4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 69

Й,*„< 12, Указание. Показать, что справедливо неравенство Ь;„ < а,а„. 19.68. -0,6. 19.69. 0,55. 19.70. г 0,535, Ответы и указания у = — 1,43+ 0,43х, х = 5+ 1,5у (рис.77). 19.71. т ~ 0,806, у = = 0,5+ 0,5х, х = 2,5+ 1,Зу (рис. 77). 19.72. т 0,983, у = 0,5+ 0,77х, х = — 0,5+ 1,3у (рис.79). 19.73. г = 0,837, у = 8,96+ 0,44х, х = 10,96 + 1,6у. 19.Т4. г 0,743, у = 12,25 + 0,8х.

Диаграммы 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 !О 12 0 2 4 6 8 1О 12 Рис. 78 Рис. 77 Рис. 79 рассеяния и графики приведены на рис.80. Уравнение регрессии для всех наборов данных одно и то же, но точки на графиках расположены совершенно по-разному. Пример показывает необходимость предварительного анализа данных, в частности, построения диаграммы рассе- с яния. Уравнение регрессии: у = 3 + 0,5х. 19Л5. 13,*„„= -!1;,в, а 06 )уо„„= с1уо,в — — 111",в + !1.

19.Т8. и = ти, и = ги. 19ЛТ. Выборочные коэффициенты корреляции равны соответственно 0,403 для первых девяти городов и 0,995 для десяти городов. Уравнение линейной регрессии у = 2,716 + 0,43х. Диаграмма рассеивания приведена на рис.79 т). 19.80. — 0,137. 19.81. г е — 0,44, у = 14 — 0,04х, х = 101,78 — 4,57у. 19.82. г ж 0,775, у = 10,1 + 0,72х,х = 5,87 + 0,83у. 19.83. т 0,921, у 400 300 200 100 !00 300 500 700 г Рис. 80 у = 25,3+ 0,92х, х = — 8,5+ 0,98у. 19.84. т 0,848, у = — 10,17+ 1,74х, х = 6,31+ 0,41у.

) Этот пример показывает, что адно наблюдение может сушествеино повлиять на величину коэффициента корреляции. Нью-Йорк входит в другую генеральную совокупность — городов с ббльшим населением. Ответы и указания 397 19.85 01ИЕИЗТОИ Х(18), 7(18) КЕАР (5, 2) 7 ОО 4 1=1, 18 4 Х(1)=.1*(1-1) 2 РОКИАТ (18»4.3) И=18 СА1.Ь ЗТАХУ1 (Х, Т, И, ЗХК, ЯТК, ЦХ, ЦУ, ЦХУ) СА1.Е ЗТАХУ2 (ЦХ, ЦУ, ЦХУ, И, РХ, ОУ„ КХУ, КХУ) СА11.

С1ИКЕО (ЯХК, ЯТК, ЦХ Цу, ЦХУ, ВВУХ, В1УХ, ВИХТ, В1ХУ) рК1ИТ 3, КХТ, ВОХТ. 917Х, ВИХТ, 91ХТ 3 ГОКИАТ (//бХ, 'КХУ=', 2Х, Рб 2, 2Х, 'ВИХУ=', 2Х, Г5.2, 2Х, В1УХ= , гХ, Р5.2, ВИХУ= , 2Х, Р5.2, В1ХТ= , 2Х, Р5.2) ВТОР ЕИО х = 0,85, у = 0,23, вт = 1,805, в~ = 7,19 10 з г = -0,503, у = = 0,26 — 0,032х,х = 2,68 — 7,97у. 19.86.

х = 5,5, у = 2,94, в, = 7,92, в~ = 6,80, г = 0,964, д = — 1,97 + 0,89х, х = 2,44 + 1,04у. 19.87. х = = 0,475, у = 39,5, в~ = 0,087, в~ = 234,33, г = 0,981, д = 19,39+ 50,77х, х = 0,11+2,57д. 19.88.х = 8,5, д = 0,79, в~ = 28,5, в~~ = 0,32, г = 0,972 у = — 0,11+ 0,1х, х = 15,44 — 6,94у. 19.89. х = 4,5, у = 0,75, в, = 0,907, в„= 0,133, г = 0,932, д = — 8,53+ 0,36х, х = 2,67+ 2,44д. 19.90. х = = 0,85, у = 2,07, вт = 0,23, вз = 1,64, г = 0,938, у = — 7,67+ 2,52х, 1 х = 0,29+0,35у. 19.96. д = 1)»" = — ~(х, — х), Ь» = А', а„= а'„, е„= е*. 19.97.

й~ = а," = — у хг Указание. Для доказательства состоятельности вычислить дисперсию а~ и использовать теорему 1. 19 98. Смещение равно -пз/и, У к а з а н не. Выполнить преобразование — 2 1 — 2 Ю„" = — ~~~ (х, — х)т = — Х ((х; — т) — (х — т)) = — ~(х; — т)т— я п я — (х — т), затем найти математическое ожидание. 19.100. 0 Воспользоваться преобразованием 1)'„из указания к задаче 19.98. По теореме Чебышева (гл. 18, 35) первое слагаемое — у (х; — т) при и — > оо сходится по вероятности к М [(х; — гя) ] = п~, а второе слагаемое (х — т)з г при и -~ оо сходится по вероятности к нулю, так как х > — + т. Отсюда следует, что В*„> — +о, т.е, является состоятельной оценкой г дисперсии.

Состоятельность в~ как оценки дисперсии следует из соя отношения вт = 0*„. ~> 19.102. тй1 = х1 является несмещеня — 1 ной и состоятельной оценкой т. 19.104. а = хСО является смещен- 398 Ответы и указания н и и состоятельной оценкой. Указание. Лля нахождения плотности распределения а воспользоватьсп результатом решения задачи 18.525. 19,105.

у ка за н не. Использовать решение задачи 18.525. Вычислить М [хрй] — Р [хСО] — Р [хрб]— х п + 1 и + 1 (и + 2)(п + 1)т Показать, что Р ~- [х~ ~ + х " )~ = О ( — т ] 19 100 6хг (х, — х)(рд — Р). Несмещенная оценка имеет вид /с„, 1 — — (х; — х)(у,— Р). Указание. См. задачу 19.59. Использовать и — 1 1 1 преобразование х, — х = (х; — тх) + — ~ (х; — т„) = х; + — у хи п 1 р = р, + — у дь Тогда М[(х; — х)(70 — р)] = К, — — К„. + п и 1 и — 1 К„, = — К„,,так как К„,, = 0 при 1 ~ у', К„г = К„, р [К„'„] = — ~ Р [(Х, — х)(1, -д)] — ~ О при и -~ оо.

19.107. Смещение 1 бт равно Р [д]. Указание. Рассмотреть тождество Р[д] = М[(д — 0)т]. 19д09. 5) р = 1/2. 19.111. Указание. Использовать указание к за- даче 19.107 19.112. Указание. Использовать втоРое неРавенство Че- бышева (см. гл.18, з5). 19.116. —. 19.11Т. Указание. Использо2ои вать указание к задаче 19.105 и найти дисперсию выборочного среднего. 19.119. Указание.

Использовать результат решения задачи 19,107. 19.120.х/п. 19.121. х/и. 19.122. х. 19.123.х. 19.124. р = Е: х, р(1- р) — Р [р] = —. 19.125. а = хО~ = пцп (х ) 6 = хрй = Е"'' и — шрх (хс). Указание. Точка максимума Е(а, 6) определяется гра1<1<п фически: нужно построить область допустимых значений для а и 6 и 1 2 линии уровня Е(а, 6) = , а < х < 6. 19.126.

т = — шаххи (6 — а)" 3 ~ х;/и, 1, 2,, и. 19.12Т. т =; Р[т] = . 19.128. р = 1/сг, ~~~ 1/о~ 1/)с М [р] = — †. 19.129. р = 1/6 М [р] = — . 19.130. р = р!пр р1пр 1-р 1- р' — х/и, Указание. Вероятность того, что событие А произойдет ровно х раз при п испытаниях, имеет распределение Паскаля; Р [Х = х] = х — 1 О*-'р*(1 — р)" *, и = х, х + 1,... Оценка р = является и — 1 п — 1 Ответы и каэаяил 399 несмешенной; С„*-,'р*(1 — р)"-* = р'~ С„*-,'р*-'(1 — р)"-*; п=л п=х (Х вЂ” 11 при1= х — 1, пг = и — 1имеемМ ~ — ~ = р~ С~ '1р~(1 — р)~ ' = р, т=1 следовательно, МП-оценка р = х/и является смещенной. 19.131.

р = 1 -г = х/п. 19.132. Л = — ~~1 хг = х. 19.133. пг = — 2 х; = х, дг = и п — г 1 1~ = Р*, = — 2 (х; — х) . 19.134. Л = —. 19.135. к = — 2 х, = и' х п~ 1 = х. 19.137. хе 11*, где х = — ~~ хь Указание. Р(Х1 ) Ц = -л = — е ~ = гг(Л). Чтобы оценить функцию ог(Л), необходимо предста- Л вить зг (Л) в виде непрерывной функции первых 5 моментов, т.е. в виде 12(121) = аге 11"'.

19.138. 2,73; 169,64. 19.139. — 2,998; — 1,659. 19.140. 0,052; 9,025; 0,453. 19.141. Указание. Использовать то, что г Т(1с) = (у/~/ — Х~(й) и 11'г = Хг(1). 19.143. Статистика лог связана 2 1 г со слУчайной величиной Хг(п) соотношением Бог — — — агХ2(п). 2 19.144.

М]Я2] = аг, Р(Я2] = а~. Указание. Воспользоваться и — 1 теоремой 2 и результатом задачи 19.116. 19.145. М]Т(п — 1)] = О, и — 1 Р[Т(п — 1)] = . 19.149. Статистика ог связана со случай- и — 3 ной величиной Х~(П1 +из — 2) соотношением „2 2а Яг — Хг(п г и — 2) п]Я2]— п1+иг — 2 П1+пг — 2 п1 + п2 (п1 + П2) (17,42; 22,58). 19.158. (498,35; 501,64), (497,42; 502,58). 19.159. (28,14; 31,86), (26,64; 33,36). 19.100.

(16,63; 19,37), (15,76; 20,24). Х вЂ” ги 19.104. Указание. Найти Р(Х] и установить, что имеет а),/и, + иг 2 распределение 111(0, 1). Показать, что Я~ = Хг(П1 + пг — 2) и и, +пг — 2 400 Ответы и указания Х вЂ” т что имеет распределение Стьюдента с пг+иэ — 2 степенями а/~(и~ + пэ свободы. 19.165. (17,96; 20,60), (17,22; 21,34). 19.166.

(490,91; 493,48), (490,18; 494,21). 19.167. (28,52; 30,20), (27,98; 30,74). 19.168. (17,01; 1941), (16,27; 20,16). 19.169. Указание. Использовать результат задачи 19.143. 19.171. (2,70; 9,30), (2,45; 10,78). 19.172. (7,27; 119,40), (10,32; 58,61). 19.173. (96,81; 491,34), (9,84; 22,17). 19.174. а) 0,68; б) «г > 385. 19.175. а) и > 15; б) п > 4. 19.1Т6.

Указание. Найти распределение статистики Х, — Хэ. 19.1ТТ. У к а з а н и е. Использовать результаты решения задач 19.148, 19.149 и 19.151. 19.178. (5,18; 6,82). 19.179. ( — 11,85; 5,85); нет. 19.180. а) (48,99; 63,41); б) ( — 15,1; 6,9), да. 19.181. У к а з а н и е. Использовать результат задачи 19.147 и формулу (17) 32. 19.182. (0,206; 5,757).

19.183. (0,266; 0,454). 19.184. (0,012; 0,038), п > 88. 19.185. (0,39; 0,41), п > 16231. 19.186. (0,088; 0,246). 19.18Т. а) (0,225; 0,375); б) (0,210;0,390). 19.188. 0,026. 19.189. У к а з а н и е. Воспользоваться центральной предельной теоремой (гл.18, 35). 19.190. Указание. Использовать результаты задач 19.189 и 19.108. 19.191.

(1,61; 2,39). 19.192. (2,00; 2,60). 19.193. (0,505; 0,810). 19.194. (0,46; 0,86). 19.195. ( — 0,93; 0,09); ( — 0,89; — 0,12). 19.196. (-0,01; 0,28), (-0,03; 0,25). 19.197. ( — 0,14; 0,71), (0,02; 0,65). 19.199. Гипотеза Н<гг — Нгэ~г — статистические; Нг«г— не статистическая гипотеза, Нгг~г — простая, НОО и Н<эг — сложные гипотезы. 19.200. Все гипотезы статистические; Н»О и Нг«г — простые, Н<эг и Нгзг — сложные гипотезы. 19.201. а) Число образцов с признаками коррозии имеет биномиальное распределение В(20, р), И = (О, 1, 2, ..., 20); б) Ъ'ь = (О); в) ошибка первого рода: принимаетсн решение, что антикоррозийное покрытие имеет эффективность 99%, в то время как его эффективность составляет 90гУж ошибка второго рода: принимается решение, что антикоррозийное покрытие имеет эффективность 90%, в то время как ега эффективность составдяет 99%; а в 0,122, )3 0,182. 19.202.

а) Ошибка первого рода; б) ошибка второго рода; в) и г) ошибки нет. 19.203. На. .объект является объектом противника; Нг. объект свай; ошибка второго рода — «ложная тревога». 19.204. а) И = (О, 1, 2, ..., 5), Ъ~ = (О, 1, 2, 3, 4) биномиальное В (5, р); б) На. устройство функционирует правильно, р = 0,99; в) На. устройства функционирует неправильно, р = 0,40, ошибка второго рода — принятие неправильно функционирующего устройства; г) а в 0,05, г3 и 0,01. 19.205. а) Число дефектных изделий, И = (О, 1,..., 10), ага = (2, 3,..., 10); б) биномиальное В(10, р); в) На.