 35 è 37. Ïî òåîðåìå 22,åñëè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ξ1 , . . . , ξn àáñîëþòíî íåïðåðûâíî, òî è â îòäåëüíîñòèξ1 , .

. . , ξn òàêæå èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 35, òî åñòü äëÿ ëþáûõ x1 , . . . , xnZx1−∞...Zxnfξ1 ,...,ξn (s1 , . . . , sn ) dsn . . . ds1 = Fξ1 ,...,ξn (x1 , . . . , xn ) =−∞==Zx1−∞ïî îïð. 35fξ1 (s1 ) ds1 · . . . ·Zxn−∞= Fξ1 (x1 ) · .

. . · Fξn (xn ) =Zx1fξn (sn ) dsn =−∞...Zxnfξ1 (s1 ) · . . . · fξn (sn ) dsn . . . ds1 .−∞Ðàâåíñòâî äâóõ ñèíèõ èíòåãðàëîâ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x1 , . . . , xn âëå÷åò ðàâåíñòâî ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé, òî åñòü íåçàâèñèìîñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 37. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà â îáðàòíóþ ñòîðîíó ìîæíî èñïîëüçîâàòü òå æå ðàâåíñòâà, íî â äðóãîì ïîðÿäêå.49Ðàçäåë 10.10.1Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÏðåîáðàçîâàíèå îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûÌû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ àáñîëþòíîíåïðåðûâíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè.

Ïóñòü ñ. â. ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x)è ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ (x). Ïîñòðîèì ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè g : R → R ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó η = g(ξ). Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è, åñëè ñóùåñòâóåò,ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ η.Çàìå÷àíèå 18. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η = g(ξ) ñóùåñòâóåòäàëåêî íå ïðè ëþáûõ ôóíêöèÿõ g. Òàê, åñëè ôóíêöèÿ g êóñî÷íî-ïîñòîÿííà, òî ñ. â. ηèìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, è ïëîòíîñòü åå ðàñïðåäåëåíèÿ íå ñóùåñòâóåò.Óïðàæíåíèå 16. Ïðèâåñòè ïðèìåð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì è непрерывной ôóíêöèè g òàêîé, ÷òî η = g(ξ) èìååòà) äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå;á)∗ невырожденное äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ g(ξ) çàâåäîìî ñóùåñòâóåò, åñëè, íàïðèìåð, ôóíêöèÿ g ìîíîòîííà («ñòðîãî ìîíîòîííà»).

Âñïîìíèì, ÷òî îçíà÷àåò «íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ η, åñëè îíà ñóùåñòâóåò».По определению, если мы представим (для любого x) функцию распределения ηRxв виде Fη (x) =h(y) dy, где подынтегральная функция h(y) неотрицательна,−∞то плотность распределения с. в. η существует и в точности равна подынтегральной функции: fη (x) = h(x).Òàê ÷òî äîêàçûâàòü ñóùåñòâîâàíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è íàõîäèòü åå ìû áóäåì îäíîâðåìåííî, íàõîäÿ íóæíîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Òåîðåìà 23. Ïóñòü ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) è ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ (x), è ïîñòîÿííàÿ a îòëè÷íà îò íóëÿ.

Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η = aξ + b èìååò1x−bïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fη (x) =· fξ.|a|aÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñíà÷àëà a > 0.x−bFη (x) = Faξ+b (x) = P(aξ + b < x) = P ξ <a= Fξx−ba=(x−b)/aZfξ (t) dt =−∞y−bdyZxЗамена: t =, dt =1y−baa==· fξdy,x−baat=7→ y = x, t = −∞ 7→ y = −∞−∞aòî åñòü ïðè a > 0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η = aξ + b èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ1x−bx−b1fη (x) = · fξ=· fξ.aa|a|a50Ïóñòü òåïåðü a < 0.x−bFη (x) = Faξ+b (x) = P(aξ + b < x) = P ξ >aZ∞=fξ (t) dt =(x−b)/a=hЗамена: t =y−bdyx−b, dt =, t=7→ y = x, t = ∞ 7→ y = −∞aaa=−∞Z1· fξay−bady =Zx−∞x1· fξ|a|y−bai=dy,òî åñòü ïðè a < 0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η = aξ + b èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðå1x−bäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ fη (x) =· fξ.|a|aÄëÿ ïðîèçâîëüíîé ìîíîòîííîé ôóíêöèè g (òî åñòü òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáûõ x1 < x2ëèáî g(x1 ) < g(x2 ) (ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ), ëèáî g(x1 ) > g(x2 ) (ìîíîòîííîóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ)) ñïðàâåäëèâî àíàëîãè÷íîå òåîðåìå 23 óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 24.

Ïóñòü ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) è ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ (x), è ôóíêöèÿ g : R → R ìîíîòîííà. Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η = g(ξ) èìååòïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿfη (x) =1 · fξ g −1 (x) .|g 0 g −1 (x) |Çäåñü g −1 — ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê g, èg −1 (x).1 = g −1 (x) 0 — ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèèg 0 g −1 (x)Óïðàæíåíèå 17.

Äîêàçàòü òåîðåìó 24.Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ñðàçó ñëåäóþò èç òåîðåìû 23. Ïåðâîå èç íèõ ìû óæåäîêàçûâàëè íåïîñðåäñòâåííî. Доказать остальные.Ñëåäñòâèå 8. Åñëè ξ ⊂= N0,1 , òî η = σξ + a ⊂= Na,σ2 .1Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, fη (x) = fξσÑëåäñòâèå 9. Åñëè η ⊂= Na,σ2 , òî ξ =x−aσ2(x−a)1= √ · e− 2σ2 .σ 2πη−a⊂= N0,1 .σÑëåäñòâèå 10. Åñëè ξ ⊂= Eα , òî η = αξ ⊂= E1 .10.2Ôóíêöèè îò äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÏóñòü ξ1 , ξ2 — ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòüþ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿfξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ), è çàäàíà ôóíêöèÿ g : R2 → R.

Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ (à åñëè ñóùåñòâóåò, òî è ïëîòíîñòü) ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η = g(ξ1 , ξ2 ).51Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîìó âåêòîðó ïîïàñòü â îáëàñòü ìîæíî âû÷èñëèòü êàê îáúåì ïîä ãðàôèêîì ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà íàä ýòîé îáëàñòüþ,ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 25. Ïóñòü x ∈ R, è îáëàñòü Dx ⊆ R2 ñîñòîèò èç òî÷åê (x1 , x2 ) òàêèõ, ÷òîg(x1 , x2 ) < x.

Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η = g(ξ1 , ξ2 ) èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿZZFη (x) = P g(ξ1 , ξ2 ) < x = P (ξ1 , ξ2 ) ∈ Dx =fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) dx2 dx1 .DxÂñþäó äàëåå â ýòîé ãëàâå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû, òî åñòü fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = fξ1 (x1 )fξ2 (x2 ).Ñëåäñòâèå 11 (Ôîðìóëà ñâåðòêè). Åñëè ñ. â. ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíîíåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòÿìè fξ1 (x1 ) è fξ2 (x2 ), òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû ξ1 + ξ2 ðàâíà «ñâåðòêå» ïëîòíîñòåé fξ1 è fξ2 :fξ1 +ξ2 (t) =Z∞fξ1 (u) fξ2 (t − u) du =−∞Z∞fξ2 (u) fξ1 (t − u) du(13)−∞Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ óòâåðæäåíèåì òåîðåìû 25 äëÿ ôóíêöèè g(x1 , x2 ) =x1 + x2 .

Èòåãðèðîâàíèå ïî îáëàñòè Dx = {(x1 , x2 ) : x1 + x2 < x} ìîæíî çàìåíèòü ïîñëåäîâàòåëüíûì âû÷èñëåíèåì äâóõ èíòåãðàëîâ: íàðóæíîãî – ïî ïåðåìåííîé x1 , ìåíÿþùåéñÿîò −∞ äî ∞, è âíóòðåííåãî – ïî ïåðåìåííîé x2 , êîòîðàÿ ïðè êàæäîì x1 äîëæíà áûòüìåíüøå, ÷åì x − x1 . Òî åñòü Dx = {(x1 , x2 ) : x1 ∈ (−∞, ∞), x2 ∈ (−∞, x − x1 )}. ÏîýòîìóZZZZíåçàâèñ-òüFξ1 +ξ2 (x) =fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) dx2 dx1=fξ1 (x1 ) fξ2 (x2 ) dx2 dx1 = x−xDxDxZ∞Z 1=fξ1 (x1 ) fξ2 (x2 ) dx2  dx1−∞−∞Ñäåëàåì â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííîé x2 íà t òàê: x2 = t − x1 . Ïðè ýòîìx2 ∈ (−∞, x − x1 ) ïåðåéäåò â t ∈ (−∞, x), dx2 = dt.