4 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов)

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова Москва Издательство Физико-математической литературы 2003 ББК 22.171 С 23 УДК 5Ц075.8) Коллектив авторов: Э.А.ВУКОЛОВ, А.В.ЕФИМОВ, В.Н.ЗЕМСКОВ, А. С. ПОСПЕЛОВ Содержит задачи по специальным курсам математики: теории вероятностей и математической статистике. Во всех разделах приводятся необходимые теоретические сведения. Все задачи снабжены ответами, а наиболее сложные — решениями. Решение части задач предполагает использование ЗВМ. Для студентов высших технических учебных заведений.

Учебное издание ВУКОЛОВ Эдуард Александрович, ЕФИМОВ Александр Васильевич, ЗЕМСКОВ Владимир Николаевич, ПОСПЕЛОВ Алексей Серееевич СВОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Часть 4 Редактор Е. А. Прива 1ов Компьютерная графика М.Н. Грипук Компьютерный верстка Е. С.Нссаева ИД № 01389 от 30.03.2000 Гигиеническое ааключение № 77.99.02.953.Д.003724.07.01 от 05.07.2001 Подписано в печать 20.01.2003. Формат ббк847 !б. Печать офсетная с готовых диапозитивов. Усл.-печ.

л. 25,2. Уч.-нзд. л. 30,5. Тираж 4 000 зкз. Заказ гв 13!5. Издательство Физика-математической литературы 119071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов на ФГУИПП лВяткаэ. б!0033, г. Киров, ул. Московская, 122. 1ЯВ)ту 5-94052-037-5 !Ч. 4) 1БВ)ту 5-94052-033-2 © Коллектив авторов, 2003 © Физматлит, оформление, 2003 Сборник задач па математике для втузов.

В 4 частях. Ч. 4: Учеб- ное пособие для втузов /Под общ. ред. А.В.Ефимова и А.С.Поспе- лова. — 3-е изд. перераб. и доп. — Мл Издательство Физико-мате- матической литературы, 2003.— 432 с.— 18ВХ 5-94052-037-5 !Ч. 4). ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие титульных редакторов 18. Теория вероятностей Глава Случайные события 1. Понятие случайного события. 2. Алгебраические операции над событиями. 3. Аксиоматическое определение вероятности события. 4. Классическая вероятностная схема — схема урн. 5.

Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме. 6. Геометрические вероятности. у. условные вероятности. Независимость событий. 8. Вероятности сложных событий. 9. Формула полной вероятности. 10. Формула Байеса Случайные величины 1. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин. 2. Распределения, связанные с повторными неаависимыми испытаниями. 3. Распределение Пуассона, 4. Нормальный закон распределения 85 Случайные векторы 1. Законы распределения и числовые характеристики случай- ных векторов. 2. Нормальный закан на плоскости 34. Функции случайных величин 100 1. Числовые характеристики функций случайных величин.

2. Характеристические функции случайных величин. 3. Законы распределения функций случайной величины. 4. Задача композиции Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей 130 1. Закон больших чисел. 2. Предельные теоремы теории веро- ятностей. 3. Метод статистических испытаний Случайные функции (корреляционная теория) 143 1. Законы распределения и осредненные характеристики случайных функций.

2. Дифференцирование и интегрирование случайных функций. 3. Стадионарные случайные функдии. 4. Спектральное разложение стапионарных случайных функций. 5. Преобразование стапионарных случайных функций линейными динамическими системами с постоянными коэффициен- тами Оглавление 185 19. Махематическая статистика Методы статистического описания результатов наблюде- ний Глава 185 218 237 35 36 279 286 298 339 Ответы Прилож Список 358 411 431 литературы 1. Выборка и способы ее представления.

2, Числовые характернстики выборочного распределения. 3. Статнстическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вевтора. Статистическое опенивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке.......,.... 1. Точечные оценки и их свойства.

Метод подстановки. 2. Метод макснмальнога правдоподобия. 3. Метод моментов. 4, Распределения д~, Стьюдента и Фишера Интервальные оденки .. 1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной генеральной совокупности. 2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли н параметра Л распределения Пуассона.

3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции р Проверка статистических гипотез ............., . 1. Основные понятии. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. 2. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения. 3.

Проверка гипотез о коэффициенте корреляции р. 4. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез Однофакторный днсперсионный анализ........... Критерий ~з и его применение 1. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совакуцности. 2. Проверва гипотезы о независимости двух случайных величин. 3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов 1. Линейная регрессия.

2. Линейная регрессионная модель общего вида (криволинейная регрессия). 3. Использование ортогональных систем функций. 4. Некоторые нелинейные задачи, сводящиеся к линейным моделям. б, Множественная линейная регрессия (случай двух независимых переменных). 6 Вычисление и статистический аналиа оценок параметров линейной модели прн коррелированных н неравноточных наблюдениях Непараметрические методы математической статистики . 1. Основные понятия.

Критерий анаков. 2. Критерий Внлкоксана, Манна и Уитни, 3. Критерий для проверки гипотезы Но о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. 4. Критерий серий б. Ранговая корреляция н указания ения ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические разделы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы линейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую алгебру. Второй том полностью посвящен изложению основ математического анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, а также дифференциальным уравнениям. В третьем томе собраны специальные разделы математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах.

Сюда относятся такие разделы, как векторный анализ, элементы теории функций комплексной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения. Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и математической статистике. Указанные выше изменения составляют лишь структурную переработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположения материала внутри соответствующей главы, ии последовательности нумерации примеров и задач. В смысловом отношении авторы внесли только следующие изменения.

Во всех разделах Сборника исключены теоретические введения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело в том, что в настоящее время существует целый ряд программных оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного решения задач, а основные навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе. Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раздел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника. Это связано с тем, что круг идей и методов общей алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышлен- Предисловие ности и, следовательно, становится необходимой частью образования и подготовки специалистов по инженерным специальностям.

Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная техническая работа по исправлению ошибок, описок и других неточностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборника. А. В. Ефимов, А. С. Поспелов Глава 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 3 1. Случайные события 1. Понятие случайного события.

Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами (случайных эксперимен<лов). При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). Для реально воспроизводимого эксперимента понятие <наблюдаемый результат» означает, что существует приндипиальная возможность зарегистрировать данный результат опыта с помощью того или иного прибора (в простейшем случае, например, визуально). Любой наблюдаемый результат интерпретируется как случайный исход опыта (случайное собы<пие) .